精品解析：山东省枣庄市市中区2024-2025学年高二上学期期末阶段性质量监测数学试题

2024—2025学年度第一学期 市中区阶段性质量监测高二数学试题 考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟： 第1卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线AB的距离是 5. 已知圆方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 7. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 直线与圆相交 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 11. 在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为中点时，与相交于一点，且 C. 存在点，使得平面 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则AB的中点坐标为______，=______. 13. 抛物线的焦点坐标为________． 14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点为坐标原点，向量，计算： （1）求向量同向单位向量； （2）若，求的值； 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且，． （1）求证：平面PCD； （2）求AP与平面CMB所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆E：的离心率，左焦点， （1）求椭圆E标准方程； （2）过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，若，求直线l的一般式方程. 18. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． （1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： （2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期 市中区阶段性质量监测高二数学试题 考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟： 第1卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2. 过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由，解得，得直线与的交点为点． 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率， 因此，所求直线的方程为，即． 故选：B. 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答. 【详解】椭圆的长短半轴长分别为a，b，有，则椭圆半焦距， 显然 ，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：A 4. 在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线AB的距离是 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:B． 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 6. 已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案. 【详解】因为向量，，， 由，则，解得， 由，则，解得， 则. 故选：A. 7. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 8. 已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 直线与圆相交 【答案】AC 【解析】 【分析】由圆锥曲线的焦点坐标、顶点坐标以及准线的定义即可判断ABC，由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断D. 【详解】在椭圆中，因为，，则，且焦点在轴上，A正确． 双曲线的顶点在轴上，B错误． 抛物线开口向左，，准线为，C正确． 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，D错误． 故选：AC. 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D. 详解】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为中点时，与相交于一点，且 C. 存在点，使得平面 D. 异面直线与所成角余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接证明平面即可判断A；对于B，设和相交于点E，则，所以，即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用共线向量，即可判断C；对于D，由和进行求解，可判断D. 【详解】对于A选项，在正方体中，易知， 由平面，得， 而，故平面， 所以，同理可得， 又因为，所以平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B选项，当为中点时，根据题意可得，为中点， 设和相交于点E，连接和，如图所示： ， 因为，所以，故B正确； 对于C选项，设正方体的边长为，建立如图所示直角坐标系， 则, ， 设平面的法向量， 则,则， 令，则，故， 设，则，则， 由平面，则， 所以，则不存在, 即不存在使得平面，故C错误； 对于D选项，由，， 则， 此时，即为中点，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则AB的中点坐标为______，=______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值. 【详解】设线段的中点坐标为， 由中点坐标公式可得， 即线段的中点坐标为， 所以． 故答案为：；. 13. 抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】 将抛物线方程化为标准形式后可得结果. 【详解】由得， 所以，， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点为坐标原点，向量，计算： （1）求向量同向的单位向量； （2）若，求的值； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量； （2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 因为，， 所以，与同向的单位向量为. 【小问2详解】 因为，， 又， 所以，即. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且，． （1）求证：平面PCD； （2）求AP与平面CMB所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为，分别连接，利用中位线性质得，再根据线面平行的判定即可. （2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值． 【小问1详解】 取中点为，分别连接， 又因为是PA的中点，N是BC的中点，所以， ，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面PCD. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则， ， 设平面的法向量，则 ，即，令，则，. 设直线与平面所成的角为，则 . 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 . 设平面的法向量，则 ，即， 令，则.. 又平面的法向量. 设二面角的大小为，则为锐角， ， 所以二面角的余弦值为． 17. 已知椭圆E：的离心率，左焦点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，若，求直线l的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出即可； （2）当k不存在时，弦长不符，当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式列列方程求出斜率，则直线方程可得. 【小问1详解】 ，， ∴，， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设， 当k不存在时，通径（舍）； 当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立消去得：，， ∴； 解得， 故直线方程为：. 18. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点 【解析】 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 19. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． （1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： （2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值． 【小问1详解】 由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以 所以，所以，故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则： 所以： ，即 所以： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$