第05讲 正方形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第05讲 正方形 课程标准 学习目标 ①正方形的定义与性质 ②正方形的判定 ③中点四边形 1. 熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。 2. 掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。 3. 掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。 知识点01 正方形的定义与性质 1. 正方形的定义： 四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形叫做正方形。 所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。 2. 正方形的性质： 同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。 【即学即练1】 1．正方形有而矩形不一定有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误； B、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误； C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误； D、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，已知点E，点F为正方形ABCD内两点，C，E，F三点共线且满足∠BEC＝∠CFD＝90°，连接DE并延长交BC于点G，若EG平分∠BEC，AB，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 【分析】先证明△BCE≌△CDF得CE＝DF，再证明△DEF为等腰直角三角形，设DF＝x，在Rt△CDF中由勾股定理列出方程求得x，进而由勾股定理求得DE． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝∠BCE+∠DCF＝90°， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴CE＝DF， ∵EG平分∠BEC， ∴∠DEF＝∠CEG， ∴EF＝DF＝CE， 设EF＝DF＝CE＝x， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴， ∴x＝1， ∴DE， 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 　65　度． 【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线， ∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°， ∴∠AED＝∠AEB， ∵∠AEB为△EBC的外角， ∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝20°+45°＝65°， ∴∠AED＝65°， 故答案为：65． 【即学即练4】 4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A．（，1） B．（﹣1，） C．（﹣1，） D．（1，） 【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，证明△OCF≌△AOE，得出对应边相等OF＝AE＝1，CF＝OE，即可求出结果． 【解答】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示： 则∠CFO＝∠OEA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠AOC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCF和△AOE中，， ∴△OCF≌△AOE（AAS）， ∴OF＝AE＝1，CF＝OE， ∴点C的坐标为（﹣1，）； 故选：C． 【即学即练4】 5．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．48 B．60 C．76 D．80 【分析】先由∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，根据勾股定理求得AB＝10，再分别求出正方形ABCD的面积和△AEB的面积，即可由S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEB求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8， ∴AB10， ∵四边形ABCD是正方形， ∴S正方形ABCD＝AB2＝102＝100， ∵S△AEBAE•BE6×8＝24， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEB＝100﹣24＝76， ∴阴影部分的面积是76， 故选：C． 知识点02 正方形的判定 1. 正方形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 相等 且四个角也 相等 的四边形是正方形 ∵AB = BC = CD = AD ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB ∴四边形ABCD是正方形 矩形加特殊性 邻边 相等 的矩形是正方形 ∵在矩形ABCD中，AB = AD ∴四边形ABCD是正方形 对角线 垂直 的矩形是正方形 ∵在矩形ABCD中，AC ⊥ BD ∴四边形ABCD是正方形 菱形加特殊性 有一个角是 直角 的菱形是正方形 ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝ 90° ∴四边形ABCD是正方形 对角线 相等 的菱形是正方形 ∵在菱形ABCD中，AC ＝ BD ∴四边形ABCD是正方形 【即学即练1】 6．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD 【分析】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确． 【解答】解：在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D． 【即学即练2】 7．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．AB∥CD C．∠A＝90° D．∠A＝∠C 【分析】利用菱形的判定方法结合正方形的判定进而得出答案． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， 当∠A＝90°时， 菱形ABCD是正方形． 故选：C． 【即学即练3】 8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形． 【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵DE＝DF， ∴矩形DECF是正方形． 【即学即练4】 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，BF． （1）判断四边形AEBF的形状，并说明理由． （2）当Rt△ABC满足条件　AC＝BC　时，四边形AEBF是正方形． 【分析】（1）由AF∥BE，得∠FAD＝∠EBD，而AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，即可根据“ASA”证明△ADF≌△BDE，得AF＝BE，则四边形AEBF是平行四边形，因为EF⊥AB，所以四边形AEBF是菱形； （2）当∠AEB＝90°时，四边形AEBF是正方形，由∠C＝∠AEB＝90°，点C与点E重合，则AC＝AE＝BE＝BC，所以当AC＝BC或∠ABC＝45°时，四边形AEBF是正方形，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）四边形AEBF是菱形， 理由：∵AF∥BE， ∴∠FAD＝∠EBD， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD， 在△ADF和△BDE中， ， ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴AF＝BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵DE⊥AB，AF∥BE，交ED的延长线于点F， ∴EF⊥AB， ∴四边形AEBF是菱形． （2）∵四边形AEBF是菱形， ∴当∠AEB＝90°时，四边形AEBF是正方形， ∵∠C＝∠AEB＝90°， ∴点C与点E重合， ∴AC＝AE＝BE＝BC， ∴当AC＝BC时，四边形AEBF是正方形， 故答案为：AC＝BC． 注：答案不唯一，如：∠ABC＝45°． 知识点03 中点四边形 1. 中点四边形的定义： 连接四边形各边的 中点 得到的四边形叫做中点四边形。 2. 中点四边形的形状： ①任意四边形的中点四边形是 平行四边形 。 ②对角线相等的四边形的中点四边形是 菱形 。 ③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 矩形 。 【即学即练1】 10．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　） ①矩形； ②菱形； ③对角线相等的四边形； ④对角线互相垂直的四边形． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】连接AC、BD，根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理得到EFAC，FGBD，GHAC，EHBD，进而得到EF＝FG＝GH＝EH，根据菱形的判定定理即可判断①，进而可以判断③；根据三角形中位线定理得到EH∥BD，FG∥BD，进而证明四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可判断④，进而可以判断②． 【解答】解：如图1，连接AC、BD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴EFAC，FGBD，GHAC，EHBD， ∴EF＝FG＝GH＝EH， ∴四边形EFGH为菱形，故①不符合题意； ∵矩形的对角线相等， ∴顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故③不符合题意； 如图2，E，F，G，H分别是四边形AB，BC，CD，DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴EH⊥EF， ∴四边形EFGH是矩形，故④符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直， ∴顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故②符合题意； 故选：C． 题型01 利用正方形的性质求线段长度 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 【分析】由正方形的性质得AB＝DA，∠BAD＝90°，由DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，得∠AFB＝∠DEA＝90°，则∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE，即可根据“AAS”证明△BAF≌△ADE，得BF＝AE＝4，AF＝DE＝9，则EF＝AF﹣AE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9， ∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5， 故选：A． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．1 【分析】由题意证明△BOE≌△COF（ASA），所以OE＝OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长． 【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°； ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠COF＝60°， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴△OEF是等腰直角三角形； 过点F作FG⊥OD，如图， ∴∠OGF＝∠DGF＝90°， ∵∠ODC＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴GF＝DGDF＝1， ∴OF＝2GF＝2， ∴EFOF＝2． 故选：C． 【变式2】如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE＝3，BE＝1．∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】延长AF交AB的延长线于点H，根据正方形的性质得AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，则DE＝5，根据角平分线的定义及平行线的性质得∠CDF＝∠EDF＝∠H，则EH＝DE＝5，进而得CD＝BH＝4，证明△CDF和△BHF全等得CF＝BF，则GF是△DEH的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出GF的长． 【解答】解：延长DF交AB的延长线于点H，如图所示： ∵AE＝3，BE＝1， ∴AB＝AE+BE＝4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE5， ∵DF平分∠ECD， ∴∠CDF＝∠EDF， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠H，∠C＝∠CBH＝90°， ∴∠EDF＝∠H， ∴EH＝DE＝5， ∴BH＝EH﹣BE＝5﹣1＝4， ∴CD＝BH＝4， 在△CDF和△BHF中， ， ∴△CDF≌△BHF（ASA）， ∴CF＝BF， ∵点G是DE的中点， ∴GF是△DEH的中位线， ∴GFEH＝2.5． 故选：B． 【变式3】已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为 　或　． 【分析】当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE＝CD＝4时，过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，则四边形CDMN是矩形，进而得MN＝CD＝4，△EBC是等边三角形，则EN，ME，在四边形ABEP中，∠PEB＝∠BAD＝90°，∠ABE＝30°，则∠APE＝150°进而得∠MPE＝30°，则AP＝PE；②当CE＝DE时，过点E作EH⊥CD，HE的延长线交AB于点T，则HT是正方形ABCD的一条对称轴，进而得AE＝BE＝4，则△ABE是等边三角形，然后在Rt△ABP中可求出AP，综上所述即可得出AP的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°， 根据轴对称的性质得：PA＝PE，AB＝BE＝4，∠PEB＝∠BAD＝90°，∠PBA＝∠PBE， 当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当CE＝CD＝4时，过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，如图1所示： ∴∠NMD＝∠MNC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝4， ∵BE＝BC＝CE＝4， ∴△EBC是等边三角形， ∴CN＝1/2BC＝2，∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°， 在Rt△ECN中，由勾股定理得：EN， ∴ME＝MN﹣EN， 在四边形ABEP中，∠PEB＝∠BAD＝90°，∠ABE＝30°， ∴∠APE＝90°﹣∠ABE＝150°， ∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°， 在Rt△PME中，PE＝2ME， ∴AP＝PE； ②当CE＝DE时，过点E作EH⊥CD，HE的延长线交AB于点T，如图2所示： ∴DH＝CH， ∴HT是CD的垂直平分线， ∴HT是正方形ABCD的一条对称轴， ∴AE＝BE＝4， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠PBA＝∠PBE＝30°， 在Rt△ABP中，BP＝2AP， 由勾股定理得：ABAP， ∴APAB． 综上所述：当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为或． 题型02 利用正方形的性质求角的度数 【典例1】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据正方形的性质对角线互相垂直可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD于点O， ∴∠AOB＝90°， 故选：D． 【变式1】如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，AC，相交于点F，则∠BFC的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，AB＝AD＝AE，∠DAE＝60°，进而得∠BAE＝150°，∠ABE＝∠E＝15°，然后根据∠BFC＝∠BAC+∠ABE即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°， ∴AE＝AB，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°， ∴∠ABE＝∠E（180°﹣∠BAE）（180°﹣150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAC+∠ABE＝45°+15°＝60°． 故选：C． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 【分析】设AC，BD相交于点O，先证明BE＝CF，进而可证明△BCE和△CDF全等，则∠BCE＝∠CDF＝α，进而得∠ODF＝45°﹣α，然后在Rt△ODF中，可求出∠AFD的度数． 【解答】解：设AC，BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，OB＝OC，∠EBC＝∠FCB＝∠FCD＝∠CDB＝∠45°，∠DOC＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠OEF＝∠EBC＝∠45°，∠OFE＝∠FCB＝∠45°，∠BCE＝∠CEF＝α， ∴OE＝OF， ∴OB﹣OE＝OC﹣OF， ∴BE＝CF， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠BCE＝∠CDF＝α， ∴∠ODF＝∠CDB﹣∠CDF＝45°﹣α， 在Rt△ODF中，∠DOC＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α． 故选：D． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【分析】根据正方形的性质证得△ADG和△DCF全等，得出∠DAG＝∠CDF＝α，于是得出∠ADF＝90°﹣α，推出∠DFC＝∠ADF＝90﹣α，再证△EDF是等腰三角形，即可得出∠EDF的度数，再根据三角形内角和定理求出出∠AMD的度数，从而得出△ADM是等腰三角形，继而推出△DCM是等腰三角形，从而求出∠DCM的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC，AD∥BC， 在△ADG和△DCF中，， ∴△ADG≌△DCF（SAS）， ∴∠DAG＝∠CDF， ∵∠DAG＝α， ∴∠CDF＝α， ∵∠ADG＝∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠DFC＝∠ADF＝90﹣α， ∵EF＝DE， ∴△EDF是等腰三角形， ∴∠EFD＝∠EDF＝90°﹣α， ∵在△ADM中，∠DAM＝α，∠ADM＝∠ADF+∠EDF＝90﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α， ∴∠AMD＝180°﹣α﹣（180°﹣2α）＝α， ∴∠DAM＝∠AMD， ∴△ADM是等腰三角形， ∴AD＝DM， ∴DM＝DC， ∴△DCM是等腰三角形， ∴∠DCM＝∠DMC（180°﹣∠CDM）， ∵∠CDM＝∠ADM﹣∠ADC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α， ∴∠DCM（180°﹣90°+2α）＝45°+α， 故选：B． 题型03 利用正方形的性质求点的坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），则顶点C的坐标是（　　） A． B． C．（2，﹣2） D． 【分析】根据AC、OB的互相垂直平分，且OB＝4＝AC，即有OD＝DB＝DA＝DC＝2，问题得解． 【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），如图，连接AC，交OB于点D， ∴AC、OB的互相垂直平分，且OB＝4＝AC， ∴OD＝DB＝DA＝DC＝2，OD⊥DC， ∴C点坐标（2，﹣2）， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3） 【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据正方形的性质，可证Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA），可得DO＝EC，AD＝OE，根据点C的坐标可确定OE，CE的长，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝OC，∠AOC＝90°， ∴∠AOD+∠EOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°， ∴∠OAD＝∠EOC， 在Rt△AOD，Rt△OCE中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA）， ∴DO＝EC，AD＝OE， ∵C（3，2）， ∴OE＝3，CE＝2， ∴OD＝2，AD＝3，且点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（﹣2，0），B（0，1），则点D的坐标是（　　） A． B．（﹣3，2） C． D．（﹣1，3） 【分析】由“AAS”可证△ABO≌△BDH，可得AO＝DH＝2，BO＝AH＝1，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H， 、∵点A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AO＝2，BO＝1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°＝∠AOB＝∠DHA， ∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠BAO+∠DAH， ∴∠ABO＝∠DAH， 在△ABO和△D A H中， ， ∴△ABO≌△DAH（AAS）， ∴AO＝DH＝2，BO＝AH＝1， ∴点D（﹣3，2）． 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣2，4），点D在第一象限，则点C的坐标为 （　　） A．（2，8） B．（3，7） C．（1，8） D．（2，7） 【分析】过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥BF，垂足为E，证明△AFB≌△BEC，得到BE＝AF＝2，CE＝BF＝4，计算EF的长即可． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥BF，垂足为E， ∴∠BFA＝∠CEB＝90°， ∴∠2+∠3＝90° ∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣2，4）， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AO＝1，BF＝4，OF＝2， ∴AF＝3，∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵AB＝BC，∠BFA＝∠CEB＝90°， ∴△AFB≌△BEC， ∴BE＝AF＝3，CE＝BF＝4， ∴EF＝3+4＝7，CE﹣OF＝2， ∴点C（2，7）， 故选：D． 题型04 正方形的判定与性质综合 【典例1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答． 【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形， 故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB＝DB B．BD＝OC C．AC＝BD D．∠ADC＝120° 【分析】根据正方形的判定方法，一一判断即可． 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件AC＝BD． 故选：C． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形； （2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a． 【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F， ∴FC＝FD， ∴∠D＝∠FCD＝45°， ∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）∵FG垂直平分CD， ∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°， ∵BG∥AD， ∴∠G＝∠EFD， 在△CEG和△DEF中， ， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， 又∵正方形ABCF中，BC＝AF， ∴AF+FD＝BC+CG， ∴AD＝BG＝a． 【变式3】如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4． 【变式4】如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4． 题型05 图形的中点四边形 【典例1】顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形． 【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG， 在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG， ∴△AEH≌△DGH， ∴EH＝HG， 同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH ∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：B． 【变式1】顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（　　） A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分． 【解答】解：添加AC＝BD． 如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点， 则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线， ∴EH＝FGBD，EF＝HGAC， ∴当AC＝BD时， EH＝FG＝FG＝EF成立， 则四边形EFGH是菱形． 故选：B． 【变式2】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC、BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 【分析】根据三角形中位线定理得到EN＝FMAB，FN＝EMCD，则可证明四边形EMFN为平行四边形，当当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，据此可得答案． 【解答】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF， ∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴EN＝FMAB，FN＝EMCD， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形， 故选：B． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形． 【分析】（1）由三角形中位线定理，得到GF∥EH，GF＝EH，推出四边形EGFH是平行四边形； （2）由三角形中位线定理得到FG＝FH，又四边形EGFH是平行四边形，推出▱EGFH是菱形． 【解答】证明：（1）∵点E与点H分别为AD，AC的中点， ∴EH是△ADC的中位线， ∴EH∥CD，EHCD， 同理：GF∥CD，GFCD， ∴GF∥EH，GF＝EH， ∴．四边形EGFH是平行四边形； （2）∵点F与点H分别为BC，AC的中点， ∴FH是△ABC的中位线， ∴FHAB， ∵FGCD，AB＝CD， ∴FH＝FG， 由（1）知四边形EGFH是平行四边形， ∴▱EGFH是菱形． 1．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（　　） A．由①推出②，由②推出③ B．由①推出③，由③推出② C．由③推出①，由①推出② D．由②推出③，由③推出① 【分析】根据正方形的性质与判定，菱形的性质进行判断即可． 【解答】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形； 菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； 正方形拥有菱形的一切性质， 故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②； ∴A，B，C三个选项推理过程错误，不符合题意， D选项推理过程正确，符合题意， 故选：D． 2．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形． 【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG， 在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG， ∴△AEH≌△DGH， ∴EH＝HG， 同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH， ∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：D． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形 【分析】根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【解答】解：A、由四边形ABCD是平行四边形结合AB＝AD，可得▱ABCD是菱形，不符合题意； B、由四边形ABCD是平行四边形结合AC＝BD，可得▱ABCD是矩形，不符合题意； C、由四边形ABCD是平行四边形结合AC⊥BD，可得▱ABCD是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形ABCD是平行四边形结合AB⊥BC，可得▱ABCD是矩形，符合题意； 故选：D． 4．在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（　　） 姓名：张小亮得分：？判断（每小题20分，共100分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【分析】根据菱形，矩形和正方形的判定逐个分析即可． 【解答】解：①四边相等的四边形是菱形，故①正确； ②菱形的对角线垂直且互相平分，故②错误； ③有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例直角梯形，故③错误； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故④正确； ⑤有一个角是直角的平行四边形是矩形不一定是正方形，故⑤错误； ∴小亮答对4题，共得80分， 故选：B． 5．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（　　） A． B．6 C．8 D．10 【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积． 【解答】解：∵点E在正方形ABCD的边AB上，EB＝1，EC＝3， ∴∠B＝90°， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得：BC2＝EC2﹣EB2＝32﹣12＝8， ∴正方形ABCD的面积＝BC2＝8． 故选：C． 6．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【分析】延长EF交CD于点M，连接BM，设AE＝a，则DE＝3﹣a，EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°，证明Rt△BFM和Rt△BCM全等得MF＝MC，则∠MFC＝∠MCF，进而得∠MFD＝∠MDF，则MF＝MD＝MC，EM，然后在Rt△DEM中，由勾股定理求出a＝1，继而可得AE的长． 【解答】解：延长EF交CD于点M，连接BM，如图所示： 设AE＝a， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣a， 根据轴对称的性质得：EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°， ∴∠BFM＝∠BFE＝90°，BF＝BC＝3， 在Rt△BFM和Rt△BCM中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL）， ∴MF＝MC， ∴∠MFC＝∠MCF， ∵∠DFC＝90°， ∴∠MFD+∠MFC＝90°，∠MDF+∠MCF＝90°， ∴∠MFD＝∠MDF， ∴MF＝MD， ∴MC＝MF＝MDCD， ∴EM＝EF+MF， 在Rt△DEM中，DE＝3﹣a，EM，MD， 由勾股定理得：EM2＝DE2+MD2， ∴， 解得：a＝1， ∴AE＝1． 故选：A． 7．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明△ABE≌△ADF，进而得出△CEF为等腰直角三角形，即可求出∠CEF． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1） 【分析】根据对角线相等的性质求对角线AC的长度，注意有两种情况． 【解答】解：有两种情况： （1）连接AC， ∵四边形OABC是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1， 故A点坐标（1，1）， （2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标（1，﹣1）， 故选：D． 9．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 【分析】先根据四边形EFGH是正方形，证明AF⊥BG，再根据AG＝AB，证明GF＝BF，然后设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，根据全等三角形的性质证明AF＝BG＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理求出AB，最后根据正方形的面积公式求出答案即可． 【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴∠GFE＝90°， ∴AF⊥BG， ∵AG＝AB， ∴AF是BG边上的中线， ∴GF＝BF， 设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x， ∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH， ∴AF＝BG＝2x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： ， ∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：， 故选：B． 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论： ①BE＝EF； ②矩形DEFG是正方形； ③CG＝AE； ④CG平分∠DCF． 其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，由正方形的性质得CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD，则BE＝ED，因为CA平分∠BCD，所以EH＝EL，再推导出∠HEF＝∠LED，进而证明△HEF≌△LED，得EF＝ED，所以BE＝EF，可判断①正确；由四边形DEFG是矩形，EF＝ED，证明四边形DEFG是正方形，可判断②正确；再证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，可判断③正确；可证明∠DCG＝∠DAE＝45°，则∠FCG＝∠DCG＝45°，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，则∠EHF＝∠ELD＝∠ELC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD， ∵E为AC上一点， ∴BE＝ED， ∵CB＝CD，CA⊥BD， ∴CA平分∠BCD， ∴EH＝EL， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∵∠HEL＝180°﹣∠EHF﹣∠BCD﹣∠ELC＝90°， ∴∠HEF＝∠LED＝90°﹣∠FEL， 在△HEF和△LED中， ， ∴△HEF≌△LED（ASA）， ∴EF＝ED， ∴BE＝EF， 故①正确； ∵四边形DEFG是矩形，EF＝ED， ∴四边形DEFG是正方形， 故②正确； ∴∠EDG＝∠ADC＝90°，GD＝ED， ∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE， 在△CDG和△ADE中， ， ∴△CDG≌△ADE（SAS）， ∴CG＝AE， 故③正确； ∵∠DCE＝∠DAE＝45°， ∴∠DCG＝∠DAE＝45°， ∵∠DCF＝90°， ∴∠FCG＝∠DCG＝45°， ∴CG平分∠DCF， 故④正确， 故选：D． 11．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　②　．（仅填序号） 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可． 【解答】解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形； 故答案为：②． 12．如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 　5.2　． 【分析】先根据已知条件，利用勾股定理求出BC从而得到AD，设点P到BC的距离为h，然后根据Rt△BCP的面积，求出点P到BC的距离，从而求出点P到AD的距离即可． 【解答】解：∵∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6， ∴， ∴CD＝BC＝10， 设点P到BC的距离为h， ∵△BCP的面积， ∴， 48＝10h， h＝4.8， ∴点P到直线AD的距离为：10﹣4.8＝5.2， 故答案为：5.2． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　1　． 【分析】先证∠BOM＝∠CON，再证△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面积相等，再证得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠CON+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝∠CON， 在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴S△BOM＝S△CON， ∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC1， 故答案为：1． 14．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝8cm，则图1中对角线AC的长为 　4　． 【分析】如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC．在图2中，利用勾股定理求出BC，在图1中，证明△BCD是等边三角形，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】 解：如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC． 在图2中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵AC＝8cm，AB2+BC2＝AC2， ∴， 在图1中， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°， ∴AB∥DC，CD＝BC，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴∠C＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，正方形ABCD和正方形EFGH重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长HE、FE，交AB和AD于P、Q两点，构成的四边形BMEP和四边形QEND都是正方形，四边形APEQ是长方形．若MF＝9，NH＝28，长方形EMCN的面积为180．则正方形ABCD的面积是 　1081　． 【分析】设正方形EFGH的边长为x，则EN＝x﹣28，EM＝x﹣9，由长方形EMCN的面积为180得出（x﹣28）（x﹣9）＝180，再分别计算正方形BMEP、正方形QEND、长方形APEQ的面积即可得出正方形ABCD的面积． 【解答】解：设正方形EFGH的边长为x， 则EN＝x﹣28，EM＝x﹣9， ∵长方形EMCN的面积为180． ∴（x﹣28）（x﹣9）＝180， ∵四边形BMEP是正方形，四边形QEND是正方形， ∴PE＝EM＝x﹣9，QE＝EN＝x﹣28， ∴长方形APEQ的面积为（x﹣9）（x﹣28）＝180， ∴S正方形ABCD＝S长方形APEQ+S正方形QEND+S长方形EMCN+S正方形BMEP ＝180+（x﹣28）2+180+（x﹣9）2 ＝（x﹣28）2﹣2（x﹣28）（x﹣9）+（x﹣9）2+2（x﹣28）（x﹣9）+360 ＝[（x﹣28）﹣（x﹣9）]2+2×180+360 ＝（﹣19）2+360+360 ＝361+360+360 ＝1081， 故答案为：1081． 16．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝24，DE＝8，求点A到EF的距离． 【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△ABF即可； （2）过点A作AG⊥EF于点G，用勾股定理求出AE，AF，证明△AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得出． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝90°， 在△ADE和△ABF中 ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：过点A作AG⊥EF于点G，如图所示： ∵BC＝24， ∴AD＝24， 在Rt△ADE中，DE＝8，AD＝24， ∴， ∵△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF， ∴∠DAE+∠BAE＝∠BAF+∠BAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴， ∵AG⊥EF， ∴， 即点A到EF的距离为：． 17．如图，把一边长为x cm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． （1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示） （2）若x＝9cm，y＝2cm时，求该纸盒的体积； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【分析】（1）根据纸盒的表面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积，计算可； （2）根据长方体的公式解答即可； （3）如图由题意，AD＝2AE＝2DF，可推出EF＝2AD＝4AE，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）该纸盒的表面积为（x2﹣4y2）cm2； （2）该纸盒的体积为y（x﹣2y）2cm3， 当x＝9cm，y＝2cm时，y（x﹣2y）2＝2×（9﹣2×2）2＝50（cm3）， 答：该纸盒的体积为50cm3； （3）如图， ∵AD＝2AE＝2DF， ∴EF＝2AD＝4AE， ∵EF＝x，AE＝y， ∴x＝4y， ∴x与y之间的倍数关系是x＝4y． 18．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　45　°时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　12　． 【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形； （3）根据梯形面积公式即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下： 若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠A＝45°， ∴∠AEC＝90°， 由（1）知四边形BECF是菱形， ∴四边形BECF是正方形； 故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2， ∴四边形ABFC的面积为12， 故答案为：12． 19．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形； ②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45　°（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积． （3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　2.8　（直接写出结果不写解答过程）． 【分析】（1）由∠C＝90°可得∠CEF+∠CFE＝90°，进而得∠BEF+∠DFE＝270°，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点A作AG⊥EF于G，由角平分线的性质可得AB＝AD，再证明四边形ABCD是矩形即可求证； ②证明Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）得BE＝GE＝3，同理得DF＝GF，设DF＝GF＝x，得EF＝3+x，又由BE＝EC＝3可得CD＝AB＝CG＝6， 得到CF＝6﹣x，在Rt△CEF中，利用勾股定理得32+（6﹣x）2＝（3+x）2，得到x＝2，即得EF＝5，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，同理（2）即可求解； 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣90°＝270°， ∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE， ∴，， ∴， ∴∠EAF＝180°﹣135°＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：过点A作AG⊥EF于G， ∵AE平分∠BEF，AB⊥EB，AG⊥EF， ∴AB＝AG， 同理可得AD＝AG， ∴AB＝AD， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②∵AG⊥EF， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝GE＝3， 同理可得DF＝GF， 设DF＝GF＝x， ∴EF＝3+x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝3+3＝6， ∴CD＝AB＝AG＝6， ∴CF＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2， ∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝2， ∴EF＝3+2＝5， ∴； （3）解：如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G， 由折叠可得PD＝PH＝PM＝7，QD＝QH＝3，MR＝HR，∠DPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°， ∴∠DPM＝2∠HPQ+2∠HPR＝2（∠HPQ+∠HPR）＝2∠QPR＝90°， ∴∠D＝∠DPM＝∠M＝90°， ∴四边形PMGD是矩形， ∵PD＝PM， ∴四边形PMGD是正方形， ∴DG＝MG＝PD＝7， ∴GQ＝DG﹣QD＝7﹣3＝4， 设MR＝HR＝a，则QR＝3+a，GR＝7﹣a， 在Rt△GQR中，GQ2+GR2＝QR2， ∴42+（7﹣a）2＝（3+a）2， 解得a＝2.8， ∴HR＝2.8， 故答案为：2.8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正方形 课程标准 学习目标 ①正方形的定义与性质 ②正方形的判定 ③中点四边形 1. 熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。 2. 掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。 3. 掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。 知识点01 正方形的定义与性质 1. 正方形的定义： 四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。 所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。 2. 正方形的性质： 同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。 【即学即练1】 1．正方形有而矩形不一定有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【即学即练2】 2．如图，已知点E，点F为正方形ABCD内两点，C，E，F三点共线且满足∠BEC＝∠CFD＝90°，连接DE并延长交BC于点G，若EG平分∠BEC，AB，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 【即学即练3】 3．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 　 　度． 【即学即练4】 4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A．（，1） B．（﹣1，） C．（﹣1，） D．（1，） 【即学即练4】 5．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．48 B．60 C．76 D．80 知识点02 正方形的判定 1. 正方形的判定： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四条边都 且四个角也 的四边形是正方形 ∵AB BC CD AD ∠ABC ∠BCD ∠CDA ∠DAB ∴四边形ABCD是正方形 矩形加特殊性 邻边 的矩形是正方形 ∵在矩形ABCD中，AB AD ∴四边形ABCD是正方形 对角线 的矩形是正方形 ∵在矩形ABCD中，AC BD ∴四边形ABCD是正方形 菱形加特殊性 有一个角是 的菱形是正方形 ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝ ∴四边形ABCD是正方形 对角线 的菱形是正方形 ∵在菱形ABCD中，AC BD ∴四边形ABCD是正方形 【即学即练1】 6．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD 【即学即练2】 7．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．AB∥CD C．∠A＝90° D．∠A＝∠C 【即学即练3】 8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【即学即练4】 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，BF． （1）判断四边形AEBF的形状，并说明理由． （2）当Rt△ABC满足条件　 　时，四边形AEBF是正方形． 知识点03 中点四边形 1. 中点四边形的定义： 连接四边形各边的 得到的四边形叫做中点四边形。 2. 中点四边形的形状： ①任意四边形的中点四边形是 。 ②对角线相等的四边形的中点四边形是 。 ③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 。 【即学即练1】 10．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　） ①矩形； ②菱形； ③对角线相等的四边形； ④对角线互相垂直的四边形． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 题型01 利用正方形的性质求线段长度 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．1 【变式2】如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE＝3，BE＝1．∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式3】已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为 ． 题型02 利用正方形的性质求角的度数 【典例1】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式1】如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，AC，相交于点F，则∠BFC的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式2】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 【变式3】如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 题型03 利用正方形的性质求点的坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），则顶点C的坐标是（　　） A． B． C．（2，﹣2） D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3） 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（﹣2，0），B（0，1），则点D的坐标是（　　） A． B．（﹣3，2） C． D．（﹣1，3） 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣2，4），点D在第一象限，则点C的坐标为 （　　） A．（2，8） B．（3，7） C．（1，8） D．（2，7） 题型04 正方形的判定与性质综合 【典例1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB＝DB B．BD＝OC C．AC＝BD D．∠ADC＝120° 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【变式3】如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 题型05 图形的中点四边形 【典例1】顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 【变式1】顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（　　） A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB 【变式2】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC、BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90° 【变式3】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形． 1．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（　　） A．由①推出②，由②推出③ B．由①推出③，由③推出② C．由③推出①，由①推出② D．由②推出③，由③推出① 2．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形 4．在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（　　） 姓名：张小亮得分：？判断（每小题20分，共100分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 5．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（　　） A． B．6 C．8 D．10 6．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 7．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 8．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1） 9．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论： ①BE＝EF； ②矩形DEFG是正方形； ③CG＝AE； ④CG平分∠DCF． 其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 11．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　．（仅填序号） 12．如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 　 ． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　 　． 14．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝8cm，则图1中对角线AC的长为 　 　． 15．如图，正方形ABCD和正方形EFGH重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长HE、FE，交AB和AD于P、Q两点，构成的四边形BMEP和四边形QEND都是正方形，四边形APEQ是长方形．若MF＝9，NH＝28，长方形EMCN的面积为180．则正方形ABCD的面积是 　 　． 16．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝24，DE＝8，求点A到EF的距离． 17．如图，把一边长为x cm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． （1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示） （2）若x＝9cm，y＝2cm时，求该纸盒的体积； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 18．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　 　°时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　 　． 19．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　°（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积． （3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　 　（直接写出结果不写解答过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$