专题02 遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题02 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 13 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则 ． 例2.如图，已知在（）中，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分且交于点，则的长为 ． 例3.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 例4.如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 例2.如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 例3.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1.如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______． A． B． C． D． ②求得的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且． (3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度． 一、单选题 1．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 4．如图所示，在四边形中，，，，，E，F分别是边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 7．如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 ． 8．如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为 ． 9．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 10．如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 三、解答题 11．如图，为的中线，E为的中点，的延长线交于点F，求证：． 12．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 13．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 14．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 15．如图，中，点D在边上，且，点E、F、G分别是、、的中点．    (1)若，，求四边形的周长； (2)连接： ①连接，则与有怎样的关系？证明你的结论； ②若交于点H，求证：． 16．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 10 13 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线定理，根据矩形的性质可知，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 矩形， ， 分别是的中点， ， ， ． 故答案为：． 例2.如图，已知在（）中，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分且交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，延长到使得，连接，先由线段中点的定义得到，再由过点的直线将的周长平分且交于点，推出，则可得到，利用勾股定理求出，则由三角形中位线定理可得． 【详解】解：如图所示，延长到使得，连接， ∵为边上的中点， ∴， ∵过点的直线将的周长平分且交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵D、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 例3.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，过A作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：3． 例4.如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、勾股定理逆定理，连接，取的中点，连接、，由勾股定理逆定理得出，再根据三角形中位线定理得出，，，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：连接，取的中点，连接、， ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵M，N，分别为，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形你斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出，连接，得，过点作于点M，运用等积法求出，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，故可得结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 连接，如图， ∵是的中点， ∴ ∴， 过点作于点M， ∵, ∴； 根据垂线段最短可得，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，如图， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 例2.如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴F是中点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 例3.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，余角的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键. （1）连结，证明得，然后根据余角的性质即可证明； （2）由勾股定理求出，从而求出，由直角三角形斜边的中线得，从而，然后再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：连结 是边上的高线 是边上的中线 是边上的中点 点是中点 （2）解： 点是中点 是边上的中点 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1.如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______． A． B． C． D． ②求得的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且． (3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度． 【答案】(1)（1）①B；②C (2)见解析 (3)6或 【分析】（1）根据作图结合，以及三角形的三边关系进行作答即可； （2）先证明，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）分为的中位线，以及不是的中位线，两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵点D为的中点， ∴， 又， ∴； 故选B； ②∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C； （2）证明：延长到，使，连接， 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ． （3）的长度为6或． ①当为的中位线时，如图1，． 点Q是的中点，点C为的中点， ． ②如图2，当不是的中位线时，连接，取的中点E，连接，过点P作于点F，过点F作于点N，过点Q作于点M． 为等腰三角形， ， ， ， ． 为的中点，Q为的中点， 是的中位线， ， ， ． ， ， ， ，即， ，即． 综上所述，的长度为6或． 一、单选题 1．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选B． 4．如图所示，在四边形中，，，，，E，F分别是边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了是三角形的中位线定理，正确添加辅助线，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．设的中点为M，连接，证明是的中位线，为的中位线，则，，，，进而得，，再根据，得，，则，然后在中，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：设的中点为M，连接，如图所示： 点E，F分别是边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ，，，， ，， ，， ∵，， ，， 又，， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 故选：A． 5．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 二、填空题 6．如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ，即， 是的中位线， ． 故答案为：． 7．如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 ． 【答案】/度 【分析】延长与的延长线交于点，连接，由平行四边形的性质得，，，，进而得，，又证明（），得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得，，再求得，，于是即可得解． 【详解】解：延长与的延长线交于点，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，， 在和中 ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵为中点，， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 8．如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键． 延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形是平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，． 【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /45度 【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数； （2）延长至点，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，算出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1） ， ， （2）如图，延长至点，使，连接，   为的中点 ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．如图，为的中线，E为的中点，的延长线交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点，连接，作交于，则，根据三角形中位线定理可知，则四边形是平行四边形，可知，进而证明，可知，即可得到，得到答案． 【详解】证明：取的中点，连接，作交于， 则， ∵是的中线，则， ∴，则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．【感知】 （1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______． 【应用】 （2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数． 【拓展】 （3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质， （1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； （3）取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且且，根据等腰三角形的性质即可得结论； 掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：． （2）如图1，连接． 分别是边的中点， ， ． ， ， ， ， ． （3）证明：如图2，取的中点，连接． 分别是的中点， 且， 同理可得且． ， ， ， ， ． 13．已知点O是 斜边上的中点， ． (1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则    ； (2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ； 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，求出，再由勾股定理即可得出答案； （2）延长至，使，连接、，证明，得出，，证出，由勾股定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： ，，点是斜边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ； 故答案为：5； （2）证明：延长至，使，连接、，如图2所示： 在和中，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； [问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． [问题探究]：结论：，证明如下： 延长线，相交于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，中，点D在边上，且，点E、F、G分别是、、的中点．    (1)若，，求四边形的周长； (2)连接： ①连接，则与有怎样的关系？证明你的结论； ②若交于点H，求证：． 【答案】(1)16 (2)①；理由见解析；②见解析 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据点E、F、G分别是、、的中点，得出，，即可得出答案； （2）①根据，由中位线性质得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； ②过点D作，交于点N，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴四边形的周长为： ； （2）解：①；理由如下： 根据解析（1）可知：， ∵点F、G分别是、的中点， ∴， ∴， ∴；    ②过点D作，交于点N，如图所示：    ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，中位线性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$