22.3 特殊的平行四边形同步练习 - 2024-2025学年 沪教版（上海）八年级数学第二学期

22.3 特殊的平行四边形 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（    ） A． B． C．9 D．12 4．下面说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   ) A．5cm B．6cm C．cm D．cm； 7．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　） A． B． C．2 D．1 8．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（    ）    A．6 B．5 C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 10．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是 ． 12．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是 （写一个即可）． 13．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 14．如图，一张长，宽的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，则折痕的长为 ．    15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ． 16．已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为 ． 18．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 三、解答题 19．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数．    21．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连结，. （1）求证：四边形是菱形. （2）若，，，求的值. 22．如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图． （1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上； （2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上． 23．已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF． （1）求证：EM＝FM； （2）若DE：AE＝2：1，设S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代数式表示）． 24．在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF=45°． （1）求证：BE=BF． （2）设AE=k•AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2． ①当k=时，求证：S1=2S2； ②当S2=2S1时，求k的值． 25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为ts．    (1)当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由； (2)当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______． 26．如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H． （1）求证：四边形是菱形． （2）当时， ①求的长． ②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________． 27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0） (1)当t＝6时，点M的坐标是______； (2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）； (3)是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由． 28．正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 答案 一、单选题 1．B 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答． 【解析】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 故选：B． 2．B 【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可． 【解析】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选B． 3．B 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可． 【解析】 如图：AB=6，∠AOB=60°， ∵四边形是矩形，AC，BD是对角线， ∴OA=OB=OC=OD=BD=AC， 在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°， ∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12， ∴BC=． 故选：B． 4．C 【分析】根据菱形，矩形，正方形的性质和判定定理，逐个进行判断即可． 【解析】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，故C正确，符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 5．D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 6．D 【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm， ∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°， ∴BC==5（cm）， ∵S△ABC=AE×BC=BO×AC 故5AE=24， 解得：AE=（cm）. 故选D． 7．B 【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可. 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°， ∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x， 在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2， 即x2＝22+(4﹣x)2， 解得：x＝， 即CE的长为， DE＝4﹣＝， 所以△DCE的面积＝××2＝， 故选B． 8．D 【分析】设点，根据正方形的性质可得，再代入求得，再根据，，列方程求解即可． 【解析】解：∵点B、C分别在两条直线和上， 设点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴把代入得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9．D 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解． 【解析】连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB＝BD，∠ABD＝60° ∵DC∥AB ∴∠CDB＝∠ABD＝60° ∴∠A＝∠CDB ∵∠EBF＝60° ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF ∴∠ABE＝∠DBF ∵ ∴△ABE≌△DBF（AAS） ∴AE＝DF ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB 故选：D． 10．C 【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误． 【解析】解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC， ∵BE＝BC， ∴AB＝BE， ∵BG⊥AE， ∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°， 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°， ∵∠AGH＝90°， ∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°， ∴∠ABH＝∠DCF， 在△ABH和△DCF中， ， ∴△ABH≌△DCF（ASA）， ∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°， ∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF， ∴67.5°＝22.5°+∠AEF， ∴∠AEF＝45°，故①②正确； ∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴DF＝DE， ∵AH＝DF， ∴AH＝DE，故③正确； 如图，连接HE， ∵BH是AE垂直平分线， ∴AG＝EG， ∴S△AGH＝S△HEG， ∵AH＝HE， ∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°， ∴∠DHE＝45°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°， ∴EH＝ED， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∵EF不垂直DH， ∴FH≠FD， ∴S△EFH≠S△EFD， ∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误， ∴正确的是①②③． 故选：C 二、填空题 11．24 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【解析】如图所示， ∵菱形的边长为5， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 12．AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可） 【分析】根据正方形的判定定理进行添加即可． 【解析】从边上添加：有AB=BC，BC=CD，CD=DA，DA=AB（有一组领边相等的矩形为正方形） 从对角线上添加：有AC⊥BD（对角线互相垂直的矩形为正方形）． 故答案为：AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可） 13．22.5 ° 【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数． 【解析】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°， 又∵CE=AC， ∴∠E==22.5°． 故答案为：22.5°． 14． 【分析】由题意可知，连接，利用翻折的性质可知，，，进而可得，则，设，则，在中由勾股定理可得，列出方程即可求得，在中由勾股定理可得，进而可求得折痕的长度． 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， 连接，    由翻折可知，，，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中由勾股定理可得：， 即：，解得：，即：， ∴在中由勾股定理可得：， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案． 【解析】解：连接OP，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB，AC==10， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5， ∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12， ∴PE+PF=； 故答案为：． 16．6 【分析】过点作，垂足为，交于点H，证明，得出是等腰直角三角形，进而得出四边形是平行四边形，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作，垂足为，交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴ ∴,， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：6． 17． 【分析】首先根据正方形的性质得到对角线，结合题意推出，并由正方形的性质推出∠BPQ＝∠BQP，得到，从而得到，即可得出结论． 【解析】解：∵四边形OABC是边长为1的正方形， ∴根据勾股定理，得对角线， ∵OQ＝OC， ∴，∠OCQ＝∠OQC， ∵OC//AB， ∴∠OCQ＝∠BPQ， ∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等）， ∴∠BPQ＝∠BQP， ∴， ∴， 又 ∵OA＝1， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 18． 2 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴（） ∴，， ∴点垂直平分，点垂直平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 19．（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ． ∴ ， ， ． 20．（1）解：∵， ∴ 又∵， ∴△AEO≌△DFO ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴四边形是矩形 （2）解：∵ ，是矩形 ∴， ∴在中， ∴在中， ∴在中， 21．（1）∵在平行四边形ABCD中，平分， ∴∠BCE=∠DCE，∠BCE=∠DEC， ∴∠DCE=∠DEC， ∴DE=DC， ∵平分， ∴∠ADF=∠CDF，∠ADF=∠DFC， ∴∠CDF =∠DFC， ∴CF=DC=DE， ∵ED∥FC， ∴四边形是菱形； （2）作PH⊥BC于点H， ∵∠BAD=120°， ∴∠PCH=60°， ∵四边形是菱形，AB=2， ∴CE=2， ∴CP=1， ∴CH=，PH=， ∵BC=3， ∴BH=， ∴. 22．解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求作的矩形； （2）如图2，四边形EFGH即为所求作的菱形； ． 23．（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴， 又∵AE＝CF， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴EM＝FM； （2）∵DE：AE＝2：1， ∴设，，， ∴， ∴， 同理可求得：， ∴， ∴． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， 在Rt△DEF中，∠DEF=45°， ∴∠DFE=90°-∠DEF=45°=∠DEF， ∴DE=DF， ∴AD- DE=CD -DF， ∴AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴BE=BF； （2）解：设AD=x，则AB=AD=x， ∵AE=k•AD， ∴AE=k x， ∴DE=DF=AD- AE=x -kx=（1-k）x， ∴S1=AE•AB=k x•x=kx2， S2=DE•DF= [（1-k）x]2=（1-k）2x2， ①当k=时，S1=kx2=x2， S2=（1-k）2x2=（1-）2x2=x2， ∴S1=2S2； ②当S2=2S1时，2×kx2=（1-k）2x2， ∴k=2+（由于0＜k＜1，所以，舍去）或k=2-， 即k=2-． 25．（1）解：由题意得，，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得，， 故当时，四边形为矩形； （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即时，四边形为菱形， 解得，， 故当时，四边形为菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：， 故答案为：15；． 26．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵E、F分别为BC、AD中点， ∴AF=AD，BE=BC， ∴AF=BE， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AD=2AB，AD=2AF， ∴AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①连接AE交BF于点O， ∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE， ∴∠AOB=90°， 在Rt△AOB中，OA==3, ∴AE=2OA=6， ∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24， ∵E、F分别是BC、AD中点， ∴BE=EC，AF=FD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等， ∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24， ∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48， ∵CG⊥AB， ∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°， ∴CG=， ∵AD=BC=2AB=10， ∴BG=， ∴AG=AB -BG=5-=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5，AB∥CD， ∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°， ∵F是AD中点， ∴AF=DF， 在△AFG和△DFH中， ， ∴△AFG≌△DFH（ASA）， ∴AG=DH=， ∴CH=CD+DH=5+=， 在Rt△GCH中，GH==12； ②过F作FK⊥AB交BA延长线于K， ∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24， ∴FK=， ∴S△BGF=BG·FK==， S△BGC=BG·CG==， ∵S2=S△BGC -S△BGP=-S△BGP， S1=S△BGF -S△BGP=-S△BGP， ∴S2-S1=-=． 27．（1）如图1中， ，，， ， 故答案为：（3，4）； （2）如图1中，作于，轴于． ∵， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． （3）存在． 如图2中，作于，轴于． 理由：由题意当时， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 又∵由（2）得， 即：，解得：． ． （4）①如图3中，当时，以为对角线可得菱形，此时点在轴上．作BE⊥AC交于点E， 设，， ∵点M是AB的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，则有， ①②联立，解得：， ， 点的纵坐标为3． ②如图4中，当时，以为对角线可得菱形．此时点的纵坐标为8． ③， 不存在以为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点的纵坐标为3或8． 28．（1）过点作于点，于点，    ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．    ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ∵S∆BNM= BM ∙NE，，且， ， ∵∠AOB=900， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 学科网（北京）股份有限公司 $$