第2章 一元二次方程章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第2章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为23，则该方程的正数解为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程 ． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 14．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若实数满足，则 ． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 16．（23-24八年级下·浙江·自主招生）已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 19．（24-25八年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 22．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 23．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，则的值为________． 24．（24-25八年级上·四川眉山·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，是一元二次方程，原选项符合题意； 、，没有说明，不能判定是否为一元二次方程，原选项不符合题意； 、，化简为是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，未数的最高次数是3，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意两根之积等于．根据根与系数的关系可得出，此题得解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程（），“一元二次方程二次项系数不为0”、“一元二次方程有实数根，则根的判别式”，据此求出的取值范围，选择符合的选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴选项中的值可以是B选项0， 故选：B． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 7．（23-24八年级·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 9．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为23，则该方程的正数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题中的几何方法是解题关键．先求出四个空白的小正方形的边长，再求出大正方形的面积，从而可得大正方形的边长，由此即可得． 【详解】解：由图可知，以正方形的边长为一边向外构造的每个矩形的面积为， ∴四个空白的小正方形的边长为， ∵阴影部分的面积为23， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴该方程的正数解为， 故选：B． 10．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①根据方程的解得定义即可判断；②根据方程的根的定义得到，，进而得到答案；③根据得到，结合一元一次方程根与系数关系得到两根之和为2，即可得到答案；④根据是一元二次方程的根，得到，根据等式性质得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：①若，那么一定有一个根是1，故①正确； ②若方程的两根为和2，则，， ， ， ， ，故②正确； ③若，则，即两根之和为2， 方程有一根大于2， 另一个根必是负数，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，， ， ， ，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系，等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设年平均增长率为，根据增长率问题列出方程，即可求解． 【详解】解：设年平均增长率为，根据题意，得： ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 14．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式．运用整体的思想是解题的关键．设，则方程可变为：，求出，，然后求解作答即可． 【详解】解：设，则方程可变为： ， 解得：，， 当，则， 整理得：， ， 此方程无实数根； 当，则 ， ， 此方程有不相等的两个实数根． ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 16．（23-24八年级下·浙江·自主招生）已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时需要注意、是互不相等的正整数，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于、的数量关系，再由限制性条件“、为正整数”来求、的值即可； 【详解】解：∵， ∴化简为：， ∵，， ∴原方程化简为：， ∴，， 故同理可得的方程解为：，， ∵两个一元二次方程的二次项系数不相等， ∴，即， ∵两个一元二次方程有一个公共根， ∴，， 通过化简整理均得到方程， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴，或，； ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） 解得，． 18．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 19．（24-25八年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为， 整理得， 则或， 解得． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 21．（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：应该降价4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得：， 解得：或（舍） 答：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元． 22．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 23．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，则的值为________． 【答案】(1)①，．②，， (2) 【分析】本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可． ②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可． （2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为， 解得，， 当时，即， ∴； 当时，即， ∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ， ， ， 将代入上式可得， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·四川眉山·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【详解】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$