精品解析：江苏省淮安市开明集团2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

数学三 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步步将“上九天揽月”的神话变为现实．已知地球和月球间的平均距离约为，384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 3，5，10 C. 4，6，9 D. 4，5，9 6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（　　） A. 48πcm2 B. 24πcm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2 8. 如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 正八边形的外角和是______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 12. 不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球，摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.2附近，可以估计袋子中原来有________个小球． 13. 已知点在一次函数的图像上，则的值为________． 14. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连结，若，则______度． 15. 图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中________． 16. 如图，在菱形中，对角线，，将菱形绕着的中点顺时针旋转，得到四边形，当点恰好落在边上时，四边形的边与边交于点，则的长为________． 三、解答题（共11题，10+8+8+8+8+8+8+8+10+12+14=102分） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，平分，则的长为________． 20. 为了美化环境，建设生态淮安，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成．已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队单独完成全部任务所需时间的．甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？（列方程解决问题） 21. 游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A、B、C，游客可随机选择其中的一个通过． (1)一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率是______. (2)两名游客经过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率(请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程)． 22. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82，八年级10名学生的竞赛成绩是：94 90 94（部分数据被污染），根据信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 52 八年级 92 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 （1）直接写出________，________； （2）补全条形统计图； （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 23. 如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 24. 乐乐和佳佳同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段分别表示乐乐和佳佳离学校的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系，且两人骑车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： （1）乐乐的速度为________米/分钟，佳佳比乐乐早________分钟到达体育馆； （2）求图中段与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）出发后经过16分钟，两人相距多少米？ 25. 如图，是直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象顶点坐标． （2）若； ①当时，，则的取值范围是________； ②已知点，在该二次函数图象上，求证：当时，； （3）设二次函数图象与轴交于点，过点作轴的平行线，将该函数图象在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到的图形记为“”．点，在图形“”上，且满足，求的取值范围． 27. “相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．下图是我们研究三角形相似时常见的一类图形．如图1，在中，为上一点，，又因为是和的公共角，可得． 【初步应用】： （1）如图2，在中，，，垂足为．若，，则的长为________． 【变式练习】： （2）如图3，在中，，，点在上，点在上，且，，求的长． 操作思考】： （3）如图4，已知直线，点在线段上．请利用无刻度直尺和圆规，在上作一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 【综合拓展】： （4）如图5，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学三 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解：根据无理数的定义可得：无理数是；，0和，都是有理数， 故选：D． 2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 3. 从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步步将“上九天揽月”的神话变为现实．已知地球和月球间的平均距离约为，384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】将数据384000用科学记数法表示为3.84×105． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，同底数幂的乘法，积的乘方．根据合并同类项，去括号，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 3，5，10 C. 4，6，9 D. 4，5，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】A.∵， ∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B.∵， ∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C.∵，， ∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D.∵， ∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质．先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（　　） A. 48πcm2 B. 24πcm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2 【答案】B 【解析】 【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 8. 如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴设， ∵将线段沿轴向右平移至线段， ∴纵坐标为， ∵点落在反比例函数的图像上． ∴的横坐标为， ∴线段扫过的面积为， 故选：C 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 正八边形的外角和是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是即可． 【详解】解：任意多边形的外角和都是 正八边形的外角和是． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 12. 不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球（没有粉色），实验小组向其中投入10个除颜色外无其他差别的粉色小球，摸出一个球，记录颜色，放回混合均匀，再摸出一个球，记录颜色，重复多次，发现摸到粉色小球的频率稳定在0.2附近，可以估计袋子中原来有________个小球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，能根据频率估计概率是解题的关键．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋子中原来有n个小球，由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的解 故估计袋子中原来有个小球， 故答案为：． 13. 已知点在一次函数的图像上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点以及代数式求值，利用一次函数图像上点的坐标特征可得出，将变形为即可求出结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连结，若，则______度． 【答案】20 【解析】 【分析】由，再结合圆周角定理，即可计算的大小． 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 15. 图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，标注字母，设，则,证明，利用相似三角形的性质求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，标注字母： 由题意可得：，， ∵图1中周长为20的矩形纸片， ∴图1中大的矩形的长与宽的和为， 设，则, ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 16. 如图，在菱形中，对角线，，将菱形绕着的中点顺时针旋转，得到四边形，当点恰好落在边上时，四边形的边与边交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接和交于点，作于点，连接，先求得菱形的边长为5，证明是的中位线，求得，再求得，，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接和交于点，作于点，连接， ∵和是菱形的对角线， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（共11题，10+8+8+8+8+8+8+8+10+12+14=102分） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算法则和一元一次不等式组的解法，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义逐项计算即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，平分，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【小问1详解】 证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 20. 