精品解析：湖南省娄底市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024年下学期娄底市部分普通高中期末考试试卷 高一数学 满分：150分 时量：120分钟 命题人：陈元 审稿人：郭强国 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：人教版2019必修第一册． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则p是q的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 若函数，则等式（ ） A. 5 B. 6 C. 63 D. 64 8. 已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ） A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若函数（，且）的图象过点，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若的解集是，则 C. 若，则恒成立 D. ，，在上单调递增 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为______． 13. 化简：______. 14. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于_____ 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）当时，求 （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知． （1）化简求值：； （2）若是第一象限角，，且，求的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和最大值； （2）将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值． 18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，． （1）求的值； （2）判断的奇偶性和单调性； （3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期娄底市部分普通高中期末考试试卷 高一数学 满分：150分 时量：120分钟 命题人：陈元 审稿人：郭强国 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：人教版2019必修第一册． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，故D正确. 故选：D 2. 设命题，则p是q的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据两命题之间的逻辑关系判断，即得答案. 【详解】当时，必有成立，反之不成立， 故p是q的充分不必要条件， 故选：A 3. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理直接判断. 【详解】函数的定义域为，且连续. 因为在单增，在单增， 所以在单增. ，， . 所以函数零点所在区间为. 故选：B 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先检验符合基本不等式使用条件，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为，故C正确. 故选：C 5. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，结合函数图象作出判断 【详解】A选项，定义域为R，， 故为偶函数，A正确； B选项，由指数函数图象知，为非奇非偶函数，B错误； C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，D错误. 故选：A 6. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 7. 若函数，则等式（ ） A. 5 B. 6 C. 63 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质结合分段函数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故A正确. 故选：A 8. 已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ） A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A.取特殊值判断；B.利用不等式性质判断；C.取特殊值判断；D.利用作差法判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，所以，故正确； C.当时，，故错误； D.若，则，故， 所以，故正确； 故选：BD 10. 若函数（，且）的图象过点，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数图象过的点，可求出a，判断A；利用幂函数的单调性判断B；根据对数函数的单调性判断CD. 【详解】由题意函数（，且）的图象过点， 得，A正确； 由于在上单调递增，故，B错误； 由于，故函数在上单调递增，则，CD正确； 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若的解集是，则 C. 若，则恒成立 D. ，，在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A选项；利用二次不等式的解集与系数的关系可判断B选项；当时，计算可判断C选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， 即，即对任意的恒成立，则，A对； 对于B选项，若不等式的解集为， 则且、为方程的两根，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，则，， 故不恒成立，C错； 对于D选项，当时，因为，则在上单调递增， 当时，函数的对称轴为直线且， 由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， 因此，，，在上单调递增，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式、根式性质求定义域即可. 【详解】由题设，可得且，则定义域为且. 故答案为：且 13. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的运算求得结果. 【详解】. 故答案为： 14. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于_____ 【答案】 【解析】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于,即可得解. 【详解】由题意知， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 故会无限趋近于. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）当时，求 （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由集合的包含关系得不等式求解． 【小问1详解】 当时，， 或， 故． 【小问2详解】 因为，所以， 解得， 实数a的取值范围为． 16. 已知． （1）化简求值：； （2）若是第一象限角，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，齐次化变形，代入求值即可； （2）利用同角三角函数关系得到，，，利用余弦差角公式进行求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 由为第一象限角，且， 即，解得，； 又，且，故． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和最大值； （2）将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简，再求函数的周期和最大值； （2）平移后的函数，若函数是偶函数，则是函数的对称轴，求参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意： ， 由此可得： 【小问2详解】 由题意可知：， 因为为偶函数，所以，解得， 又因为，所以当时，的最小值为. 18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】（1）， （2）当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【解析】 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【小问1详解】 单个矩形栏目的长度为， ， 【小问2详解】 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，． （1）求的值； （2）判断的奇偶性和单调性； （3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）为奇函数；函数是上的减函数 （3）或． 【解析】 【分析】（1）在已知等式中令，可得； （2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性； （3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论． 【小问1详解】 令，代入得，所以． 【小问2详解】 令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． 【小问3详解】 ，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $