专题01 构造三角形中位线的常见方法-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题1 构造三角形中位线的常用方法 方法一：连接两点构造三角形的中位线 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 方法一：连接两点构造三角形的中位线 1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（　　） A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【分析】由题意可知，当AE取最小值时，FM的值最小，在等腰三角形ABC中利用等腰三角形三线合一的性质求出BH的长，得出三角形ABC的面积，再根据等面积法求出AE的长即可得出结果． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H， ∵F，M分别是AD，DE的中点， ∴FM， ∴当AE取最小值时，FM的值最小， 由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小， 在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12， ∴CH， ∴BH8， ∴48， 又∵， ∴， ∴AE＝9.6， ∴FM＝4.8， 故选：D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DECM即可． 【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值， 理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴AC•BC， ∴， ∴CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 即DE的最小值是， 故选：B． 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，若CP＝2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】取AC中点N，连接MN，BN，则ANAC＝2，根据勾股定理求出BM，由中位线定理得出MNCP＝1，根据三角形三边之间的关系得出1＜BM1，进而即可求解． 【解答】解：取AC中点N，连接MN，BN， ∴ANAC＝2， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， 根据勾股定理得：BN， ∵点M为AP中点，点N为AC中点，CP＝2， ∴MNCP＝1， 在△BMN中， ∵BN﹣MN＜BM＞BN+MN， ∴1＜BM1， ∴BM取最大值为1， 故选：A． 4．如图，∠AOB＝60°，C、D是边OA上的两点，且OD＝8，CD＝2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】在OD上取点M，使CM＝CD，进而得出CQ为△DMP的中位线，将CQ的最小值转化为PM的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：在OD上取点M，使CM＝CD，连接PM，如图所示， ∵点C为DM的中点，点Q为DP的中点， ∴CQ是△DMP的中位线， ∴CQ． 过点M作OB的垂线，垂足为N， 则当点P在点N处时，MP取得最小值，即为MN的长． ∵CD＝MC＝2，OD＝8， ∴OM＝8﹣2﹣2＝4． ∵∠AOB＝60°， ∴∠OMN＝30°， ∴ON， ∴MN， 则MP的最小值为， ∴CQ的最小值为． 故选：B． 5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　2　． 【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EFDN，然后结合图形解答即可． 【解答】解：连接DN、DB，如图所示： 在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2， ∴BD4， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△DMN的中位线， ∴EFDN， 由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4， ∴EF长度的最大值为2， 故答案为：2． 6．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，AB＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　3　． 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小． ∵∠C＝120°，AC＝BC， ∴AM＝BMAB＝6，∠A＝∠B＝30°， ∴AC＝2CM， 由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2， ∴4CM2＝54+CM2， ∴CM＝6， ∴DECM＝3． 故答案为：3． 7．如图，在△ABC中，，BC＝9，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则∠B＝　30　°，DE的最小值是 　　． 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：∵，BC＝9，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∵， ∴∠B＝30°．连接CM， ∵点D，E分别为CN，MN的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值最小． ∵CM⊥AB，∠B＝30°， ∴， ∴． 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 8．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果． 【解答】解：延长CE，交AB于点F． ∵AE平分∠BAC，AE⊥CE， ∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC， 在△EAF与△EAC中， ， ∴△EAF≌△EAC（ASA）， ∴AF＝AC，EF＝EC， 又∵D是BC中点， ∴BD＝CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴BF＝2DE＝2． ∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5； 故选：C． 9．如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长． 【分析】延长BD交AC于F，根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADF＝90°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠FAD，根据全等三角形的性质得到BD＝DF，AF＝AB＝6，求得CF＝AC﹣AF＝8，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：延长BD交AC于F， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF， ∵AD是△ABC中的∠BAC角平分线， ∴∠BAD＝∠FAD， 在△BAD与△FAD中， ， ∴△BAD≌△FAD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝6， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∴DECF＝4， 故DE的长为4． 10．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长为（　　） A．3 B． C．9 D． 【分析】取CE的中点F，连接DF，根据三角形中位线定理得到DFBE＝3，DF∥BE，根据勾股定理求出AF，进而求出AC． 【解答】解：如图，取CE的中点F，连接DF， ∵BD＝DC，EF＝FC， ∴DF是△CEB的中位线， ∴DFBE＝3，DF∥BE， ∵AD⊥BE， ∴AD⊥DF， ∴AF3， ∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE， ∴AH＝HD， ∵DF∥HE， ∴AE＝EF， ∴AC， 故选：D． 11．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1.25 C．1 D．0.75 【分析】延长CF交AB于H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【解答】解：如图，延长CF交AB于H， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠HAF， ∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝∠AFH＝90°， 在△AFC和△AFH中， ∵， ∴△AFC≌△AFH（ASA）， ∴CF＝FH，AH＝AC， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AC＝5﹣2＝3， 又∵AD是中线， ∴DF是△BCH的中位线， ∴． 故选：A． 12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】连接BE并延长交AC的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长． 【解答】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∴∠ABE＝∠AFE， ∴△ABF是等腰三角形， ∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点， ∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线， ∴． 故选：A． 13．如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【分析】分别延长AC、BF交于点G，证明△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得到AG＝AB＝6，BF＝FG，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，分别延长AC、BF交于点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠GAF， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（ASA）， ∴AG＝AB＝6，BF＝FG， ∴CG＝AG﹣AC＝6﹣3＝3， ∵BF＝FG，AD＝DC， ∴DF是△BCG的中位线， ∴DFCG＝1.5， 故选：C． 14．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（　　） A．5.5 B．5 C．6 D．6.5 【分析】延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半． 【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q， ∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC， ∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG， 又∵AD⊥CF，AG⊥BE， ∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB， ∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q， ∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9， 又∵BC＝7， ∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10， ∵AC＝PC，CD平分∠ACP， ∴点D是AP的中点， 同理可得，点G是AQ的中点， ∴DG是△APQ的中位线， ∴DGPQ＝5， 故选：B． 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　3　． 【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF并延长交AB于G， ∵AB∥CD， ∴∠FDC＝∠FBG， 在△FDC和△FBG中， ， ∴△FDC≌△FBG（ASA） ∴BG＝DC＝6，CF＝FG， ∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6， ∵CE＝EA，CF＝FG， ∴EFAG＝3， 故答案为：3． 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】连接AE，并延长交CD于K，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，根据三角形中位线的性质得到BE＝DE，根据全等三角形的性质得到DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，求得EFCK（DC﹣DK）（DC﹣AB），根据三角形的中位线得到EGBC，FGAD，根据三角形的周长得到即可得到结论． 【解答】解：连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE＝DE， 在△AEB和△KED中，， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线， ∴EFCK（DC﹣DK）（DC﹣AB）， ∵EG为△BCD的中位线， ∴EGBC， 又FG为△ACD的中位线， ∴FGAD， ∴EG+GF（AD+BC）， ∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6， ∴EG+GF＝6，FE＝3， ∴△EFG的周长是6+3＝9． 故选：B． 17．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　8或12　． 【分析】延长AD交BC延长线于F，由角平分线定义得到∠ABD＝∠FBD，由垂直的定义得到∠ADB＝∠FDB＝90°，由三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BFD，推出BF＝BA＝10，由等腰三角形的性质推出D是AF中点，而E是AC的中点，因此DE是△ACF的中位线，得到CF＝2DE＝2，即可求出BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8或BC＝BF+CF＝12． 【解答】解：如图，延长AD交BC延长线于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BFD， ∴BF＝BA＝10， ∵BD⊥AF， ∴D是AF中点， ∵E是AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴CF＝2DE＝2×1＝2， ∴BC＝BF﹣CF＝10﹣2＝8． 如图， 同样求得CF＝2，DF＝AB＝10， ∴BC＝BF+FC＝12． 故答案为：8或12． 18．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF＝（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH（ASA），根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【解答】解：取BF的中点H，连接DH， ∵BD＝DC，BH＝HF， ∴，DH∥AC， ∴∠HDE＝∠FAE， 在△AEF和△DEH中， ， ∴△AEF≌△DEH（ASA）， ∴AF＝DH， ∴， ∵AC＝6， ∴， 故选：B． 19．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． （1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理： 三角形的中位线　平行　于第三边，并且　等于第三边的一半　； （2）证明：三角形中位线定理． 已知：如图，DE是△ABC的中位线． 求证：　DEBC，DE∥BC　． 证明： 【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE＝EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠ADE，再求出BD＝CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF∥BC，DF＝BC． 【解答】解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． （2）已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， 求证：DEBC，DE∥BC， 证明：如图，延长DE到F，使DE＝EF，连接CF， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CEF中， ， ∴△ADE≌△CEF（SAS）， ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F， ∴AB∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝CF， ∴BD∥CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC且DEBC． 故答案为：平行；等于第三边的一半；DEBC，DE∥BC． 20．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长． 【分析】（1）如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，证明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠FCE，AD＝CF，则AD∥CF，再由点D是AB的中点，得到AD＝BD＝CF，即可证明四边形BCFD是平行四边形，则DE∥BC，DF＝BC，再由DE＝FE，即可证明； （2）如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E，证明△ADN≌△ECN，得到AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点，由（1）的结论可知BE＝2MN＝10，则BC＝BE﹣CE＝6． 【解答】（1）证明：如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，连接CF． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠FCE，AD＝CF， ∴AD∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DF＝BC， 又∵DE＝FE， ∴， ∴DE∥BC，且； （2）解：如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E， ∵AD∥BC， ∴∠NAD＝∠NEC，∠NDA＝∠NCE， ∵点N是CD的中点， ∴DN＝CN， 在△ADN和△ECN中， ， ∴△ADN≌△ECN（AAS）， ∴AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点， 又∵点M是AB的中点， ∴由（1）的结论可知BE＝2MN＝10， ∴BC＝BE﹣CE＝10﹣4＝6． 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 【分析】取AB的中点F，连接NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形中位线定理分别求出MF、NF，以及∠MFN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：取AB的中点F，连接NF、MF， △ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AM＝MD，AF＝FB， ∴MF是△ABD的中位线， ∴MFBD＝3，MF∥BC， ∴∠AFM＝∠CBA， 同理，NFAE＝2，NF∥CC， ∴∠BFN＝∠CAB， ∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴MN， 故选：D． 22．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别是边AD、CB的中点， ∴EG∥BD且EGBD63， FG∥AC且FGAC6＝3， ∵AC⊥BD， ∴EG⊥FG， ∴EF3． 故选：C． 23．如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】过点M作MN∥AB，交AC于点N，先证明MN是△ABC的中位线，则MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，再证FN＝MN＝5.5，进而可得出FC的长． 