第01讲 二次根式（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第01讲 二次根式 （2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的概念； ②二次根式有无意义的条件； 1.掌握二次根式的概念； 2.掌握二次根式有无意义的条件； 知识点01.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即学即练1】 1下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2、（2023春•宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练3】 3、若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5 【即学即练4】 4、若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2 题型01 二次根式的相关概念 【典例1】下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列式子中二次根式的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 求二次根式的值 【典例1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】当时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．2 C． D．0 【变式2】当时，代数式的值是 ． 【变式3】当时，二次根式的值是 ． 【变式4】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例1】要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式3】若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式4】求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 题型04 二次根式的参数问题 【典例1】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【变式3】已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 【变式4】若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 题型05 二次根式的非负性求值 【典例1】若实数x，y满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．8 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，为实数，且，则的值是 ． 【变式3】若，则 ． 【变式4】已知，求的平方根． 题型06 二次根式的简单应用 【典例1】杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（   ） A．米 B．5米 C．6米 D．7米 【变式1】若的三边，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2】若，都是实数，且，点在一次函数的图象上，则该一次函数图象过第 象限． 【变式3】一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【变式4】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若有意义，则的取值范围是 ． 7．使式子有意义的的取值范围是 ． 8．已知，为实数，且，则的值是 ． 9．若，则 ． 10．已知，则值等于 ． 11．已知，求的值． 12．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 13．已知满足． (1)有意义，的取值范围是________；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得________； ____________； (2)根据（1）的分析，求的值． 14．阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 15．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 （2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的概念； ②二次根式有无意义的条件； 1.掌握二次根式的概念； 2.掌握二次根式有无意义的条件； 知识点01.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即学即练1】 1下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、当x＜0时，二次根式无意义，故选项A一定是二次根式，选项A不符合题意； B、是二次根式，故选项B符合题意； C、当x+2＜0时，此时二次根式无意义，故选项C不一定是二次根式，选项C不符合题意； D、﹣2＜0，二次根式无意义，故选项D一定不是二次根式，选项D不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】 2、（2023春•宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：在式子，，，x+y中，二次根式有，， 共有2个， 故选：B． 知识点02.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练3】 3、若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5 【答案】B 【解答】解：∵x﹣5≥0， ∴x≥5． 故选：B． 【即学即练4】 4、若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2 【答案】A 【解答】解：由题意得：3x≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥0且x≠2 题型01 二次根式的相关概念 【典例1】下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意； B、，故是二次根式，本选项不符合题意； C、，故是二次根式，本选项不符合题意； D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 【变式2】在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 【变式3】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式； B．一定是二次根式； C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式； 故选B． 【变式4】下列式子中二次根式的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】解：①，故①符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③符合题意； ④是三次根式，故④不符合题意； ⑤，故⑤符合题意； ⑥， ，故⑥不符合题意； ⑦，故⑦符合题意； 符合题意的有4个， 故选：． 题型02 求二次根式的值 【典例1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式1】当时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【变式2】当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式求值．将代入并运用算术平方根求解即可． 【详解】解：将代入得：． 故答案为：2． 【变式3】当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【变式4】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例1】要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意可得， 解得：． 故选：C． 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握求复合函数自变量的取值范围的方法是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：函数， ，即， 故选：B． 【变式2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 故答案为：． 【变式3】若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件得到且，进行求解得出答案即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式4】求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，且． 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． （1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解； （2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解， 【详解】（1）解：， ， 解得： 自变量的取值范围为； （2）解：， ，， 解得：，， 自变量的取值范围为，且． 题型04 二次根式的参数问题 【典例1】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 【变式1】已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】化简二次根式进而得出n的最小值． 【详解】，且是整数， 最小正整数n的值是5， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键． 【变式3】已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键． 【变式4】若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 题型05 二次根式的非负性求值 【典例1】若实数x，y满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进而可得，最后代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，根据二次根式的被开方数是非负数求出a的值，进而求出b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【变式2】已知，为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， ， ， 故答案为：． 【变式3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 【变式4】已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进而得到，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 题型06 二次根式的简单应用 【典例1】杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（   ） A．米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理列式，计算即得答案． 【详解】这块直角三角形空地的斜边长为（米）． 故选：A． 【变式1】若的三边，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，由非负数性质可求得，，从而可得，，即可判断三角形的形状． 【详解】解：的三边，b，c满足， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 故选：A． 【变式2】若，都是实数，且，点在一次函数的图象上，则该一次函数图象过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的性质；根据二次根式有意义的条件即可得出，从而求出的值，代入解析式，得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴且， ∴ ∴，则 ∵在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，则一次函数图象过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【变式3】一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【变式4】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：A． 2．函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 6．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 7．使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，直接利用二次根式被开方数非负、分式分母不为0分析得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故答案为：． 8．已知，为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， ， ， 故答案为：． 9．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由已知得，得，得，可得，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知，则值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 11．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组求出，进而求出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， ， 则， ． 12．求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，且． 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． （1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解； （2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解， 【详解】（1）解：， ， 解得： 自变量的取值范围为； （2）解：， ，， 解得：，， 自变量的取值范围为，且． 13．已知满足． (1)有意义，的取值范围是________；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得________； ____________； (2)根据（1）的分析，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值及二次根式相关运算，熟记二次根式定义及绝对值运算是解决问题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到不等式求解即可确定，再由绝对值的代数意义去绝对值即可得到，进而运算即可得到； （2）由（1）中结论，直接平方即可得到答案． 【详解】（1）解：有意义， ，解得； ，则； ， ； 故答案为：；；； （2）解：由（1）知， ，则． 14．阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，整式的化简，解方程，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件及性质，绝对值的性质化简即可； （2）结合已知条件，根据二次根式有意义的条件及性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， ， 原方程化为 ， 两边同时平方得：， ． 15．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$