17.2勾股定理的逆定理 （第2课时 勾股定理的逆定理的应用）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. （难点） 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 情景导入 1 2 课本例题例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 例题讲解 5 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 归纳 补充例题题型一 利用勾股定理及其逆定理解决边角问题 如图17.2－2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6. 求BC 的长. 类型1 求线段的长 解： 如图17.2－2，延长AD到点M， 使DM＝AD，则AM＝ 2AD＝12. 连接CM，易得△ABD≌△MCD， ∴ CM＝AB＝5. 在△ACM中，AM2＋CM2＝122＋52＝132＝AC2， ∴△ACM为直角三角形，且∠AMC＝90°. ∴在Rt△DCM中，CD＝＝＝. ∵ AD为BC边上的中线，∴ BC＝2CD＝2. 倍长中线法： 当出现三角形的中线时，一般要延长中线，使延长的部分与中线等长(倍长中线法)，构造全等三角形，把已知条件转化到同一个三角形中进行计算或证明. 方法总结 如图17.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3. 求∠BPC 的度数. 类型2 求角的度数 思路引导： 解：如图17.2－3，过点C作CE⊥CP，并截取CE＝CP， 连接BE，PE，则△PCE为等腰直角三角形. ∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8. ∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°， ∴∠ACP＝∠BCE.又∵AC＝BC，CP＝CE， ∴△APC ≌△BEC(SAS).∴ BE＝PA＝3. ∵ PB＝1，∴ PE2＋PB2＝BE2 . ∴△BPE 是直角三角形，且∠BPE＝90°. ∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°. 如图17.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点， 且PB＝1，PC＝2，PA＝3. 求∠BPC 的度数. 思路点拨 集中已知条件解决问题： 当已知长度的三条线段共点时，可通过构造全等三角形，将已知线段(或根据已知条件能求出长度的线段)集中在一个三角形中，进而寻找解决问题的方法. 模型解读 构造“手拉手”模型的方法 图示 解读 已知AB ＝ AC，∠BAC＝α，作∠DAE＝α，且AD＝AE，则可证△ABD≌△ACE(SAS). 如图17.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26. 求四边形ABCD的面积. 题型二 思路引导： 利用勾股定理及其逆定理解决面积问题 解：如图17.2－4 ，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理 得AC＝＝＝10. 在△ACD中，AC2＋CD2＝102＋242＝ 262＝AD2. ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144. 技巧点拨 求不规则图形的面积时，就目前所学的知识来说作辅助线应遵循的几个原则： 1. 作垂线或垂线段构造直角三角形； 2. 分割或补充图形使之由不规则图形变为规则图形； 3. 尽可能把具有勾股数特征的线段汇聚到一个三角形中，从而运用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形. 如图17.2－5，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海． 某日22点30分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向．经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10海里，A，B两艇之间的距离为6海里，B艇与可疑船只C之间的距离为8海里．若该可疑船只的航行速度为12.8海里/时，则它最早在何时进入我国的领海 区域？ 题型三 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 思路引导： 解：∵ AC＝10 海里，AB＝6 海里，BC＝8 海里， ∴ AB2＋BC2＝36＋64＝100＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 由题可知PQ⊥AC， ∴ S△ABC＝AB·BC＝AC·BD， 即6×8＝10×BD，解得BD＝4.8． ∵ PQ⊥AC，BC＝8 海里，BD＝4.8 海里， ∴ CD＝6.4 海里． 另解 由题意得∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴在Rt△ADB和Rt△BDC中， BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2， 即62－(10－CD)2＝82－CD2， 解得CD＝6.4. ∵该可疑船只的速度为12.8 海里/时， ∴从C到D所需的时间为＝0.5(小时)＝30(分钟)． 故该可疑船只最早在23点进入我国领海区域． 方法点拨 转化思想在勾股定理的逆定理中的应用： 解此类实际应用题时，我们应从实际问题入手，将其转化为数学问题，然后选择相应的数学知识解决问题. 例如，要求该可疑船只最早何时进入我国领海，必须首先确定该可疑船只进入我国领海的航行路线, 由“垂线段最短”可知线段CD的长即为该可疑船只进入我国领海的最短距离，因此，计算CD的长即为解题的关键. 题型四 利用勾股定理及其逆定理判断两线的位置关系 如图17.2－6，在正方形ABCD中，E为AD的三等分点，G为DC上一点，且DG∶GC＝2∶7，那么BE与EG 垂直吗？请说明你的理由. 解题秘方：判断两条线段的垂直关系，转化为判断两条线段所在的三角形为直角三角形. 解：BE 与EG 垂直. 理由如下：如图17.2－6，连接BG.设正方形ABCD的边长为9x. ∵ E为AD的三等分点，∴ AE＝3x.∴ ED＝6x. ∵ DG∶GC＝2∶7，∴ DG＝ 2x，CG＝7x. 在Rt△AEB中，∵ AB＝9x，AE＝3x， ∴ BE2＝AB2＋AE2＝(9x)2＋(3x)2＝90x2. 同理可得EG2＝ED2＋DG2＝(6x)2＋(2x)2＝40x2， 如图17.2－6，在正方形ABCD中，E为AD的三等分点，G为DC上一点，且DG∶GC＝2∶7，那么BE与EG 垂直吗？请说明你的理由. BG2＝BC2＋CG2＝(9x)2＋(7x)2＝130x2.∵ 90x2＋40x2＝130x2， 即BE2＋EG2＝BG2，∴△BEG 是直角三角形，且∠BEG＝90°. ∴ BE⊥EG. 思路点拨 BE与EG不在同一个三角形中，如果要用勾股定理的逆定理证明BE与EG垂直，就需要连接BG，构造△BEG . 方法点拨 本题利用数形结合思想，通过对边长的计算，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形来判定两条线段垂直. 易错点 运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时易受思维定式的影响而出错 判断以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，其中a＝，b＝1，c＝. 错解：a2＋b2＝()2＋12＝6＋1＝7，c2＝()2＝5. ∵ a2＋b2 ≠ c2， ∴ 以a，b，c 为边长的三角形不是直角三角形. 正解：∵ a2＝()2＝6，b2＝1，c2＝()2＝5， ∴ b2＋c2＝a2. ∴ 以a，b，c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜边长). 诊误区： 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我们不能简单地看两边a，b的平方和是否等于边c的平方，而应先比较a，b，c的大小，找出最大边长，再分别计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 3. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地 的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：由图知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13. ∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169， ∴AB2 + BC2 = AC2， 由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形， 且∠B = 90°. ∵A 地在 B 地的正东方向， ∴C 地在 B 地的正北方向. 课堂练习 分层练习 29 【答案】A 30 2. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙两船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A．北偏东50° B．北偏东45° C．南偏东50° D．南偏东60° 31 【点拨】由题意可知AP＝12海里，BP＝16海里，AB＝20海里．∵122＋162＝202，∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行． 【答案】A 32 3. [2024驻马店期末]如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 33 【答案】B 34 4. [2024广州期中]如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________． 35 5. [2024郑州期中]如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15 km，与公路上另一停靠站B的距离为20 km，停靠站AB之间的距离为25 km，且CD⊥AB． 36 (1)求修建的公路CD的长． (2)一辆货车从D处到B处走过的路程是多少？ 37 6. [2024遵义一模]如图所示的是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° 38 【点拨】设小正方形的边长为1.如图， 取格点E，连接AE，BE，则AE∥CD， ∴∠BAE＝∠BOD.由勾股定理得AB2＝ 12＋22＝5，EB2＝12＋22＝5，AE2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BE2＝AE2，AB＝BE.∴△ABE是等腰直角三角形. ∴∠BAE＝45°.∴∠BOD＝45°. 【答案】B 39 7. [2024朝阳期末]如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24 cm，CB＝18 cm，两轮中心的距离AB＝30 cm，则点C到AB的距离为________cm. 40 41 8. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m，则喷泉B到小路AC的最短距离为________． 150 m 42 43 9. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我国海军派甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60 海里，乙巡逻艇每小时航行25海 里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°. 44 (1)求甲巡逻艇的航行方向． 45 (2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 46 10.如图是某区域仓储配送中心的示意图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250 m，A，B区相距200 m，A，C区相距150 m，为了方便商品从入库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 47 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区(接缝忽略不计)． (1)请判断此平面图形△ABC的形状(要求写出推理过程)． 【解】△ABC是直角三角形，推理如下：由题意可知BC＝250 m，AB＝200 m，AC＝150 m. ∵2002＋1502＝2502，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 48 (2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 49 1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=7，b=24，c=25； (2) a= ，b=4，c=5； (3) a= ，b=1，c= ； (4) a=40，b=50，c=60. 解： (1) a2+b2=625=c2，是直角三角形. (2) b2+c2=41=a2，是直角三角形. (3) b2+c2= =a2，是直角三角形. (4) 不是直角三角形. 习题 2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1) 同旁内角互补，两直线平行； (2) 如果两个角是直角，那么它们相等； (3) 全等三角形的对应边相等； (4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 解： (1) 两直线平行，同旁内角互补.成立. (2) 如果两个角相等，那么这两个角是直角.不成立. (3) 三条边对应相等的三角形全等.成立. (4) 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立. 3.小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地. 小明向东走80 m后是向哪个方向走的？ 解：因为602+802=1002，故小明所 走的路线为一个直角三角形. 根据题意画出图形如图所示. 根据图象可得，小明向东走80 m后是向北或向南走的. 4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC． 解：∵AD是BC边上的中线，BC=10，∴ 在△ABD中，BD2+AD2=169=AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°. ∴∠ADC=90°. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=CD2+AD2=122+52=169， ∴AC=13. 5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°. 求四边形ABCD的面积． 解：在△ABC中，∵∠B=90°， 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=25. ∴AC=5. 在△ACD中，CD2+AC2=169=AD2. ∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°. 6.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 ．求证：∠AEF=90°． 解：设AB=4k，则BE=CE=2k，CF=k， DF=3k. ∵∠B=∠C=∠D=90°， ∴AE2=AB2+BE2=(4k)2＋(2k)2=20k2． EF2=EC2+CF2=5k2 ，AF2=AD2+DF2=25k2． ∴AE2＋EF2=AF2． 根据勾股定理的逆定理，△AEF为直角三角形． ∴∠AEF=90°． 7.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k (k是正整数)也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k是正整数)也是一组勾股数吗？ 解：∵(3k)2＋(4k)2=9k2＋16k2=25k2=(5k)2， ∴3k，4k，5k (k是正整数)为勾股数． ∵a，b，c为勾股数，即a2＋b2=c2， ∴(ak)2＋(bk)2=a2k2＋b2k2=(a2＋b2)k2=c2k2=(ck)2． 因此，ak，bk，ck (k是正整数)也是勾股数． 勾股定理的逆定理 判断一个三角形是不是直角三角形 判断航行方向 计算不规则四边形面积 课堂小结 1. [2024深圳期末]如图是由六个边长为1的小正方形构成的大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是(　　) A． B． C．2 D． 【点拨】由题图可知，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝. ∵()2＋(2)2＝()2，∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. ∴S△ABC＝AB·AC＝2.∴△ABC中BC边上的高＝＝. 【点拨】连接AC.∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m， ∴AC＝＝＝15(m)．又∵CD＝8 m，AD＝17 m，∴AC2＋CD2＝152＋82＝289，AD2＝172＝289. ∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝ AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝54＋60＝114(m2).∴这块菜地的面积是114 m2. 【解】∵AC＝15 km，BC＝20 km，AB＝25 km，152＋ 202＝252，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°.∴CD＝＝12 km，即修建的公路CD的长是12 km. 【解】在Rt△BDC中，BD＝＝16 km，故一辆货车从D处到B处走过的路程是16 km. 【点拨】过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝24 cm，CB＝18 cm，AB＝30 cm，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. ∴△ABC的面积＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝ cm，即点C到AB的距离为 cm. 【点拨】在Rt△MNB中，BN＝＝＝90(m)，∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)． 在Rt△AMN中，AM＝＝＝200(m).∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，∴AB2＝BM2＋AM2.∴△ABM是直角三角形，且∠AMB＝90°，即BM⊥AC.∴喷泉B到小路AC的最短距离为150 m. 【解】如图，过点C作CD∥BE. 由题意得∠CBE＝40°，AF∥BE， AB＝13海里，AC＝60×＝12(海里)， BC＝25×＝5(海里)，∴AC2＋BC2＝169，AB2＝169.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. ∵CD∥BE，∴∠DCB＝∠CBE＝40°. ∴∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝50°. ∵AF∥BE，CD∥BE，∴AF∥CD.∴∠FAC＝∠ACD＝50°.∴甲巡逻艇的航行方向是南偏东50°. 【解】甲巡逻艇航行6分钟的路程＝60×＝6(海里)，乙巡逻艇航行6分钟的路程＝25×＝2.5(海里)，∴6分钟后甲、乙两艘巡逻艇之间的距离＝＝6.5(海里)． 【解】甲方案所搭建的传送带较短，理由如下：由(1)可知△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. ∵AD⊥BC，∴S△ABC＝BC·AD＝AB·AC. ∴AD＝＝＝120(m)． ∴AD＋DB＋DC＝AD＋BC＝120＋250＝370(m)． ∵AB＋AC＝200＋150＝350(m)＜370 m， ∴甲方案所搭建的传送带较短． $$