精品解析：江苏省徐州市铜山区2024-2025学年上学期期中质量自测九年级数学试题

2024~2025学年度第一学期期中质量自测 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页满分140分，考试时间120分钟； 2.答案全部涂、写在答题卡上，写在本试卷无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中有一项是正确的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.023 0.018 0.020 0.021 则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2， ∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙． 故选B． 2. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案 【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C口走出的可能性占总的 ，故概率为； 故答案选：B； 【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把变号后移到等号右边，再给方程两边同时加上，最后把方程写成的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 4. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 5. 在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，理解切线的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理可得， ， 如图，当与相切于点时，， 由三角形的面积公式可得， ， 即， ∴， 即半径为， 故选：． 6. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同， 则抛物线的解析式为， 故选：D． 7. 如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 8. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为值， ∴，， ∴，①②正确． ∵时， ∴时，，③不正确． 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 数据15，20，20，22，33，30的众数是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了众数，理解众数的定义是解题关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的定义，只需从题目所给一组数据中找出出现次数最多的数字进行解答，即可解题． 【详解】解：数据15，20，20，22，33，30的众数是20， 故答案为：20． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 11. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为________． 【答案】－4 【解析】 【详解】由二次函数y=2（x﹣3）2﹣4，根据二次函数的性质即可求出其最小值： ∵y=2（x﹣3）2﹣4， ∴当x=3时，二次函数y=2（x﹣3）2﹣4取得最小值为-4． 12. 设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，． 13. 如图，分别切于点，并与的切线分别相交于两点，已知，则的周长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，由三角形周长的表示代值求解即可得到答案．熟记切线长定理是解决问题的关键． 【详解】解：设切线与切于点，如图所示： 由切线长定理可得， ， ， ， 故答案为：． 14. 圆心角为，弧长为的扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式、扇形的面积公式等知识， 根据题意，运用弧长公式求出扇形的半径，然后根据扇形的面积公式算出答案． 【详解】解：将化成弧度，可得， 设扇形的半径为r， 由弧长公式，可得， 解得：， 所以这个扇形的面积， 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，绝对值，开平方，负整数指数幂，以及实数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂，绝对值，开平方，负整数指数幂的运算法则分别化简各项，再进行加减运算，即可解题； （2）根据开平方，零指数幂，实数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ，，， ， ， ，． 19. 如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 【答案】 （1）如图， （2）13m 【解析】 【分析】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA，设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，根据垂径定理得到AD=BD=AB．在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r． 【详解】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心． （2）连接OA． 设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，∴AD=BD=AB=×10=5m． 在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r﹣1． 由勾股定理得：OA2=AD2+OD2 即r2=52+（r﹣1）2，∴r=13m． 这个拱桥所在圆的半径长为13m． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接OA，构造出直角三角形利用勾股定理解答． 20. 《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格，则_____，_______； 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 m 85 九（2）班 n 80 100 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由． 【答案】（1）85，85 （2）九（1）班成绩好些， 九（1）班成绩好些，因为两个班级成绩的平均数相同，九（1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班的复赛成绩较好（答案不唯一）； （3）九（1）班成绩更稳定，能胜出， 九（1）班复赛成绩的方差为 ， 九（2）班复赛成绩的方差为 ， ∴九（1）班复赛成绩的方差小于九（2）班复赛成绩的方差， ∴九（1）班成绩更稳定，能胜出． 【解析】 【分析】（1）根据统计图分别求出两个班5名选手的成绩，将九（1）班的成绩按照从大到小的顺序排列，位于第3位的数即为该班成绩的中位数，求出九（2）班5名选手的总成绩，然后除以人数5即为该班成绩的平均数，出现次数最多的成绩即为该班成绩的众数，据此可完成； （2）依据平均数和中位数的意义，结合求得的数据，即可解答； （3）求出每名选手的成绩与平均成绩之差的平方和的平均数，即可得到方差，据此可完成解答． 【小问1详解】 解：由统计图可知：九（1）班5名选手的成绩分别为75，80，85，85，100，九（2）班5名选手的成绩分别为70，75，80，100，100， ∴九（1）班5名选手成绩的中位数是85分， 九（2）班5名选手成绩的平均数是， 故答案为：85，85； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是关键． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 22. 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为____________； （2）求这条抛物线与x轴和y轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并求出以这些交点为顶点所构成的图形的面积． 【答案】（1） （2），，，如图， 以这些交点为顶点所构成的图形的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，一般式化为顶点式，二次函数的图象，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）把一般式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标； （2）通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后利用三角形面积公式计算抛物线与x轴和y轴的交点所组成的三角形的面积． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 这条抛物线与x轴和y轴的交点所组成的三角形的面积． 23. 如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和判定、扇形的面积，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）若要证明是的切线，只需证明与半径垂直，故连接，证明即可； （2）先证明是等腰直角三角形，再利用三角形和扇形的面积公式得到和扇形的面积，即可得到阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， 又， ， ， ，， 阴影部分面积． 24. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________； （3）将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________． 【答案】（1） （2）18 （3）1或5 【解析】 【分析】（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可； （2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算； （3）观察抛物线的图像可直接得到结果． 【小问1详解】 解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，）， 由题意知，该函数图象经过点，，，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为. 【小问2详解】 解：∵ 当y=0时， 解得：x1=1，x2=5 ∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)； 当x=0时，y=-5， ∴点C坐标为(0，-5)； 把化为y=-(x-3)2+4 ∴点P坐标为(3，4)； 由题意可画图如下： ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC = ＝18， 故答案是：18； 【小问3详解】 由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点． 故：m=1或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力． 25. 【特例感知】 （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 【答案】（1）；； （2），理由如下： 如图②，连接，作交的延长线于点N， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解； （2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到； （3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E，则，， 则有， ∴，即点D到直线的距离为， 故答案为：；； （2）略 （3）如图③，作于点G，交的延长线于点H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中质量自测 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页满分140分，考试时间120分钟； 2.答案全部涂、写在答题卡上，写在本试卷无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中有一项是正确的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.023 0.018 0.020 0.021 则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 数据15，20，20，22，33，30的众数是_______． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 11. 二次函数y＝2(x－3)2－4的最小值为________． 12. 设是一元二次方程的两个根，则______． 13. 如图，分别切于点，并与的切线分别相交于两点，已知，则的周长等于________． 14. 圆心角为，弧长为的扇形的面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 16. 如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 20. 《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格，则_____，_______； 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 m 85 九（2）班 n 80 100 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 22. 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为____________； （2）求这条抛物线与x轴和y轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并求出以这些交点为顶点所构成的图形的面积． 23. 如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分面积． 24. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________； （3）将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________． 25. 【特例感知】 （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $