精品解析：湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷

郴州市2024年下学期期末教学质量监测试卷 高一数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（· ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据并集概念求出答案. 【详解】，又，故. 故选：B 2. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质得到，得到答案. 【详解】，又， 故，即. 故选：D 3. 已知，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出关系得到答案. 【详解】，但， 故是的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，由指数函数单调性，对数函数单调性及中间值比较出大小. 【详解】， 又，在R上单调递增，故，即， 所以. 故选：A 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到递增区间. 【详解】的图象如下： 显然的单调递增区间为. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式得到答案. 【详解】 故选：A 7. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案. 【详解】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，C正确，ABD错误. 故选：C 8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用奇函数的性质求出的值，再根据已知条件推出函数的周期，然后将所求的通过周期转化到已知区间上进行计算. 【详解】因为函数是上的奇函数，那么. 已知当时，，所以，解得. 此时. 已知，则. 用代替可得：. 所以，这表明函数的周期. 因为，所以. 由可得. 又因为是奇函数，所以. 当时，，则，所以. 因为，所以. 那么. 所以的值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得. 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，，则，C正确； 对于D，若，则，则 ，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 函数（且）的图象过定点 C. 方程的根所在区间为 D. 若命题“恒成立”为假命题，则“或” 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，A错误；B选项，由对数函数的特征得到图象过定点，B正确；C选项，由零点存在性定理和函数单调性得到C正确；D选项，先得到成立为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，命题“”的否定形式是“”，A错误； B选项，令，故，此时， （且）的图象过定点，B正确； C选项，令，显然其在R上单调递减， 又，， 故的零点在内， 故方程的根所在区间为，C正确； D选项，命题“恒成立”为假命题， 则命题“成立”为真命题， 故，解得或，D正确. 故选：BCD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由图象可得最小正周期，从而求出；B选项，，代入，结合得到；C选项，先求出，进而可得到，求出答案；D选项，先求出，结合函数的最小正周期，得到答案. 【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，，即，A正确； B选项，由图象可知，故， 将代入解析式得，即， 又，故，解得，B错误； C选项，由B知，， 当时，， 在上恰好有三个零点，故，解得，C正确； D选项，由A知，的最小正周期为6， 其中， ，，， 故， 所以 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数为偶函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出或，检验后得到不合要求，得到答案. 【详解】根据幂函数定义知，，解得或， 当时，，奇函数，不合要求， 当时，，定义域为， 故，满足为偶函数，满足要求. 故答案为： 13. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，得到方程，求出，得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位后，得到， 从而，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造一个新函数，利用其奇偶性和单调性来解决不等式问题 【详解】设. 证明是奇函数： ，则. 根据对数运算法则，可得. 由于. 所以，即，所以是奇函数. 证明增函数：在上单调递增, 在上单调递增 则在上单调递增,又因为对数函数在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增. 又是奇函数，故在上单调递增. 已知，即，也就是. 因为是奇函数，所以. 因为在上单调递增，，所以. 移项可得，即，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）分和，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或； 【小问2详解】 ，当时，，解得， 当时，或， 解得或， 故实数的取值范围为或. 16. 已知． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而利用求出最小正周期，并整体法求出单调递增区间； （2）根据及求出，结合三角函数定义得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为， 令，，解得，， 故单调递增区间为 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 故，解得， 角的终边与单位圆交于点，故， 所以 . 17. 某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果．经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系： 且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本（如树苗费、人工费等）元．已知单株施肥量为7千克时，产量为千克，这种水果的市场售价为20元/千克，且都能卖完，记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的值及函数的解析式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）故当单株施肥量为4千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是400元. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，解得，并分和两种情况，得到的解析式； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【小问1详解】 已知单株施肥量为7千克时，产量为千克， 故，解得， ， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，， 对称轴为，开口向上，故当时，取得最大值， 最大值为， 当时， ， 由基本不等式得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当单株施肥量为4千克时，该果树的单株利润最大， 最大利润是400元. 18. 已知为偶函数． （1）求； （2）设，对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，得到，化简得到，求出； （2）只需在上的最大值小于等于在上的最小值，求出的最小值为，并分，和三种情况，得到的最大值，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以，即， 即， 其中， 故，解得； 【小问2详解】 对，都有成立， 只需在上的最大值小于等于在上的最小值， 其中， 由复合函数性质得在上单调递增， 故最小值为， 开口向下，对称轴为， 当时，在上单调递减，最大值为， 故，解得， 结合与可得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为， 故，解得， 结合与可得， 当时，在上单调递增， 故最大值为， 故，解得， 结合和，此时无解， 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问需先转化为在上的最大值小于等于在上的最小值，再进一步进行求解 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． （1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由； （2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值； （3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到不是“依赖函数”； （2）整体法得到，，在定义域上单调递增，且，从而得到，求出； （3）当时，，举出反例得到在定义域上不是“依赖函数”，当时，在上单调递增，要想在定义域上是“依赖函数”，需满足，解得，再分，和三种情况，由的解集中恰有两个整数，得到的取值范围. 【小问1详解】 不是“依赖函数”，理由如下： 当时，，则， 故，解得， 所以不是“依赖函数”； 【小问2详解】 时，，显然， 解得， 在定义域上单调递增，且， 由题意得，当时，， 要想满足存在唯一的使得， 则，，解得； 【小问3详解】 当时，， 故对于，不存在，使得， 在定义域上不是“依赖函数”， 当时，在上单调递增， 要想在定义域上是“依赖函数”， 需满足，即， 解得（舍去）或0， 故， 若，则的解集为， 的解集中恰有两个整数，故， 若，此时的解集为，不合要求， 若，则的解集为， 解集中恰有两个整数，故， 综上，实数的取值范围是或. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郴州市2024年下学期期末教学质量监测试卷 高一数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（· ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则是的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 函数（且）的图象过定点 C. 方程根所在区间为 D. 若命题“恒成立”为假命题，则“或” 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数为偶函数，则___________． 13. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________． 14. 已知函数，且，则的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 17. 某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果．经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系： 且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本（如树苗费、人工费等）元．已知单株施肥量为7千克时，产量为千克，这种水果的市场售价为20元/千克，且都能卖完，记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求值及函数的解析式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知偶函数． （1）求； （2）设，对，都有成立，求取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． （1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由； （2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值； （3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$