专题03 遇到角平分线如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题03 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 11 19 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为 ． 例2．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．    (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 一、单选题 1．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点的周长为的面积是7，则的面积是 ． 5．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 6．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 三、解答题 7．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 8．如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 9．学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 10．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 11．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 12．【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 (3)如图5，在中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 11 19 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 过点作于，则，再根据角平分线的性质定理得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作于， 点到的距离为， ， 是的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：． 例2．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．    (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 【答案】30 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：30． 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积法，勾股定理，过点分别作、、，连接，由角平分线的性质得出，利用勾股定理求出利用三角形面积求法得出答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作、、，连接，如图： ∵点为和的角平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴点到的三边的距离相等， 即， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D到边的距离为， 故选：A． 3．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等角的余角相等，证明，可判断①；证明，可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 延长，相交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故②正确； ∵， ∴； ∴， 故③正确； ∵是底边、上的等高三角形， ∴， 过点D作于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 则正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，三角形面积的性质，熟练掌握各种性质是解题的关键． 二、填空题 4．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点的周长为的面积是7，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；根据平行线的性质及角平分线的定义可得，可得 ，，由此把的周长转化为＋，进而可得到的周长，根据角平分线的性质以及的面积是，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵的周长为 ∴， ∵的面积是7 ∴，， ∴的面积为 故答案为：． 5．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 【答案】9 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键． 过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 6．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求面积、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得； 如下图，延长、交于点， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ． 故答案为：；． 三、解答题 7．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 8．如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 9．学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；② 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）①过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．根据角平分线的性质可得，，等量代换可得，根据角平分线的判定定理，即可得证； ②根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）①如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； ②∵，， ∴． ∴． ∵与的面积分别是和， ∴． ∴， 即． ∴. 10．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余、利用网格求三角形面积 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 11．如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶． ①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等． ②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶． 【学以致用】 (3)如图5，在中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． (1) 选择小刚同学的解题思路，如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E，由角平分线的性可得，再说明，然后证明即可证明结论；选择小昀同学的解题思路，如图3，在上截取，连接，运用证明可得，再证明，由等角对等边可得，进而证明结论； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即，再证明可得，进而证明结论； （3）如图5：过E作，过C作交延长线于H，设，然后说明；再说明根据等角对等边可得；然后证明可得；再运用平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，进而得到、，最后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：（1）选择小刚同学的解题思路，证明如下： 证明：如图2，过点 D作于点F，交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∵，四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择小昀同学的解题思路，证明如下： 证明：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∵，四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图4：过点 C作于点M，过点C作交的延长线于点N，即， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图5：过E作，过C作交延长线于H， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$