精品解析：山东省菏泽市成武县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业质量测评 九年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选D． 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．由得，求出，进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 3. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论正确，符合题意； D、，选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角定理，三角形的外心的性质，圆心角弧弦的关系，确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．直径所对的圆周角是直角，正确； B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故不正确； C．同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，故不正确； D．经过不同一直线上三点一定可以作圆，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解圆心角弧弦的关系、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大． 5. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 6. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”进行判定即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，原选项不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，原选项不是一元二次方程，不符合题意； C、，原选项是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，原选项不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 7. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 8. 在中，若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∴； 当时， ， ∴． 故选C． 9. 已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，弧长的计算，掌握其计算公式是解题的关键． 根据弧长和圆心角得到圆的半径（是扇形半径，是扇形弧长，是扇形圆心角），再根据扇形面积计算公式即可求解． 【详解】解：扇形的弧长为，圆心角为， ∴由得到， ∴， 故选：A ． 10. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，， ∴，解得：， ∴由韦达定理可得：， ∴只有D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 计算：的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 在中，，，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13. 如图，在半径为5的中，，是互相垂直的两条弦，垂足为点，已知，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用、矩形的判定与性质，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键.如图，连接 过于 过作于 再利用垂径定理和勾股定理求解，，再证明四边形是矩形，再利用勾股定理可得答案. 详解】解：如图，连接 过于 过作于 ∵，，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案： 14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________. 【答案】1：2：3. 【解析】 【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比． 【详解】解：如图： 在直角三角形BOD中，∠OBD=30°， ∴R=2r， AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r． ∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值． 15. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 16. 设，是方程两个实数根，且，则的值是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握是解题的关键． 根据题意，，解得，，再根据根的判别式得到，将代数式变形计算即可求解． 【详解】解：设，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得，， 当时，，化简得，， ∵， ∴当时，原方程无实数根； 当时，，化简得，， ∵， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根； ∴， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：14 ． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，直接开方法是解题的关键． （1）先确定，再运用求根公式，代入计算即可； （2）先移项得到，等式两边同时除以，再直接开方即可． 【小问1详解】 解：， 化为一般式得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 等式两边同时除以得，， 两边同时开方得，， ∴， 解得，． 18. 中，． （1）如果，，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，根据，即可求解； （2）根据题意，设，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，在中，，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，， ∴设， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴． 19. 把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，若，求三角尺各边的长． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知，再由结合勾股定理可求得，再在中，由得到，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置， ， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 20. 已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据内接四边形的性质可得到∠BCE＝∠A ,已知∠DBA＝∠EBC ,从而来可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABD∽△CBE ,根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论. 【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCE＝∠A． ∵∠DBA＝∠EBC， ∴△ABD∽△CBE． ∴． ∴AD•BE＝EC•BD． 【点睛】此题主要考查学生对圆内接四边形的性质及相似三角形的判定的综合运用，关键在于得到△ABD∽△CBE. 21. 如图，M是的半径的中点，弦于点M，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求的值； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明四边形是菱形，利用菱形的性质和圆的性质推知是等边三角形，则； （2）由（1）得出，再得出，证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵弦于点M，是半径， ∴点M是的中点． 又∵点M是的中点， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∴． ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：由（1）知，四边形是菱形，是等边三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和垂径定理，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是恰当连接辅助线，构建菱形和等边三角形，熟练运用切线的判定进行证明． 22. 观察下列方程及解的特征： ⑴x+=2的解为x1=x2=1； ⑵x+=的解为x1=2，x2=； ⑶x+=的解为x1=3，x2=； 解答下列问题： （1）请猜想：方程x+=的解为________； （2）请猜想：关于x的方程x+═________ 的解为x1=a，x2=（a≠0）； （3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 【答案】（1）x1=5，x2=（2）a+（3）x1=5，x2=都是分式方程的解 【解析】 【详解】试题分析：（1）方程变形后，根据阅读材料中的方法确定出解即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解，验证即可． 试题解析：（1）x1=5，x2= （2）a+ （3）解：去分母得：5x2﹣26x+5=0，即（5x﹣1）（x﹣5）=0， 解得：x1=5，x2= ， 经检验x1=5，x2= 都是分式方程的解 23. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米； （1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由． 【答案】（1）4米或8米；（2）不能，见解析 【解析】 【分析】（1）设AB为x米，然后表示出BC的长为（36-3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可； （2）把（1）中方程改为方程，再解方程，根据方程的解的情况来回答即可． 【详解】解：（1）设的长为米， 依题意的方程：， 解得：，， 答：当的长度为4米或8米时，长方形的面积为96平方米． （2）假设长方形的面积是110平方米 依题意得：．即， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， ∴假设不成立， ∴长方形的面积是不能为110平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中学业质量测评 九年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直径所对圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 5. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 6. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A B. C. D. 8. 在中，若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 10. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 计算：的值为______． 12. 在中，，，则的值为______________． 13. 如图，在半径为5中，，是互相垂直的两条弦，垂足为点，已知，，则的长为______． 14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________. 15. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 16. 设，是方程的两个实数根，且，则的值是______． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 中，． （1）如果，，求的长； （2）如果，，求的长． 19. 把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，若，求三角尺各边的长． 20. 已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD． 21. 如图，M是的半径的中点，弦于点M，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求的值； （2）求证：是的切线． 22. 观察下列方程及解的特征： ⑴x+=2的解为x1=x2=1； ⑵x+=的解为x1=2，x2=； ⑶x+=的解为x1=3，x2=； 解答下列问题： （1）请猜想：方程x+=的解为________； （2）请猜想：关于x方程x+═________ 的解为x1=a，x2=（a≠0）； （3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 23. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米； （1）为了使这个长方形面积为96平方米，求边为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$