精品解析：陕西省西安市莲湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级阶段诊断 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； B．中含有2个未知数，且未知数的最高次数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意； D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故选B． 3. 如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，先证明，可得，再结合角的和差运算可得答案. 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 4. 图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，设开关，，分别用①，②，③表示，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设开关，，分别用①，②，③表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中小灯泡发光的结果有①②、①③、②①、③①，共种， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：． 5. 牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 首先求出扩建后的面积，然后设扩建后的菜地的长和宽都增加了，根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵扩建后的菜地面积是原来面积的 ∴扩建后的菜地面积为， 设扩建后的菜地的长和宽都增加了， 根据题意得，． 故选：A． 6. 如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解决此题的关键．根据矩形的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 7. 如图，在菱形中，．若菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接交于点O，根据菱形的面积公式求出，然后根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接交于点O ∵菱形的面积为， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴． 故选：A． 8. 等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　　） A. 9 B. 27 C. 36 D. 27 或36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分两种情况：若3是等腰三角形的腰长；若3是等腰三角形的底边长，结合一元二次方程的解，根的判别式，即可求解． 【详解】解：若3是等腰三角形的腰长， ∴方程的一个根为3， ∴， 解得：， ∴ ∴ 解得，， ∵ ∴此时围不成三角形，不符合题意，应舍去； 若3是等腰三角形的底边长， ∴方程的两个根相等， ∴， 解得：； 综上所述，k的值为36． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：∵有4条路径，有2条路径上有方糖， ∴小蚂蚁获得方糖的概率是． 故答案为： 10. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据题意，把代入方程中，并求得m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴把代入方程得：， ∴， 故答案为：4． 11. 如图，，若，则_____． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4.5． 12. 若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为___． 【答案】c≤ 【解析】 【分析】直接利用根的判别式判断得出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×c≥0， ∴c≤， 故答案为：c≤． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用. 13. 如图，在矩形中，，E，F分别是上的点，且于点G，连接，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，矩形的性质．理解点G在以为直径的圆上运动是解题关键．根据题意得出，即得出点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，结合勾股定理可求出，又可得出的最小值即为的长，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，如图， ∴， ∴． 由图可知的最小值即为的长， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ． 15. 已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 16. 当x取何值时，代数式与的值相等？ 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得， 17. 如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意作出，进而得到，然后利用平行线分线段成比例即可得到． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程的两个根为，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，代入得出，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意，得． ， ， 解得． 且此时符合题意. 19. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 （1）小林选择交通安全手抄报的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先根据题意列表，然后根据概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵手抄报有三个主题内容， ∴小林选择交通安全手抄报的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 小林 小芳 A B C A B C 共有9种等可能的结果，两人恰好选中同一主题手抄报的结果有3种，则小林和小芳选择同一主题手抄报的概率为． 20. 如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明． 【详解】略 21. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共30个，它们除颜色不同外，其余都相同．小鹏做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在左右． （1）求盒子中白球与黑球的数量； （2）如果要使摸到黑球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个黑球？ 【答案】（1）白球的数量为个，黑球的数量为个 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据频率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入个黑球．根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得白球的数量为（个）， 黑球的数量为（个）． 【小问2详解】 设需要往盒子里再放入个黑球．根据题意可得, ， 解得． 经检验，是方程的根且符合题意． 答：需要再放入个黑球． 22. 随着“十一”黄金周的到来，某一网红打卡地聚满了人．小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元的价格售出了30个．为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调查，售价每降低1元，可多售出3个．如果前两天共获利525元，则第二天每个纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】第二天每个纪念品的销售价格为20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设第二天每个纪念品的销售价格为元，根据“售价每降低1元，可多售出3个”以及“前两天共获利525元”列出一元二次方程并求解，结合生活实际即可获得答案． 【详解】解：设第二天每个纪念品的销售价格为元，根据题意， 可得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：第二天每个纪念品的销售价格为20元． 23. 如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，，求出，进而可得． 【详解】23．解：如图，过点作，交于点，则． 是的中点， ， ． ， ， ， ． 24. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 由勾股定理可知，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ． 25. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 26. 在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【解析】 【分析】(1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段诊断 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 7. 如图，在菱形中，．若菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　　） A. 9 B. 27 C. 36 D. 27 或36 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为______． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为________． 11. 如图，，若，则_____． 12. 若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为___． 13. 如图，在矩形中，，E，F分别是上的点，且于点G，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 15. 已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 16. 当x取何值时，代数式与的值相等？ 17. 如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 18. 已知关于的一元二次方程的两个根为，若，求的值． 19. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 （1）小林选择交通安全手抄报的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 20. 如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 21. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共30个，它们除颜色不同外，其余都相同．小鹏做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在左右． （1）求盒子中白球与黑球的数量； （2）如果要使摸到黑球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个黑球？ 22. 随着“十一”黄金周的到来，某一网红打卡地聚满了人．小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元的价格售出了30个．为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调查，售价每降低1元，可多售出3个．如果前两天共获利525元，则第二天每个纪念品的销售价格为多少元？ 23. 如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 24. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 25. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 26. 在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $