第01讲 平行四边形的性质（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第01讲 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 ①平行四边形的定义 ②平行四边形的性质 ③平行线间的距离 1. 掌握平行四边形的概念并能够进行简单的判断。 2. 掌握平行四边形的性质并能够熟练的进行相关的应用。 3. 掌握平行线间的距离并熟练应用。 知识点01 平行四边形的定义 1. 平行四边形的概念： 有两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。 知识点02 平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质： ①边的性质：平行四边形的两组对边分别 （平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。 ②角的性质：平行四边形的邻角 ，对角 。（由平行与邻角转换可得） ③对角线的性质：平行四边形的对角线 （连接两条对角线证明全等可得）。 ④平行四边形的面积计算：等于 。 ⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。 ⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。 【即学即练1】 1．平行四边形的性质有：对角　 　，对边　 　，对角线　 　． 【即学即练2】 2．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【即学即练3】 3．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【即学即练4】 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝9，BE＝3，则平行四边形ABCD的周长是 　 　． 【即学即练5】 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，AB＝4，则平行四边形ABCD的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 【即学即练6】 6．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，4） D．（4，1） 知识点03 平行线间的距离 1. 平行线间的距离的定义： 一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的 是这一组平行间的距离。 2. 平行线间的距离的性质： ①两条平行线间的距离 。 ②平行线间的平行线段 。 【即学即练1】 7．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　． 题型01 平行四边形的性质的判断理解 【典例1】平行四边形的对角线（　　） A．长度相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．以上都对 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．ADBC 【变式2】如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．BO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．AC＝BD 【变式3】如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（　　） A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 题型02 利用平行四边形的性质求线段 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　） A．22 B．16 C．18 D．20 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 　 　． 【变式2】如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝5，AD＝7，则EF的长（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A．8cm和14cm B．10cm 和14cm C．18cm和20cm D．10cm和34cm 题型03 利用平行四边形的性质求角度 【典例1】已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 【变式1】在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式2】如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【变式3】如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD＝48°，则∠BCE的度数为（　　） A．48° B．45° C．42° D．132° 题型04 求四边形的面积与周长 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD＝12，则S阴影＝　 　． 【变式1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【变式2】如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　） A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定 【变式3】如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（　　） A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6 【变式4】如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） A．6cm B．4cm C．10cm D．8cm 题型05 利用平行四边形的性质求坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（4，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（3，6） D．（6，3） 【变式1】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2） 【变式2】如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（a，0），点C的坐标是（b，c），则点B的坐标是 　 　． 【变式3】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 　 　． 题型06 平行线之间的距离 【典例1】如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（　　） A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段EF的长度 D．线段GH的长度 【变式1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（　　） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【变式2】如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 　 　． 【变式3】已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是 　 　cm． 1．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 2．如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB＝2，AC＝6，则平行线b、c之间的距离是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 4．如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 6．已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，则边AD的长度x的取值范围是（　　） A．2＜x＜6 B．3＜x＜9 C．1＜x＜9 D．2＜x＜8 8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3cm/s．两点的运动时间为t s，直线a与b之间的距离为30cm，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（　　） A．5 B．6 C．10 D．15 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　） A．10 B．6 C．6 D．3 11．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝15°，则∠2的度数是 　． 12．在平行四边形ABCD中，∠B的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为　 　． 13．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为 　 　． 14．如图，▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝57°，则∠ADE＝　 　． 15．如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，EF∥AB，若▱BDFE的面积为4，且BDAB，BEBC，则△ABC的面积是 　 　． 16．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，垂足分别为E，F，∠EAF＝60°，CE＝1，CF＝4．求▱ABCD各边长． 17．已知：如图，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（﹣2，0），求：点B、点C、点D的坐标． 18．已知：如图，在▱ABCD中，延长DA至点E，延长BC至点F，使得AE＝CF， 连接EF，与对角线BD交于点O，求证：OE＝OF． 19．如图所示，在▱ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，OD＝3． （1）求△COD的周长； （2）直接写出▱ABCD的面积． 20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：△ABE是等腰三角形． （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 ①平行四边形的定义 ②平行四边形的性质 ③平行线间的距离 1. 掌握平行四边形的概念并能够进行简单的判断。 2. 掌握平行四边形的性质并能够熟练的进行相关的应用。 3. 掌握平行线间的距离并熟练应用。 知识点01 平行四边形的定义 1. 平行四边形的概念： 有两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。 知识点02 平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质： ①边的性质：平行四边形的两组对边分别 平行且相等 （平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。 ②角的性质：平行四边形的邻角 互补 ，对角 相等 。（由平行与邻角转换可得） ③对角线的性质：平行四边形的对角线 相互平分 （连接两条对角线证明全等可得）。 ④平行四边形的面积计算：等于 底×高 。 ⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。 ⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。 【即学即练1】 1．平行四边形的性质有：对角　相等　，对边　相等　，对角线　互相平分　． 【分析】本题主要依据平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：此为平行四边形的性质即：对角相等，对边相等，对角线互相平分． 【即学即练2】 2．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D． 【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC，求出∠EDC＝∠DEC，推出CE＝DC＝5cm，代入BE＝BC﹣CE求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝5cm， ∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵E平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CE＝DC＝5cm， ∴BE＝BC﹣CE＝3cm， 故选：C． 【即学即练4】 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝9，BE＝3，则平行四边形ABCD的周长是 　30　． 【分析】根据角平分线得到∠ADE＝∠CDE，得出CD＝CE，再根据平行四边形对边相等的性质求出CD的长，最后计算周长即可． 【解答】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， 又∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC，BC＝AD＝9， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝BC﹣BE＝9﹣3＝6， 故平行四边形ABCD的周长是2×（9+6）＝30． 故答案为：30． 【即学即练5】 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，AB＝4，则平行四边形ABCD的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，再由勾股定理逆定理确定△ABO是直角三角形，得出AB⊥AC，再求面积即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝6，BD＝10， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5， ∵AB＝4， ∴AB2+AO2＝OB2， ∴△ABO是直角三角形，且∠BDC＝90°， 即AB⊥AC， ∴平行四边形ABCD面积为：AB•AC＝4×6＝24． 故选：C． 【即学即练6】 6．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，4） D．（4，1） 【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2）， ∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵BC∥x轴，AD∥BC， ∴AD∥x轴， ∴D（4，1）， 故选：D． 知识点03 平行线间的距离 1. 平行线间的距离的定义： 一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的 距离 是这一组平行间的距离。 2. 平行线间的距离的性质： ①两条平行线间的距离 处处相等 。 ②平行线间的平行线段 相等 。 【即学即练1】 7．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　20　． 【分析】作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案． 【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∴AH＝DG， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，又BE＝8， ∴CE＝3，又△DCE的面积为6， ∴DG＝4， ∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20， 故答案为：20． 题型01 平行四边形的性质的判断理解 【典例1】平行四边形的对角线（　　） A．长度相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．以上都对 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分作出选择． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分， 故选：B． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．ADBC 【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，CD＝AB，∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，AD＝BC， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．BO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．AC＝BD 【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，正确，不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，正确，不符合题意； D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（　　） A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF， 又∵∠DOC＝∠BOA， ∴选项A成立，选项B、C、D不一定成立， 故选：A． 题型02 利用平行四边形的性质求线段 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　） A．22 B．16 C．18 D．20 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12， ∴OAAC＝6，BD＝2OB， ∵AB⊥AC，AB＝8， ∴OB10， ∴BD＝2OB＝20． 故选：D． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 　2　． 【分析】根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，则AE＝AB，从而求出DE． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠B的平分线BE交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB， ∵AB＝3，BC＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2． 故答案为2． 【变式2】如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝5，AD＝7，则EF的长（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案． 【解答】解：∵平行四边形ABCD， ∴∠DFC＝∠FCB， 又CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC， 同理可证：AE＝AB， ∵AB＝5，AD＝BC＝7， ∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3． 故选：C． 【变式3】平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A．8cm和14cm B．10cm 和14cm C．18cm和20cm D．10cm和34cm 【分析】根据平行四边形的性质得出AO＝COAC，BO＝DOBD，在每个选项中，求出AO、BO的值，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． 【解答】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC，BO＝DOBD， A、AO＝4cm，BO＝7cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B、AO＝5cm，BO＝7cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＝AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； C、AO＝9cm，BO＝10cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＞AB，AB+AO＞BO，OB+AB＞AO，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； D、AO＝5cm，BO＝17cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+AB＝BO，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； 故选：C． 题型03 利用平行四边形的性质求角度 【典例1】已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 【分析】根据平行四边形对角相等可求解∠A＝∠C＝55°，再利用平行线的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝110°， ∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣55°＝125°， 故选：A． 【变式1】在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A、∠B是邻角，故∠B可求解；然后由“平行四边形的对角相等”的性质得到∠D＝∠B． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A＝180°，∠B﹣∠A＝20°， ∴2∠B＝200°， ∴∠B＝100°． 又∵∠D＝∠B， ∴∠D＝100°． 故选：C． 【变式2】如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，再求出答案即可． 【解答】解：延长EH交AB于N， ∵△EFH是等腰直角三角形， ∴∠FHE＝45°， ∴∠NHB＝∠FHE＝45°， ∵∠1＝30°， ∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠2+∠HNB＝180°， ∴∠2＝75°， 故选：D． 【变式3】如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD＝48°，则∠BCE的度数为（　　） A．48° B．45° C．42° D．132° 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，继而求得∠B＝∠EAD＝48°，然后由CE⊥AB，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝∠EAD＝48°， ∵CE⊥AB， ∴∠E＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣∠B＝42°． 故选：C． 题型04 求四边形的面积与周长 【典例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD＝12，则S阴影＝　3　． 【分析】通过证明△AEO≌△CFO（AAS），知道S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABOS▱ABCD，求解即可． 【解答】解：AC于BD的交点记作点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝OD，AB∥CD， ∴∠AEO＝∠CFO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴S阴影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABOS▱ABCD， ∵S▱ABCD＝12， ∴S阴影12＝3， 故答案为：3． 【变式1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【变式2】如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　） A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为SCD•高，△ADM的面积为S1MA•高，△CBM的面积为S2BM•高，这样得到S1+S2MA•高BM•高（MA+BM）•高AB•高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵△CMB的面积为SDC•高，△ADM的面积为S1MA•高，△CBM的面积为S2BM•高， 而它们的高都是等于平行四边形的高， ∴S1+S2AD•高BM•高（MA+BM）•高AB•高CD•高＝S， 则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2． 故选：A． 【变式3】如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（　　） A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6 【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长． 【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.3， ∵▱ABCD的周长＝（4+3）×2＝14 ∴四边形BCEF的周长▱ABCD的周长+2.6＝9.6． 本题选B． 【变式4】如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） A．6cm B．4cm C．10cm D．8cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长． 【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD， ∵EO⊥BD， ∴EO为BD的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD20＝10cm． 故选：C． 题型05 利用平行四边形的性质求坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（4，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（3，6） D．（6，3） 【分析】根据题意画出图形，进而得出C点横纵坐标，即可得出答案． 【解答】解：如图，∵▱ABCD的顶点A（0，0），B（4，0），D（2，3）， ∴AB＝CD＝4，C点纵坐标与D点纵坐标相同， ∴顶点C的坐标是：（6，3）． 故选：D． 【变式1】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2） 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标． 【解答】解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0）， ∴AB＝4， ∴DC＝4， ∵D（0，2）， ∴C（﹣4，2）． 故选：D． 【变式2】如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（a，0），点C的坐标是（b，c），则点B的坐标是 　（a+b，c）　． 【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝BC，OA∥BC， ∵A（a，0）， ∴OA＝BC＝a， ∵C（b，c）， ∴B（a+b，c）， 故答案为：（a+b，c）． 【变式3】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 　（5，2）　． 【分析】首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4）， ∴顶点D的坐标为（5，2）． 故答案为：（5，2）． 题型06 平行线之间的距离 【典例1】如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（　　） A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段EF的长度 D．线段GH的长度 【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案． 【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得 线段CD的长度是直线a，b之间距离， 故选：B． 【变式1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（　　） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【解答】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm， ∴AB＜AC＜AD， ∴m与n之间的距离小于或等于4cm， 故选：D． 【变式2】如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 　3　． 【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3． 【解答】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD，OM⊥AB， ∵AO平分∠MAC，OE⊥AC， ∴OM＝OE， ∵OC平分∠ACD，OE⊥AC， ∴OE＝ON， ∴OM＝ON， ∵OE＝1.5， ∴MN＝3， 故答案为：3． 【变式3】已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是 　10或6　cm． 【分析】直接利用平行线之间的距离分情况得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm， ∴AB与EF的距离是：8+2＝10（cm）或8﹣2＝6（cm）． 故答案为：10或6． 1．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，由∠A与∠B的度数之比为1：2，得∠B＝2∠A，所以∠A+2∠A＝180°，则∠C＝∠A＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C＝∠A， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A与∠B的度数之比为1：2， ∴∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠C＝∠A＝60°， 故选：D． 2．如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB＝2，AC＝6，则平行线b、c之间的距离是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】依据直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，再根据AB＝2，AC＝6，即可得出平行线b、c之间的距离是4． 【解答】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离， 又∵AB＝2，AC＝6， ∴BC＝6﹣2＝4， 即平行线b、c之间的距离是4． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）， ∴DC∥AB，DC＝AB＝5， ∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3， 即点C的坐标是（7，3）， 故选：C． 4．如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，由角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，由平行线的性质得到∠DEA＝∠BAE，因此∠DEA＝∠DAE，得到DE＝AD＝7，同理：CF＝BC＝7，即可求出EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝7， 同理：CF＝BC＝7， ∴EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3． 故选：A． 5．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影S四边形ABCD． 【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：C． 6．已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+BC＝13cm，BC﹣AB＝3cm，得出BC的长即可． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm， ∴AB+BC＝13cm，OA＝OC， ∵△BOC的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）＝BC﹣AB＝3cm， ∴AB＝5cm，BC＝8cm． 故选：D． 7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，则边AD的长度x的取值范围是（　　） A．2＜x＜6 B．3＜x＜9 C．1＜x＜9 D．2＜x＜8 【分析】由在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，根据平行四边形的性质，可求得OA与OD的长，然后由三角形三边关系，求得边AD的长度x的取值范围． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC6＝3，ODBD12＝6， ∴边AD的长度x的取值范围是：6﹣3＜x＜6+3， 即3＜x＜9． 故选：B． 8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FOBF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，得出∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长． 【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，如图 ∵AB＝AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO＝FOBF＝3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB， 而BO⊥AE， ∴AO＝OE， 在Rt△AOB中，AO4， ∴AE＝2AO＝8． 故选：C． 9．如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3cm/s．两点的运动时间为t s，直线a与b之间的距离为30cm，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（　　） A．5 B．6 C．10 D．15 【分析】根据点到直线上所有点的连线中垂线段最短，可知当PQ∥a时，PQ最短，此时AP+BQ＝30，即2t+3t＝30，即可求出答案． 【解答】解：根据题意可知，当PQ∥a时，PQ最短， 此时AP+BQ＝30cm， ∴2t+3t＝30， ∴t＝6， ∴当点P与点Q距离最近时，t的值为6． 故选：B． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　） A．10 B．6 C．6 D．3 【分析】由平行四边形的性质得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB＝12，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝3，则EF＝3，CF＝9，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝12， ∵AE＝2ED， ∴2ED＝12， ∴ED＝6， 如图，过点E作EF⊥CD于点F， 则∠EFC＝∠EFD＝90°， ∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴DFED＝3， ∴EF3，CF＝CD﹣DF＝12﹣3＝9， ∴CE6， 故选：C． 