专题03 遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 17 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例2.如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ，即， 是的中位线， ． 故答案为：． 例3．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质， （1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； （3）取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且且，根据等腰三角形的性质即可得结论； 掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：． （2）如图1，连接． 分别是边的中点， ， ． ， ， ， ， ． （3）证明：如图2，取的中点，连接． 分别是的中点， 且， 同理可得且． ， ， ， ， ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 例2．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 例3．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，求出，再由勾股定理即可得出答案； （2）延长至，使，连接、，证明，得出，，证出，由勾股定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： ，，点是斜边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ； 故答案为：5； （2）证明：延长至，使，连接、，如图2所示： 在和中，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 例2．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； [问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． [问题探究]：结论：，证明如下： 延长线，相交于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 延长交于点，由题意可得，为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴是的中位线， ， ∴当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中，， ， 的最大值， 故选：B． 3．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解， 本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由∵是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 【答案】5 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ，G是的中点， ．， ． 故答案为：5 5．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为1． 6．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 【答案】2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，三角形中位线定理是解答此题的关键．求出，证明，取的中点G，连接，，证明点E、F、G三点共线，得到是的中位线，是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：中，，， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 取的中点G，连接，，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴点E、F、G三点共线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴ ∴ 故答案为：2． 三、解答题 7．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积是四边形的面积的2倍，理由见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证，再通过全等三角形性质即可得证； （2）先通过全等性质得到，再通过中线基本性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：的面积是四边形的面积的2倍，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 8．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 9．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 10．如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键． （1）①结合题意，通过证明，证明； ②由折叠的性质可知，又，从而证得； （2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证； 【详解】（1）①点是的中点， ． 由折叠，得，． ， 是的一个外角， ． ， ， ． ②如图，连接，记与的交点为， 由折叠，得， ． 由①，得， ， ． （2），理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ，，． 点是的中点， ． ， ，． 由折叠，得， ， ． 在中，由勾股定理，得 11．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 【答案】(1)①，②；， (2)，证明见详解 (3)4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质、平行四边形的判定以及性质和勾股定理， （1）由题可得即为的中位线，即，且，①有题意可得，继而可知则，那么，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得；②由题意得，同理可得，，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得； （2）连接，由已知可知与、与的比例关系，设，由此可得、的长，依次将线段长代入和中，即可求解； （3）由题可知，，设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题可得即为的中位线， ，且， ①当时， ， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， 则在中，， ∵是的中线， ； ②当时， ， 同理可得，， 则在和中， ， ． （2）猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如图，连接，    ∵，是的中线， ∴是的中位线． ，且． ． 设，则， 在中，①； 在中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． （3）解：设AF，BE交于点P．取AB的中点H，连接FH，AC．如图，    ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 是“中垂三角形”， ， 即， ． 12．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；②2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 17 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2.如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 例3．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 例2．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 例3．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 例2．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 一、单选题 1．如图，中，是的中点，平分，于点， 若，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 二、填空题 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是，，的中点，连接，．若，则 ． 5．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 6．如图，中，，过点C作的平行线，与的平分线交于点D，若，．E，F分别是的中点，则的长为 三、解答题 7．如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 8．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 9．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 11．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：    (1)①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； (2)已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； (3)如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 12．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$