精品解析：辽宁省鞍山市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学（A） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选必一2.7.1至选择性必修二4.2.5结束 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 2. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到圆的圆心和半径，进而得到，利用双曲线的渐近线和圆相切，得到，整理得到，再结合，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为. 故选：B. 5. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 6. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 8. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 向量的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的运算求得正确答案. 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 10. 已知抛物线与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 点到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D． 【详解】双曲线的焦点为，，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确； 对于D，由C可知，抛物线的焦点为， 因为点在上，所以， 解得，故或， 所以点到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（  ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件， ，，， ，故A正确； ， ，故事件与事件B不独立，故B错误，D正确； ，故C正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，，，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】首先利用正态分布的性质求出，再利用基本不等式的乘“1”法求出的最小值即可. 【详解】因为，所以对应的正态曲线的对称轴为直线. 又，则由对称性得. 又，所以. 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立. 所以的最小值为18. 故答案为：18. 13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用第百分位数的定义求出，再利用组合的应用列式计算作答. 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 14. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程以及的长，圆心到直线的距离为，再求出点到直线的距离最小值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为两点，， 所以直线的方程为：，即，， 圆，其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离最小值为， 所以面积的最小值； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的二项式系数之和为4096． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【小问1详解】 因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 16. 巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． （1）若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． （2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 【答案】（1） 的分布列为 6 14 22 30 数学期望为12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的所有可能取值，利用独立重复试验的概率计算公式求解即可； （2）根据条件概率，全概率公式计算即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为． ，， ，， 所以的分布列为 6 14 22 30 所以． 【小问2详解】 记“甲抽出题目分值之和为”，， 则，． 当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40， 所以； 当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40， 所以． 故 ． 【点睛】关键点点睛：本题以巴黎奥运会为背景，以摸球答题为情境，贴近学生实际生活，提高了学生的学习兴趣，激发了学生的探究热情．第（1）小题考查二项分布的分布列和数学期望，抽象出二项分布的模型是解题关键，相对而言比较基础，也是大部分学生的得分点；第（2）小题考查全概率公式，注意正确地进行分类讨论，确定好分类标准是关键，同时还要做到不重不漏． 17. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 由棱台的性质知， 由四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形， 得， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，可得四边形为平行四边形，则，进而得直线平面； （2）由已知，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，由，即可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）多面体的体积，即为四棱台的体积减去三棱锥的体积，由体积公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，而四边形为正方形， 所以两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为， 所以， 则. 设平面的一个法向量为， 则所以 令，则取， 取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 四棱台的体积， 三棱锥的体积为， 所以多面体的体积. 18. 已知O为坐标原点，点在椭圆C：，上，过左焦点和上顶点A的直线与椭圆相交于点A，B．记A，B的中点为M，有．过上顶点A的直线与椭圆相交于点C（C点异于B点）． （1）求椭圆C的方程； （2）求面积的最大值， 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设点，求出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再结合书籍求出即得. （2）由（1）求出直线方程及线段长，再求出椭圆上的点到直线的距离，并列出三角形面积的函数关系，进而求出最大值. 【小问1详解】 设，而点，则直线的方程为， 由消去并整理得，则点的横坐标为， 其纵坐标为，由，得，而，因此，， 椭圆C：，由点在椭圆C上，得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）直线，点，， 设点，则点到直线距离 ，其中锐角由确定， 因此的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值是. 19. 某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； （2）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ （3）复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】（1） （2）有，理由如下： 由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）先答类问题，理由如下： 若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 【解析】 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学（A） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选必一2.7.1至选择性必修二4.2.5结束 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 6. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 向量的夹角为 10. 已知抛物线与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 点到抛物线的焦点的距离为4 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（  ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，，，则的最小值为______． 13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 14. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的二项式系数之和为4096． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 16. 巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． （1）若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． （2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 17. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求多面体的体积. 18. 已知O为坐标原点，点在椭圆C：，上，过左焦点和上顶点A的直线与椭圆相交于点A，B．记A，B的中点为M，有．过上顶点A的直线与椭圆相交于点C（C点异于B点）． （1）求椭圆C的方程； （2）求面积的最大值， 19. 某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； （2）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ （3）复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $