拓展5-1切线问题-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展5-1切线问题 一、“在”点处的切线方程 五、切线的条数问题 二、“过”点处的切线方程 六、切线存在的范围问题 三、切线平行、垂直问题 七、与切线有关的距离问题 四、公切线问题 一、“在”点处的切线方程 方法点拨：求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 1．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 2．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以，． 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是． 故选：A 3．设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】易知处切线的斜率为， 则，令，则，故点的横坐标为． 故选：D. 4．函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 5．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 二、“过”点处的切线方程 方法点拨：求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 6．过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 7．过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 8．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【详解】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 9．已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 【详解】因为， 又点在曲线上， 所以，∴所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. 故答案为：. 10．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线， 设切点坐标为，则，即， 由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，， 故. 故选：B 三、切线平行、垂直问题 11．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 12．已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题得， 设图象上两点，， 即有两切线的斜率分别为，， 假设函数的图象上存在互相垂直的切线， 不妨设在与处的切线互相垂直，可得， 则有解， 因为， 又因为有解， 所以， 所以 或 所以要有解，必须. 故答案为： 13．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 14．（多选）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A，已知曲线，所以，故该选项错误； 选项B，已知曲线，所以，故该选项正确； 选项C，因为，所以，故该选项正确； 选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确； 故选：BCD. 15．设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为的导数为， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为， 所以，解得，代入可得，故. 故答案为：. 四、公切线问题 16．已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 【答案】 【详解】∵， ∴，即切线斜率. ∵， ∴，即切线斜率. ∵在交点处有公共切线， ∴，又，即， 所以. 17．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则 . 【答案】 【详解】设两个函数的图象的公共点为， 所以，则，且， 所以，得，. 故答案为： 18．若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【答案】5 【详解】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 19．已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ，切线方程为 ． 【答案】 【详解】解析：设两曲线的交点为，∵，，∴由题意可 得解得，，故，∴切线方程为． 20．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 21．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【详解】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 五、切线的条数问题 22．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】AC 【详解】因为函数，所以 A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确； B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误； C. 因为在曲线上，所以点是切点，则， 所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确； D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误； 故选：AC 23．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 24．已知函数． (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令函数的值域为． 因为的值域为，所以． 当时，，符合题意； 当时，，解得． 综上，的取值范围为． （2）在曲线上任取一点， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 由题意可知，点在直线上，可得． 令，则． 当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减， 所以，且当时，，当时，． 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 所以的取值范围为． 25．若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得， 设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为， 把点代入，可得， 整理得，因为过点可作曲线的两条切线， 则方程有两个不等的实根， 所以，即， 分别把点代入验证，可得只有满足， 所以点可以是. 故选：D. 26．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为， 所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根， 令：，则：， 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当，时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故得：，即，解得：， 当时，时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故得：，即，解得：， 综上：的取值范围是． 故答案为：. 六、切线存在的范围问题 27．若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是 【答案】 【详解】由题意函数的定义域， 求导，因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为， 即， 存在零点， 故，即   令，，则， 故， 故答案为： 28．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 29．若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，在有解， 则在有解， 因为在上单调增， 所以， 则， 故选：C． 30．（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A，， ，时，，取得最大值， 直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”； 对B，，，时，，，， 此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”； 对C，，， 时，，， 过点的切线方程是，即， 因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”； 对D，，，令， 则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等， 也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”． 故选：ABC． 31．已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将点代入曲线，解得， 对曲线求导得，点处的切线斜率为，故与垂直的切线斜率为， 对曲线求导得，若曲线上至多存在一条与垂直的切线，即至多一个解，由此可得，解得. 故选：A 七、与切线有关的距离问题 方法点拨：①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 32．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 33．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 34．已知曲线C：y=x2-2x+3，直线l：x-y-4=0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离. 【答案】，. 【详解】点P到直线l的距离最短， 故点P是在曲线C上平行于直线l的切线的切点. 设 由切线平行于直线l得： 且 故 ∴所求最短距离 35．已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 设切点，令，即，解得，即切点 所以点到直线的距离为时，，解得或， 当时，函数图象与直线不相交（如图所示）， 从而函数的图象上只有一点到直线的距离为； 当时，函数图象与直线相交（如图所示）， 从而函数的图象上有且仅有三个点到直线的距离为， 综上，要满足点到直线的距离为的点有且仅有两个时，满足， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 36．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 . 【答案】 【详解】设直线与相切，则切线的斜率为 且，令，则，即切点的横坐标为， 将，代入，可得，即切点坐标为， 所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离， 即， 故答案为: 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展5-1切线问题 一、“在”点处的切线方程 五、切线的条数问题 二、“过”点处的切线方程 六、切线存在的范围问题 三、切线平行、垂直问题 七、与切线有关的距离问题 四、公切线问题 一、“在”点处的切线方程 方法点拨：求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 1．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．函数在点处的切线方程为 . 5．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 二、“过”点处的切线方程 方法点拨：求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 6．过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 7．过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 8．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 9．已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 10．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 三、切线平行、垂直问题 11．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为 . 13．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 14．（多选）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 15．设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 四、公切线问题 16．已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 17．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则 . 18．若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 19．已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ，切线方程为 ． 20．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 21．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 五、切线的条数问题 22．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 23．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 24．已知函数． (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围． 25．若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ． 六、切线存在的范围问题 27．若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是 28．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 29．若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ） A． B． C． D． 31．已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 七、与切线有关的距离问题 方法点拨：①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 32．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 34．已知曲线C：y=x2-2x+3，直线l：x-y-4=0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离. 35．已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是 . 36．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$