专题02 双角平分线与角n等分线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，，即可求出； （2）由角平分线的定义可得出，．由此得到，从而可求出答案． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的角的运算，与补角有关的运算．解题的关键是根据题意结合图找出角之间的数量关系． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； （1）①根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴ （2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图1，已知，，绕点O在的内部转动且边不重合，平分，平分． (1)如图2，当，求的度数； (2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不随的位置的变化发生改变，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的和差倍分的关系等知识点，掌握角的和差倍分的计算以及角平分线的定义是解题的关键． （1）由题意可得、，再根据角平分线的定义可得、，进而得到，最后根据即可解答； （2）由题意可得、，再根据角平分线的定义可得，，进而得到，最后根据即可解答； （3）由（2）可知，、，则或，再根据列方程求得或，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：如图：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：的大小不随的位置的变化发生改变，理由如下： ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，，， ∴或 ， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）． ∵， ∴， ∴的度数为． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得射线在内部，则可分：当射线在内部时，当射线在内部时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：因为射线平分，， 所以， ∵， ∴； 故答案为； （2）解：因为射线和射线分别平分、，， 所以， 因为， 所以， ∴； （3）解：因为射线平分， 所以， 因为， 所以， 由可知射线在内部，则可分： 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 当射线在内部时，如图， 因为射线分别平分， 所以， 所以， 所以； 综上所述：或． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 一、单选题 1．如图，O是直线上的一点，过点O作任意射线，且平分，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．由平分，可得，利用平角的定义可得，最后利用平分即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， 平分， ． 故选：C． 2． 如图，已知是直角，是锐角，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D．不能计算 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴． 故选：A． 3．学科素养·分类讨论思想 若是的平分线，是的平分线，若，则为多少度的角（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义，角的和差计算，数形结合分析思想是解题的关键． 根据题意，作图分类讨论，当在内部时；当在外部时；由角平分线的定义，图形结合，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：如图1，    ∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴； 如图2，∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴． 故选：C． 4．把一副三角尺如图拼在一起，点在同一直线上，平分平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查以三角板为背景的角度求解问题，涉及直角三角形性质、角平分线定义等知识，熟记相关定义，数形结合，准确求出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， 由图可知，， 平分平分， ，， ， ， ， 故选：B． 5．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．若，则 ． 【答案】144° 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 由角平分线的定义可得，再结合可得，结合已知条件可得，最后运用角的和差即可解答． 【详解】解∶∵，分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 7．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 8．将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的意义，三角板角度计算问题，解题关键是把握各个角之间的关系． 根据三角板的各个角的度数，以及角平分线的意义，利用平角以及角的和与差求出答案． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：如图1，射线在的内部绕点O旋转，若，则；图1中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；如图2，若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，准确识图是解题关键．根据已知可求，再根据角的平分线，求出即可；根据角的平分线定义，可知，，；根据角的平分线定义，可知， ，，． 【详解】解：， ． 平分， ． 故错误； 如图1，平分， ． 平分， ． ， ． ， ． 故正确； 如图2，平分， ． 平分， ． ， ． ， 故正确； 故答案为：． 10．如图，点，，在同一直线上，射线在的内部，，平分，平分，平分．下列结论： ①；②与互补； ③；④． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ①根据角平分线的定义可设，，进而用含和的式子表示求解即可；②根据平分，可得，进而求解即可；③根据题意可以分别求出和的度数，进而求解即可；④根据图像可得，故，故无法判断，进而求解即可； 【详解】解：①因为， 所以， 因为平分，平分，平分， 设，， 则， 又因为， 而， 结论①正确； ②因为平分， 所以， 则，结论②正确； ③因为， ， ， ； ； 故， 故③正确； ④根据图像可得， 故， 故无法判断， 故④错误； 故答案为：①②③ 三、解答题 11．如图，已知，是的平分线，是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当的度数发生变化时，的度数是否会发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)当发生变化时，的度数不发生改变，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中角的计算，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到，再结合角平分线定义得到，，最后根据求解，即可解题； （2）根据，结合，不改变，即可解题． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为是的平分线，是的平分线， 所以，， 所以． （2）解：当发生变化时，的度数不发生改变，理由如下： 因为， 又因为，不改变， 所以， 所以当的度数发生变化时，，不发生改变． 12．已知，，，为锐角，射线分别是和的平分线． (1)如图1，在外部，当时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当为小于的锐角时，请直接写出的度数（用含的代数式表示，不写探究过程）． 【答案】(1) (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． （1）利用角平分线的定义求得，，再利用角的和差即可求解； （2）利用角平分线的定义求得，再利用余角的性质求得，利用角的和差即可求解； （3）分当在外部和在内部时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，，射线分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在外部时， ∵，， ∴； 当在内部时，如图， ∵，， ∴， 综上，的度数为或． 13．如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点B按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数； ②试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)①②，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 14．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) ． ．或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出和的度数，两者求和即可得出答案； （2）．由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；．分两种情况讨论：①射线，只有个在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；②射线，，个都在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：题： ，分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； 题： 分两种情况讨论： 射线，只有个在外面，如图， ； 射线，，个都在外面，如图， ； 综上，的度数是或． 15．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或； 故答案为：（或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 13 16 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的度数． 例2．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图1，已知，，绕点O在的内部转动且边不重合，平分，平分． (1)如图2，当，求的度数； (2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由； (3)当时，求的度数． 例2．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 例2．已知、、为从顶点出发的三条射线，射线和射线分别平分、． (1)如图1，当射线在的外部时，．若，则的度数为______； (2)如图2，当射线在的内部时，．若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，若，且，求与的数量关系． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 例2．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 一、单选题 1．如图，O是直线上的一点，过点O作任意射线，且平分，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2． 如图，已知是直角，是锐角，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D．不能计算 3．学科素养·分类讨论思想 若是的平分线，是的平分线，若，则为多少度的角（   ） A． B． C．或 D．或 4．把一副三角尺如图拼在一起，点在同一直线上，平分平分，则（   ） A． B． C． D． 5．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．若，则 ． 7．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 8．将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ． 9．已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：如图1，射线在的内部绕点O旋转，若，则；图1中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；如图2，若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 10．如图，点，，在同一直线上，射线在的内部，，平分，平分，平分．下列结论： ①；②与互补； ③；④． 其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 11．如图，已知，是的平分线，是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当的度数发生变化时，的度数是否会发生改变？请说明理由． 12．已知，，，为锐角，射线分别是和的平分线． (1)如图1，在外部，当时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当为小于的锐角时，请直接写出的度数（用含的代数式表示，不写探究过程）． 13．如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点B按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数； ②试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 14．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 15．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$