11．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝15°，则∠2的度数是 　105°　． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，推出∠1＝∠CAB＝15°，由EB⊥AB，推出∠ABE＝90°，根据∠2＝∠ABE+∠EAB计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠CAB＝15°， ∵EB⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠2＝∠ABE+∠EAB＝90°+15°＝105°， 故答案为：105°． 12．在平行四边形ABCD中，∠B的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为　16cm或20cm　． 【分析】设BE与CD的交点为E，过点E作EF∥AD交AB于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得EF＝BF，再分两种情况讨论即可． 【解答】解：设BE与CD的交点为E，过点E作EF∥AD交AB于点F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠CBE， ∵FE∥BC， ∴∠CBE＝∠FEB， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴EF＝BF， 当ED＝2cm，CE＝4cm时，BF＝4cm，EF＝4cm， ∴AB＝4+2＝6（cm）， ∴四边形ABCD的周长＝2×（4+6）＝20（cm）； 当ED＝4cm，CE＝2cm时，BF＝EF＝2cm， ∴AB＝4+2＝6（cm）， ∴四边形ABCD的周长＝2×（2+6）＝16（cm）； ∴▱ABCD的周长为16cm或20cm． 故答案为：16cm或20cm． 13．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为 　8或12　． 【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE＝∠DAE，则DE＝AD＝5；同理可得，CF＝CB＝5，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的CD便可得AB． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， 又∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠AED， 则AD＝DE＝5； 同理可得，CF＝CB＝5， 当点F在D、E之间时，如图1， ∵EF＝2， ∴AB＝CD＝DE+CE＝DE+（CF﹣EF）＝5+5﹣2＝8； 当点F在C、E之间时，如图2， ∵EF＝2， ∴AB＝CD＝DE+EF+CF＝5+2+5＝12． 故答案为：8或12． 14．如图，▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝57°，则∠ADE＝　19°　． 【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DEAF＝AE＝EF，∠DAE＝∠ADE＝x，则DE＝CD，推出∠DCE＝∠DEC＝2x，再由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x，得出方程，解方程即可． 【解答】解：设∠ADE＝x， ∵AE＝EF，∠ADF＝90°， ∴DEAF＝AE＝EF， ∴∠DAE＝∠ADE＝x， ∵AE＝EF＝CD， ∴DE＝CD， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCA＝x， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x， ∴2x＝57°﹣x， 解得：x＝19°， 即∠ADE＝19°， 故答案为：19°． 15．如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，EF∥AB，若▱BDFE的面积为4，且BDAB，BEBC，则△ABC的面积是 　24　． 【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE＝2，结合BEBC可求解S△BDC＝8，再利用BDBA可求解△ABC的面积． 【解答】解：连接DE，CD， ∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为4， ∴S△BDES▱BDFE＝2， ∵BEBC， ∴S△BDC＝4S△BDE＝8， ∵BDBA， ∴S△ABC＝3S△BDC＝24， 故答案为：24． 16．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，垂足分别为E，F，∠EAF＝60°，CE＝1，CF＝4．求▱ABCD各边长． 【分析】由四边形内角和求出∠C＝120°，由平行四边形的性质得出四边形ABCD是平行四边形AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝60°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB＝2BF，设BF＝x，求出AD＝2DE，得出方程，解方程求出x，即可得出▱ABCD各边长． 【解答】解：∵AE⊥CD，AF⊥BC，∠EAF＝60°， ∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝60°， ∴在Rt△BAF中，∠BAF＝30°， ∴AB＝2BF， 设BF＝x，则AB＝CD＝2x，BC＝BF+CF＝x+4， ∵DE＝CD﹣CE＝2x﹣1， ∵在Rt△ADE中，∠DAE＝30°， ∴AD＝2DE， ∴x+4＝2（2x﹣1）， 解得：x＝2， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝6． 17．已知：如图，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（﹣2，0），求：点B、点C、点D的坐标． 【分析】可先解直角三角形AOD得出点D的纵坐标，即为点C的纵坐标，再由平行四边形的对边相等得出各个点的横坐标即可． 【解答】解：∵AD＝4，OA＝2， ∴在Rt△AOD中，由勾股定理可得OD＝2，即点C、D的纵坐标为2， 又CD＝AB＝5，点D的横坐标为O，∴可得点C的横坐标为5， 而点B的横坐标则为5﹣2＝3， ∴可得B（3，0）；D（0，2）；C（5，2）． 18．已知：如图，在▱ABCD中，延长DA至点E，延长BC至点F，使得AE＝CF， 连接EF，与对角线BD交于点O，求证：OE＝OF． 【分析】由平行四边形的性质得出DA∥BC，DA＝BC，证出DE＝BF，∠E＝∠F，∠EDO＝∠OCFFBO，由ASA证明△EOD≌△FOB，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥BC，DA＝BC， ∵AE＝CF， ∴DA+AE＝BC+CF， 即DE＝BF， ∵DA∥BC， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F，∠EDO＝∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴OE＝OF． 19．如图所示，在▱ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，OD＝3． （1）求△COD的周长； （2）直接写出▱ABCD的面积． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可求得BD的长，然后由AD⊥BD，AD＝4，OD＝3，利用勾股定理即可求得AB与OA的长，继而求得△COD的周长； （2）由S▱ABCD＝AD•BD，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OD＝2×3＝6， ∵AD⊥BD，AD＝4， ∴AB2，OA5， ∴CD＝AB＝2，OC＝OA＝5， ∴△COD的周长为：OD+OC+CD＝8+2； （2）S▱ABCD＝AD•BD＝4×6＝24． 20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：△ABE是等腰三角形． （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE＝∠BEA，即可得出AB＝BE； （2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4，AF＝EF＝2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积＝△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积AE•BF，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE； （2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积AE•BF4×24． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$