【解答】解：过点M作MN∥AB，交AC于点N，如图所示： ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α ∵MF∥AD， ∴∠1＝∠CAD＝α， ∵点M是BC的中点，MN∥AB， ∴MN是△ABC的中位线，∠2＝∠BAC＝2α， ∴MNAB＝5.5，NCAC＝7.5， ∵∠2是△MNF的一个外角， ∴∠2＝∠1+∠3， ∴2α＝α+∠3， ∴∠3＝α， ∴∠1＝∠3＝α， ∵FN＝MN＝5.5， ∴FC＝FN+NC＝5.5+7.5＝13． 故选：B． 24．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【分析】连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG，根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°，根据三角形中位线定理得到MGAE＝1，MG∥AE，NGBF＝1，NG∥BF，证明∠MGN＝90°，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG， 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵M、G分别为EF、AF的中点， ∴MG是△AEF的中位线， ∴MGAE＝1，MG∥AE， ∴∠MGF＝∠CAF， 同理可得：NGBF＝1，NG∥BF， ∴∠ANG＝∠B， ∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°， ∴MN， 故选：D． 25．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　） A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7 【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FCBC，再用PQ是△EFC中位线，PQCF，即可求得答案． 【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴DEBC，AE＝BE，AD＝CD， ∴∠EDB＝∠DBF， ∵P、Q是BD、CE的中点， ∴DP＝BP， ∵在△DEP与△BFP中， ， ∴△DEP≌△BFP（ASA）， ∴BF＝DEBC，P是EF中点， ∴FCBC， PQ是△EFC中位线， PQFC， ∴PQ：BC＝1：4． 故选：A． 26．如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF＝3，则AB2+DC2的值是（　　） A．36 B．27 C．18 D．9 【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，根据三角形中位线定理得到EMAB，FMCD，∠NMF＝90°，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM， ∵∠BAD+∠ADC＝270°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点， ∴EM∥AB，FM∥CD，EMAB，FMCD， ∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C， ∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°， 由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝9， ∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝36． 故选：A． 27．【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为 　，DE∥BC　； 【应用】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1.5，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为 　135　度； 【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 【分析】[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝3，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； [拓展]取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且，NH∥BD且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【解答】解：[三角形中位线定理]，DE∥BC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，DE∥BC， 故答案为：，DE∥BC； [应用]如图所示，连接BD， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴BD＝2EF＝3，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝4， ∴BC2＝25，BD2+CD2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°， 故答案为：135； [拓展]证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且， 同理可得NH∥BD且． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵NH∥BD，MH∥AC， ∴∠EGF＝∠HNM，∠EFG＝∠HMN， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 构造三角形中位线的常用方法 方法一：连接两点构造三角形的中位线 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 方法一：连接两点构造三角形的中位线 1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（　　） A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，若CP＝2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，∠AOB＝60°，C、D是边OA上的两点，且OD＝8，CD＝2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　． 6．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，AB＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　． 7．如图，在△ABC中，，BC＝9，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则∠B＝　 　°，DE的最小值是 　 　． 方法二：利用角平分线，垂直构造三角形的中位线 8．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 9．如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长． 10．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长为（　　） A．3 B． C．9 D． 11．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1.25 C．1 D．0.75 12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 13．如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 14．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（　　） A．5.5 B．5 C．6 D．6.5 方法三：利用倍长法构造三角形的中位线 15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝　 　． 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 17．在△ABC中，AB＝10，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，E是AC的中点，DE＝1，则BC的长度是 　 　． 18．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF＝（　　） A．3 B．2 C． D． 19．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． （1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理： 三角形的中位线　 　于第三边，并且　 　； （2）证明：三角形中位线定理． 已知：如图，DE是△ABC的中位线． 求证：　 　． 证明： 20．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长． 方法四：已知中点，取其其他边的中点构造三角形的中位线 21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 22．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A．3 B． C． D． 23．如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 24．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 25．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　） A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7 26．如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF＝3，则AB2+DC2的值是（　　） A．36 B．27 C．18 D．9 27．【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为 　 　； 【应用】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1.5，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为 　 　度； 【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$