为了美化环境，建设生态淮安，某社区需要对8400平方米区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成．已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队单独完成全部任务所需时间的．甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？（列方程解决问题） 【答案】甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用题．设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积． 21. 游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A、B、C，游客可随机选择其中的一个通过． (1)一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率是______. (2)两名游客经过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率(请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程)． 【答案】(1)；(2)图见解析； 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式可得结果； （2）画出树状图展示所有结果，再找出选择不同通道的结果数，然后根据概率公式求解. 【详解】解：(1)选择A通道通过的概率是， 故答案为. (2)画树状图如下； 由图中可知，共有9种等可能情况，其中选择不同通道通过的有6种结果， 所以选择不同通道通过的概率为. 【点睛】本题考查利用树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或表格的画法是关键. 22. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82，八年级10名学生的竞赛成绩是：94 90 94（部分数据被污染），根据信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 52 八年级 92 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 （1）直接写出________，________； （2）补全条形统计图； （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1）99，94 （2）见解析 （3）八年级学生掌握“生活中的数学”知识较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数以及方差，掌握中位数、众数、平均数以及方差的定义和计算方法是正确解答的关键． （1）根据众数的定义即可求出七年级10名学生的竞赛成绩的众数，即a的值，再根据中位数的定义求出八年级10名学生的竞赛成绩的中位数，确定b的值； （2）求出被抽取的八年级10名学生竞赛成绩在B组的人数即可补全条形统计图； （3）根据众数、方差的大小调查结论即可． 【小问1详解】 解：被抽取的七年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是99分，共出现4次，因此竞赛成绩的众数是99分，即， 由条形统计图可知，被抽取的10名竞赛成绩在C组有3人，成绩为90，94，94，将八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），即竞赛成绩的中位数， 故答案为：99，94； 【小问2详解】 解：被抽取的八年级10名学生竞赛成绩在B组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ； 【小问3详解】 解：八年级学生掌握“生活中的数学”知识较好，理由：八年级学生竞赛成绩的众数、中位数较大，方差较小，成绩比较稳定． 23. 如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】此时躺椅最高点E距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G，根据垂直定义可得，再利用平角定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴此时躺椅最高点E距离地面的高度约为． 24. 乐乐和佳佳同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段分别表示乐乐和佳佳离学校的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系，且两人骑车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题： （1）乐乐的速度为________米/分钟，佳佳比乐乐早________分钟到达体育馆； （2）求图中段与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）出发后经过16分钟，两人相距多少米？ 【答案】（1）300，2 （2）； （3）出发后经过16分钟，两人相距800米． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间分别求出乐乐和佳佳的速度，再由时间=路程÷速度求出佳佳到达体育馆所用时间，从而计算佳佳比乐乐早多长时间到达体育馆； （2）根据时间=路程÷速度求出段所用的时间，从而求出点B的坐标，再利用待定系数法求段y与x的函数关系式即可； （3）将代入段y与x的函数关系式，求出对应的y值；根据路程=速度×时间求出佳佳16分钟的路程，从而求出出发后经过16分钟两人之间的距离． 【小问1详解】 解：乐乐的速度为（米/分钟）； 佳佳的速度为（米/分钟）， 佳佳到达体育馆所用时间为（分钟）， ∴佳佳比乐乐早（分钟）到达体育馆． 故答案为：300，2； 【小问2详解】 解：，则， ∴． 设段y与x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， （米）， （米）． 答：出发后经过16分钟，两人相距800米． 25. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接、，由是的直径，与相切于点，得，推导出，进而推导出，即可证明直线与相切； （2）先证明，再根据的半径是，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得， ，则， ，而，则． 【小问1详解】 证明：连接、，则， ∵是的直径，与相切于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的半径是，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴4，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若； ①当时，，则的取值范围是________； ②已知点，在该二次函数图象上，求证：当时，； （3）设二次函数图象与轴交于点，过点作轴平行线，将该函数图象在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到的图形记为“”．点，在图形“”上，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②见解析 （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质． （1）配成顶点式，即可求解； （2）①由二次函数的性质求得当时，有最小值为，由的最大值为，求得，据此求解即可；②由二次函数的性质求得，，计算得到，根据，即可证明结论成立； （3）由题意得直线的解析式为，得到，两点到对称轴直线的距离均为，且在称轴直线的两侧，，两点到直线的距离相等，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴当时，有最小值为， ∴一定在之间， ∴， ∵的最大值为， ∴当时，， 解得或， ∴， ∴； ②∵点，在该二次函数图象上， ∴，，， ∵， ∴，则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：令， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，两点到对称轴直线的距离均为，且在称轴直线的两侧，，两点到直线的距离相等，如图， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. “相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．下图是我们研究三角形相似时常见的一类图形．如图1，在中，为上一点，，又因为是和的公共角，可得． 【初步应用】： （1）如图2，在中，，，垂足为．若，，则的长为________． 【变式练习】： （2）如图3，在中，，，点在上，点在上，且，，求的长． 【操作思考】： （3）如图4，已知直线，点在线段上．请利用无刻度直尺和圆规，在上作一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 【综合拓展】： （4）如图5，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； （2）过点作交于点，先证明得到，，设，表示出、的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； （3）根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； （4）以为边构造等边，与交于点，连接，则，，通过证明，得到，得到点在以为直径的上运动，则，过点作，交的延长线于点，通过解得到，则，通过证明四边形是平行四边形，得到，再利用三角函数的知识求出的最大值，结合即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又， ， ，即， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，（负值舍去）， 的长为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 的长为． 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求： 【小问4详解】 解：以为边构造等边，与交于点，连接， 则，， ， ， ，即， ， ， ， ， 点在以为直径的上运动， ； 过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， 过点作于点， 则， ， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $