精品解析：河南省安阳市新一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

安阳市新一中学2024-2025学年上学期期末考试 高二年级数学试题 命题人：唐文琪 审核人：薛晓田 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由可得， 解得. 故选：A 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】∵双曲线 ∴双曲线渐近线为 即 故选：D 4. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法法则结合题意直接求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，若， 所以， 故选：B． 5. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 6. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值，最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 7. 已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质可得出，，进而可得的取值范围. 【详解】由题意可得，则， 因为，可得，则， 设等差数列的公差为，则， 由题意可得，可得. 即的取值范围是. 故选：C. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可用双曲线参数表示，由是锐角三角形，令结合余弦定理即得，进而可求离心率的取值范围. 【详解】由题意知，若如图所示，则，， ∴，， 令，则有， 是锐角三角形，有，得 ∴，而可知：的范围 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用双曲线参数表示三角形的三边，应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为，双曲线离心率求离心率范围. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，建系，利用距离公式求解,D选项，找到的轨迹，计算即可；. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，如图建系，由， 设，则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，正确. 对于D， 因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，设直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理即可求解；对于，由弦长公式求解即可；对于，由求解即可；对于，由中点坐标公式可得，所以，当和分别求解即可. 【详解】 依题意直线的斜率不为0，， 设直线：，联立， 则，则，故A正确； 又，， ， 解得， 故直线的斜率为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故直线的倾斜角为或，故C正确； ，而，故， 当时，易知， 当时，，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列的前n项和满足，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求得答案. 【详解】数列中，由，得 故答案为：8 13. 设，为单位向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，是单位向量以及，求出的值，通过求解即可得到的值. 【详解】解：由题意，，为单位向量，且 ∴ 解得： ∵ ∴ 故答案为：. 14. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，再结合椭圆的离心率，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题（5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于、两点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得曲线的方程为； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 由题意可得点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，、 联立整理得，则， 由韦达定理可得，， 所以，所以. 16. 已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）由于，根据裂项相消求和即可解决. 【小问1详解】 由题知，等差数列的前项和为， 所以，即， 解得， 所以， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 所以数列的前项和. 17. 已知非零数列满足，； （1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】（1）对两边同时加1，运用等比数列的定义和通项公式，可得答案；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（1）依题意：，所以， 即数列为等比的等比数列， 所以，可得，所以 （2）由（1）可知，令， 则， 所以， 即，所以 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算，所以，结合即可证明； （2）（i）求出平面与平面的法向量，由两平面夹角的正弦值求长； （ii）由（1）可知是直线与平面所成角的一个平面角，即可得解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面. 【小问2详解】 （i）设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量， 所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（取正），所以长为2. （ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，， 又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （1）求的方程； （2）证明：直线恒过定点； （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 【答案】（1）； （2）证明如下： 显然直线不垂直于，设其方程为，， 由消去，得， 则，即，， 由以为直径的圆经过点，得，即， 则，， ，化简得， 当时，直线经过点，不符条件，因此， 所以直线必过定点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求的方程. （2）联立直线与双曲线方程，由向量垂直的坐标表示列式，结合韦达定理，化简求解. （3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解. 【小问1详解】 由双曲线右顶点，得， 由离心率为，得双曲线半焦距，则双曲线虚半轴长， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 由为中点，得，于是，解得， 由，得， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳市新一中学2024-2025学年上学期期末考试 高二年级数学试题 命题人：唐文琪 审核人：薛晓田 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 6. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 10 7. 已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 10. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列的前n项和满足，则______. 13. 设，为单位向量，且，则___________. 14. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 四、解答题（5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于、两点，求的值. 16. 已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知非零数列满足，； （1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （1）求的方程； （2）证明：直线恒过定点； （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $