精品解析：河北省石家庄市辛集市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

辛集市2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系. 【详解】，得，则， ，得，则， 所以. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断． 【详解】最小， 又，在上单调递增， 所以，即， 综上，， 故选：A． 3. 幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的诱导公式，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，， 即成立； 又因为， 所以或， 结合，解得或或， 即成立，推不出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 7. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 8. 设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 在上是增函数 D. 存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可． 【详解】函数f（x）=asinx+bcosx= 周期T=2π． 由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数． 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 为第三象限角的充要条件为 B. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数角在各象限三角函数值的正负，以及角在各象限范围，诱导公式，同角三角函数基本关系，判断四个选项即可. 【详解】对于A，当为第三象限角时，，所以， 反之，当时，则有 ①当，为第三象限角， ②当时，为第二象限角，故A错误； 对于B，若为第二象限角，即，， 则，，则为第一或第三象限角，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，则下列结论成立的是（） A. B. 若．则 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为2 B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案. 【详解】，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， ，函数关于对称， 对选项A：的最小值为，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，故，，正确； 对选项D：，故，错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简式子的值为__________. 【答案】##1.25 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为扇形的院校为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故答案为：. 14. 某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_____________年（参考数据：，. 【答案】2024 【解析】 【分析】结合对数的运算公式解决函数的实际应用. 【详解】设第年开始超过200万元，则， 即， 两边取对数，可得， 根据参考数据，可得， 因为为整数，取， 故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年. 故答案为：2024. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，若实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简集合,求出即得解； （2）对集合分两种情况讨论，最后综合得解. 【小问1详解】 解：由题得，， 当时，，所以, 所以. 【小问2详解】 解：当时，，满足题意. 当时，由题得. 综上所述，. 16. 已知函数解集为． （1）求的解析式； （2）用定义法证明函数在上为单调增函数； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 设， 由， ∵， ∴， ∴即， ∴函数在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得. （2）利用函数单调性的定义，求得，从而证得的单调性. （3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【小问1详解】 由函数解集为， 可知方程的两根为，， 由，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得：， 即对于任意的，有恒成立， 则， 当时，由二次函数性质得取得最小值，则. 17. 已知点为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的定义，即可求解； （2）由（1）知，得到，代入即可求解； （3）由（1）知，得到，代入即可求解. 【小问1详解】 解：由点，根据三角函数的定义，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知，则. 【小问3详解】 解：由（1）知， 则 . 18. 已知，求： （1）的最小正周期及单调递增区间； （2）时，恒成立，求实数的范围． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果； （2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围. 【小问1详解】 ， 的最小正周期， 由，， 可得，， 函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 ，， 在上单调递增，在上单调递减，且， ，， 当即，， 要使恒成立，则，即，可得， 故实数的范围是． 19. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】（1）选择模型③，理由如下： 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选择模型③， （2）72万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，选择模型③，所求函数过点，， 则，解得，， 故所求函数为， ，即， ， ， 至少应完成销售利润72万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 在上是增函数 D. 存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 为第三象限角的充要条件为 B. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C. D. 10. 已知，则下列结论成立的是（） A. B. 若．则 C. 若，则 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为2 B. ， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简式子的值为__________. 13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________. 14. 某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_____________年（参考数据：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，若实数的取值范围. 16. 已知函数解集为． （1）求的解析式； （2）用定义法证明函数在上为单调增函数； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围． 17. 已知点为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知，求： （1）的最小正周期及单调递增区间； （2）时，恒成立，求实数的范围． 19. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $