精品解析：湖南省长沙市长沙县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

绝密★启用前 2024年下期九年级期中质量监测试卷 数学问题卷 （时量：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练运用定义判断是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数 ，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可． 【详解】解：根据题意知：点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标为（1，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标，是需要熟记的基本问题，关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数． 4. 掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是随机事件的是（ ） A. 朝上点数为6 B. 朝上点数大于0 C. 朝上点数小于7 D. 朝上点数大于7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．据此即可求解； 【详解】解：A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故该选项符合题意；        B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故该选项不符合题意； C. 郑一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故该选项不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：A． 5. 将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（　　） A. y＝（x+2）2+3 B. y＝（x﹣2）2﹣3 C. y＝（x+2）2﹣3 D. y＝（x﹣2）2+3 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移规律， “左加右减，上加下减”的法则可进行求解. 【详解】解：将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣2）2﹣3． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象平移的法则. 6. 关于x的一元二次方程没有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程没有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得． 故选D． 7. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 8. 如图，是的直径， 是的弦，且，的半径等于，，则 的长为（ ） A. 26 B. 24 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 是的直径，是的弦，且 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选： 9. 在一幅长，宽的矩形风景画（图中阴影小矩形）的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图（图中虚线边框矩形）的面积是，设白色纸边的宽度为，那么 满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题是一元二次方程的应用．根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可． 【详解】解：设白色纸边的宽度为，根据题意得： ． 故选：B 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 关于x的方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由图象获取信息是解题的关键，需具体一定的数形结合思想．由图象知，由对称轴可得，结合对称轴判断出点关于对称轴对称；抛物线经过，从而确定出，进而计算判断正误． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，，与轴交于正半轴，；对称轴， ∴． ∴．A正确； ∵， ∴． ∴；B正确； ∵， ∴点关于对称轴对称． ∴．C错误； 时，， ∵ ∴，， ∴. ∴关于关于x的方程化为， ∴， ∴关于关于x的方程有两个不相等的实数根．D正确； 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案． 【详解】解：根据抛物线顶点式顶点坐标为得， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标，解题关键是记得顶点式及其顶点坐标． 12. 已知是关于 的一元二次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于 的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 13. 长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率．设茶叶总产量的年平均增长率为x，则可列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程应用题，解题的关键是根据题意正确分析题目中的等量关系．金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，列出一元二次方程即可． 【详解】解: 设茶叶总产量的年平均增长率为x， ∵金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨， ∴依题意，得：． 故答案为：． 14. 如图，点A在上，射线切于点C，若，则______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，根据切线的性质，角的和差关系求出，再根据等边对等角，得到，即可． 【详解】解：∵射线切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴； 故答案为：65． 15. 如图，A，B，C是上的三点，则，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理，可得： ， 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于 的不等式的解是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键． 根据不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的 的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的 的取值范围， 由图象可知，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 两边开方，得， ，； 【小问2详解】 解： 因式分解，得， ∴或， 解得，． 18. 将二次函数化为顶点式，并说明其开口方向、对称轴方程及最小值． 【答案】；开口向上； ； 【解析】 【分析】先将二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的图象与系数的关系说明其开口方向，再根据的图象与性质说明其对称轴方程及最小值即可． 【详解】解：， ， 抛物线开口向上， 其对称轴为直线 ， 当 时，取得最小值，其最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19. 每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上， 写出 ， ， 的坐标． 以原点 为对称中心，画出关于原点 对称的， 【答案】（1），，；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所在格点直接确定点的坐标即可；（2）两点关于原点对称时，点的横纵坐标互为相反数，依次找到三个点的对称点，连线即可. 【详解】，，； 如图所示： 【点睛】此题考查点坐标及关于原点对称性质，注意关于原点对称的两个点坐标之间的关系，即可正确解答. 20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．请根据题干信息解答． （1）将两幅不完整的图补充完整． （2）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数． （3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】（1）见解析 （2）3200人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）求出C类的人数（总人数减去其它各组的人数）；求出C类、A类所占的百分数，画出图形可得； （2）利用8000乘以对应的百分比可求得； （3）画出树状图，根据树状图求解即可． 【小问1详解】 调查的总人数是：（人）， C类的人数是：（人）， C类所占的百分比是：， A类所占的百分比是； 补图如下： 【小问2详解】 爱吃D粽的人数有：（人）； 【小问3详解】 根据题意，画树状图为： 由图可知，一共有12种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，其中第二个吃到的恰好是C粽的有3种， ∴P（第二个吃到C粽）． 21. 关于x的一元二次方程， （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 【答案】（1） 解：证明：关于的一元二次方程， ， △ ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ， ，即． 解得． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 22. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价 元，请写出盈利与 的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量 的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）当天可获利1692元 （2） （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∴盈利与 的函数关系式； 【小问3详解】 解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 23. 如图，以线段 为直径作，交射线于点C， 平分交于点D，过点D作直线于点E，交 的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线 是的切线； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）首先推导出，是等腰三角形，进而得证． 【小问1详解】 证明：连接， ， ． 平分， ． ． ． ， ． 是的半径， ∴直线 是的切线； 【小问2详解】 证明：∵线段 是的直径， ． ． 平分， ． ． 是等腰三角形， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 24. 2024甲辰龙年年初，“龙”的英文翻译引发关注，“龙不再翻译为而是”冲上热搜．在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的、友好和善的，人们更是将龙排在十二生肖中的第五位．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫做“点”，如点，等．根据“点”的定义，解答下列问题： （1）判断下列各函数图象上是否存在“点”，若存在，请在相应题目后面的括号中打“√”；若不存在，请在相应题目后面的括号中打“×” ①（ ）；②（ ）；③（ ） （2）二次函数图象如图所示，请判断该图象上的“点”个数，并求出相应的“点”坐标； （3）在（2）的条件下，选取该二次函数图象上两个“点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得的面积为5．若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①√；②√；③× （2） ；， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由“点”的定义可得，则，然后将代入各函数解析式，分别求解即可； （2）由图象可知，二次函数的图象过点，，，将点，，代入，得，解三元一次方程组即可求出、、的值，进而可得二次函数解析式，由“点”的定义可得，则，然后将代入二次函数解析式，得，解一元二次方程即可得出答案； （3）由（2）可知，该二次函数的图象上有 个“点”，其坐标分别为，，不妨设，，设抛物线对称轴交直线于点，可求得抛物线的对称轴为直线 ，先利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点的坐标，设，则可求出，利用三角形的面积公式可得，即，解方程即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：， ， ①将代入，得： ， 解得：， ， 的图象上存在“点”，其坐标为； ②将代入，得： ， 解得：， ， 的图象上存在“点”，其坐标为； ③将代入，得： ， 整理，得：， ， 无实数解， 的图象上不存在“点”； 【小问2详解】 解：由图象可知，二次函数的图象过点，，， 将点，，代入，得： ， 解得：， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：或， 或， 该二次函数的图象上有 个“点”，其坐标分别为，； 【小问3详解】 解：该二次函数图象的对称轴上存在点P，使得的面积为5，理由如下： 由（2）可知，该二次函数的图象上有 个“点”，其坐标分别为，，不妨设，， 如图，设抛物线对称轴交直线于点， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在中，令 ，则， ， 设，则， 的面积为5， ， 即：， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，解三元一次方程组，因式分解法解一元二次方程，的图象与性质，求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，准确理解“点”的定义是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为 的交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，交轴于 ， 两点． （1）求点 与点 的坐标； （2）过点 作的切线，交 轴于点 ，求直线的函数解析式； （3）过点 作直线于点 ，交于点，求弦的长度． 【答案】（1）；； （2）直线解析式为； （3）弦的长度为． 【解析】 【分析】（1）连接，由，半径为 ，可得由，得，； （2）证明，可得，故，，再用待定系数法可得直线解析式； （3）过 作于点，求出，由求得，又，可得，从而可求出弦的长度为． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵，的半径为 ， ∴，． ∴； ∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵为的切线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴即 ∴， ∴ 设直线解析式为， 解得， ∴直线解析式为； 【小问3详解】 解：过 作于点，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴即 ∴， ∵， ∴，即弦的长度为． 【点睛】本题考查一次函数与圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，圆的有关性质定理、勾股定理，锐角三角函数，坐标与图形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024年下期九年级期中质量监测试卷 数学问题卷 （时量：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是随机事件的是（ ） A. 朝上点数为6 B. 朝上点数大于0 C. 朝上点数小于7 D. 朝上点数大于7 5. 将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（　　） A. y＝（x+2）2+3 B. y＝（x﹣2）2﹣3 C. y＝（x+2）2﹣3 D. y＝（x﹣2）2+3 6. 关于x的一元二次方程没有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径， 是的弦，且，的半径等于，，则 的长为（ ） A. 26 B. 24 C. 12 D. 10 9. 在一幅长，宽的矩形风景画（图中阴影小矩形）的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图（图中虚线边框矩形）的面积是，设白色纸边的宽度为，那么 满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 关于x的方程有两个不相等的实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是___________． 12. 已知是关于 的一元二次方程的一个解，则的值为________． 13. 长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率．设茶叶总产量的年平均增长率为x，则可列方程为________________． 14. 如图，点A在上，射线切于点C，若，则______． 15. 如图，A，B，C是上的三点，则，则________度． 16. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于 的不等式的解是_______． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 18. 将二次函数化为顶点式，并说明其开口方向、对称轴方程及最小值． 19. 每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上， 写出，， 的坐标． 以原点为对称中心，画出关于原点对称的， 20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．请根据题干信息解答． （1）将两幅不完整的图补充完整． （2）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数． （3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 21. 关于x的一元二次方程， （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 22. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价 元，请写出盈利与 的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量 的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 23. 如图，以线段 为直径作，交射线于点C， 平分交于点D，过点D作直线于点E，交 的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线 是的切线； （2）求证：． 24. 2024甲辰龙年年初，“龙”的英文翻译引发关注，“龙不再翻译为而是”冲上热搜．在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的、友好和善的，人们更是将龙排在十二生肖中的第五位．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫做“点”，如点，等．根据“点”的定义，解答下列问题： （1）判断下列各函数图象上是否存在“点”，若存在，请在相应题目后面的括号中打“√”；若不存在，请在相应题目后面的括号中打“×” ①（ ）；②（ ）；③（ ） （2）二次函数图象如图所示，请判断该图象上的“点”个数，并求出相应的“点”坐标； （3）在（2）的条件下，选取该二次函数图象上两个“点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得的面积为5．若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为 的交 轴负半轴于点，交 轴正半轴于点，交轴于 ， 两点． （1）求点 与点的坐标； （2）过点 作的切线，交 轴于点 ，求直线的函数解析式； （3）过点作直线于点 ，交于点，求弦 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $