第03讲 二次根式的运算（7个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第03讲 二次根式的运算 （7个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的乘法法则和除法法则； ②最简二次根式与同类二次根式； ③二次根式的加法法则和减法法则； 1.掌握二次根式的乘法法则和除法法则； 2.掌握最简二次根式与同类二次根式的概念与应用； 3.掌握二次根式的加法法则和减法法则； 知识点01： 二次根式的乘法法则 1、二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 【即学即练1】 1．计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 知识点02： 二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点03：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【即学即练2】 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【即学即练3】 3．已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点05： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练4】 4．与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点06： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即学即练5】 5．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点07：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练6】 6．已知，则a的值为（    ） A． B．5 C． D．3 题型01 二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式2】计算：． 【变式3】（1）； 　（2）； 【变式4】计算：． 题型02 二次根式的除法 【典例1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】计算：÷． 【变式2】计算： （1）；                     （2）. 【变式3】计算 (1). (2). (3). (4). 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4)． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例1】计算： (1) (2) 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算：． 题型04 最简二次根式 【典例1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式3】若是最简二次根式，则自然数 ． 【变式4】当 时， 最简二次根式与 可以合并． 题型05 同类二次根式 【典例1】下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在中，不能与合并的是 ． 【变式2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【变式4】已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 二次根式的加减运算 【典例1】化解． (1) (2) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算：． 【变式1=3】计算： (1) (2) 【变式4】计算与化简： (1)； (2)． 题型07 二次根式的混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算下列各小题． (1)； (2)． 【变式2】计算 (1)； (2) 【变式3】计算： 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型08 分母有理化 【典例1】写出的一个有理化因式： ． 【变式1】计算： ． 【变式2】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 =（    ） A．9 B． C． D． 【变式4】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 题型09 已知字母的值化简求值 【典例1】已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【变式2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】已知，，则 ． 【变式4】若，，则的值为 ． 题型10 已知条件式化简求值 【典例1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则的值为 ． 【变式3】若，则代数式的值为 ． 【变式4】（1）若，求； （2）若，求的值． 题型11 比较二次根式的大小 【典例1】下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【变式2】比较大小： ． 【变式3】比较大小，用“”或“”符号连接： ， ． 【变式4】比较与的大小． 题型12 二次根式的应用 【典例1】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【变式1】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），则计算公式为，其中． (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间； (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为，座钟的摆长应设计为多少m？（，取3，结果保留小数点后两位） 【变式2】如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） (2)求这个长方体盒子的体积． 【变式3】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【变式4】阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 1．下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 5．已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．化简的结果是 ． 7．填空： （1）的有理化因式为 ； （2）的有理化因式为 ； （3）的有理化因式为 ； （4）的有理化因式为 ． 8．若，则 ． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1)． (2)． 11．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 13．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． (9)． (10)； 14．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 15．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的运算 （7个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①二次根式的乘法法则和除法法则； ②最简二次根式与同类二次根式； ③二次根式的加法法则和减法法则； 1.掌握二次根式的乘法法则和除法法则； 2.掌握最简二次根式与同类二次根式的概念与应用； 3.掌握二次根式的加法法则和减法法则； 知识点01： 二次根式的乘法法则 1、二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 【即学即练1】 1．计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握． 利用二次根式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 知识点02： 二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点03：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【即学即练2】 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不合题意； D、和不能合并，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键． 知识点04：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【即学即练3】 3．已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先化简，根据最简二次根式的定义可得，解方程组即可求解． 【详解】解：∵，最简二次根式与二次根式可以合并成项， ∴， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键． 知识点05： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练4】 4．与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，最简二次根式的被开方数相同，进行判断即可． 【详解】解：，，， ∴，，，中，与是同类二次根式的是； 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式的识别．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键． 知识点06： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即学即练5】 5．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的性质对各项进行运算即可． 【详解】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 知识点07：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练6】 6．已知，则a的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意得出，，代入等式，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 又 ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，得出，是解题的关键． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式进行乘法计算，再合并即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法与乘方运算，熟练的利用完全平方公式进行运算是解本题的关键． 【变式3】（1）； 　（2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】(1)； (2)； 【点睛】本题考查二次根式的乘法，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘法运算法则是解题关键． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】先算二次根式的乘法再化简即可． 【详解】 【点睛】本题考查二次根式的乘法及二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的乘法及二次根式的性质和化简是解题关键． 题型02 二次根式的除法 【典例1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 【变式1】计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式2】计算： （1）；                     （2）. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）、（2）均根据二次根式的除法法则计算即可. 【详解】解：（1）. （2）. 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，熟练应用二次根式的除法法则是解题的关键. 【变式3】计算 (1). (2). (3). (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)；(4) 【分析】（1）根据公式 计算即可. （2）根据公式 计算即可. （3）根据公式 计算即可. （4）根据公式 计算即可. 【详解】（1） (2). (3) (4). 【点睛】本题考查的是二次根式的除法，熟记公式是关键. 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先进行根式的除法，然后再化为最简． （2）先进行根式的除法，然后再化为最简． （3）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简． （4）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的性质及混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键． （1）利用分母有理化化简求解即可； （2）根据二次根式的性质及乘除运算法则求解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算乘法，再计算除法，即可求解． 【详解】解：． 【变式2】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 题型04 最简二次根式 【典例1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 【变式1】若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式2】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 【变式3】若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 【变式4】当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式与 可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 题型05 同类二次根式 【典例1】下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：， A、与不是同类二次根式，本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，本选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 【变式2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值． 【详解】 解：∵，与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 【变式4】已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，于是可得，然后利用不等式的性质进行无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，无理数大小估算，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次根式的性质及无理数大小估算的方法是解题的关键． 题型06 二次根式的加减运算 【典例1】化解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用二次根式的性质进行化简，再运算减法，即可作答． （2）先运算除法，以及运用二次根式的性质化简，再求出立方根，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1=3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，最后再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 二次根式的混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法即可； （1）先利用完全平方公式化简，再计算二次根式的除法，最后计算二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用乘法公式，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）利用平方差公式计算； （2）利用二次根式的除法法则计算； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，先根据完全平方公式以及平方差公式展开，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则、立方根，算术平方根，绝对值和有理数的乘方是解题的关键． （1）先根据乘方的意义、立方根、算术平方根和绝对值化简，再计算即可； （2）先根据二次根式的乘法、绝对值和立方根化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式 ． 题型08 分母有理化 【典例1】写出的一个有理化因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和乘法法则，解题关键在于掌握其法则． 根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3】 =（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案． 【详解】解：原式 故选：C． 【变式4】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解本题的关键； （1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； 题型09 已知字母的值化简求值 【典例1】已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：∵，， ∴, 故选：C 【变式2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 【变式3】已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式4】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，解题的关键是灵活运用因式分解来简化计算．先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴ ． 故答案为：． 题型10 已知条件式化简求值 【典例1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【变式1】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 【变式2】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方差公式．直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 【变式4】（1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）18；（2） 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可． 【详解】解：（1），， ，， 则 ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键． 题型11 比较二次根式的大小 【典例1】下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的化简，根据二次根式比较大小的方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴只有在7和8中间， 故选：C． 【变式1】的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可． 【详解】解：原式= ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键． 【变式2】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进一步可得答案．先求，，再比较大小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】比较大小，用“”或“”符号连接： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，先把和，以及和平方，比较平方之后的数的大小，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，，， ， 故答案为：，． 【变式4】比较与的大小． 【答案】 【分析】先将化为二次根式为，再与进行大小比较． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两个数的大小． 题型12 二次根式的应用 【典例1】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积=； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 【变式1】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），则计算公式为，其中． (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间； (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为，座钟的摆长应设计为多少m？（，取3，结果保留小数点后两位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除，解题的关键是运用公式求出这个座钟的周期． （1）根据计算公式为，代入数据计算即可； （2）根据计算公式为，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即座钟的摆长应设计为大约． 【变式2】如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） (2)求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可； （2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为， ∴长方体盒子的底面边长； （2）这个长方体盒子的体积为． 【变式3】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，然后求和即可得到答案； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形的边长； （2）解：∵大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 【变式4】阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质与方法是解题的关键． （1）运用三角形的面积：（海伦公式）计算即可； （2）运用三角形面积：S＝（秦九韶公式），计算即可． 【详解】（1）解：∵一个三角形的三边长依次为， ∴， ∴海伦公式： ； （2）解：∵， ∴， ∴秦九韶公式： 1．下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘除．根据二次根式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判断． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 4．在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的两个条件，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：根据条件①，排除，； 根据条件②，排除． 最简二次根式有三个：，，， 故选B． 5．已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是根据，进行计算，即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 6．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．填空： （1）的有理化因式为 ； （2）的有理化因式为 ； （3）的有理化因式为 ； （4）的有理化因式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断，掌握分母有理化的应用是解题的关键． 【详解】解：（）的有理化因式为； （）的有理化因式为 ； （）﹣的有理化因式为 ； （）+2的有理化因式为； 故答案为：；；；． 8．若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质，绝对值，0指数，是解答本题的关键． （1）先算二次根式的乘除法，化简二次根式，再算加减法，即可解答． （2）先化简二次根式，0指数，绝对值，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 11．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）先根据完全平方公式、二次根式的性质与化简、平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减运算即可得到答案． （5）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． （6）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便． （7）利用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可； （8）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． (9)． (10)； 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5) (6)4 (7)17 (8) (9) (10) 【分析】本题考查了二次根式的混合、零次幂的性质、绝对值的性质． （1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可； （3）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （4）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可； （5）先根据二次根式的乘除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （6）先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算； （7）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （8）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （9）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运算； （10）先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 14．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 15．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$