精品解析：福建省福州仓山区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024-2025学年第一学期校内期中质量检查八年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 若一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件即可判断，即：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【详解】A： ，故A错误，不符合题意 B：，故A错误，不符合题意 C：，故C正确，符合题意 D：，故D错误，不符合题意 故选C 【点睛】本题考查构成三角形的条件，属于基础题． 3. 在中，，，若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形性质，根据30度所对直角边等于斜边的一半求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 故选：A． 4. 若某件商品降价后的售价是元，则这件商品降价前的售价为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，直接利用售价除以原价，进而得出答案．正确理解原件与降价前关系是解题的关键． 【详解】解：∵某件商品降价后的售价是元， ∴这件商品降价前的售价为：（元）． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的逆用、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则．根据相关运算法则计算，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，运算错误，不符合题意； B、，运算正确，符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 已知，若，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找准对应边与对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴，，，， 故选：C． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及三角形周长的计算．通过运用垂直平分线的性质，得到，将三角形周长转化为线段的和即可得解． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴, 又∵，， ∴， 故选择：B 8. 在中，，和的平分线相交于点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，角平分线定义的应用．先求出的度数，根据平分线的定义得出，，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解∶， ， ∵、分别是、的平分线，则平分， ，，， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 若等腰三角形的一个角的度数为，则等腰三角形的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．根据等腰三角形的一个角的度数为，分为顶角和底角两种情况求解，即可解题． 【详解】解：当等腰三角形的底角是时，等腰三角形的底角的度数是， 当等腰三角形的顶角是时，等腰三角形的底角的度数是， 故选：D． 10. 如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，设，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的性质得，根据推出，继而得到，即，再根据，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：设，， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，图中的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，利用三角形的外角性质列出等式解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 正十二边形每个内角的度数为 ． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：=30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为150°． 13. 如图，两艘轮船由海平面上地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶海里到达，两地，则，两地相距_____海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方向角，等边三角形的判定和性质，连接，由，海里可得为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意可得，，海里， ∴为等边三角形， ∴海里， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，若，两点关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的特征，以及代数式求值，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，建立等式求得、的值，再将、的值代入到中求解，即可解题． 【详解】解：，两点关于轴对称， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 15. 已知，，则式子的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，以及代数式求值，根据等式的性质得到，将其整理为求解，即可解题． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点，分别在，上，且，当的值最小时，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形三边关系定理，两点之间线段最短，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 在上截取，连接，证明，得，，取的中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得，继而得到，当点与点重合，即点、、三点共线时取“”，此时取得最小值，最小值为的长，此时，可得结论． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接并延长至点，使，连接， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合，即点、、三点共线时取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 此时， ∴， ∴当的值最小时，的长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方；根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解： 18. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．由平行线的性质推证角相等，利用证明，进而运用全等的性质，得到． 【详解】略 19. 如图，在中，，于点，平分，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知识点，由，得，结合题意可得，利用三角形外角的性质可得，进而结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴． 20. 已知，，，，，为正整数，求证：． 【答案】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即． 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用．先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理即可． 【详解】略 21. 如图，在中，，，分别是，上的点，且．延长至点使得，延长至点使得，求证：，，三点共线． 【答案】 证明：连接， ，延长至点使得， ， ， ， ， 连接， ．延长至点使得， 同理可证， ， ，都在右侧， ，，三点共线． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，连接，，证明，，利用全等三角形性质即可证明，，三点共线． 【详解】略 22. 如图，在中，交于点． （1）尺规作图：在射线上求作一点，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若，求证：． 【答案】（1）如图，点即为所作； （2） 证明：过点作于点， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）延长至点，作的角平分线交射线于点即可， （2）过点作于点，根据角平分线的性质得，证明得，再证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：如图，延长至点，作的角平分线交射线于点， ∴，， ∴， 则点即为所作； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的定义及邻补角的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握基本作图及全等三角形的判定和性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） （1）求证：是等边三角形； （2）如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点C作轴，交于点D， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】对于（1），过点C作轴，交于点D，根据题意可知，再根据勾股定理求出，然后求出，可得结论； 对于（2），作，可知四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作，交于点F，过点C作于点G，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵轴， ∴轴. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线将两条线段的差转化为一条线段是解题的关键． 24. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】[解决问题]任务1：；任务2：2；[拓展应用]12 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． [解决问题]任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； [拓展应用]点是的重心，类比任务1，任务2可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：[解决问题]任务1：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； [拓展应用] 点是的重心，类比任务1，任务2可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 25. 如图，在等边中，，，分别是，，上的点，连接，，．且是等边三角形． （1）求证：； （2）如备用图，连接，，相交于点，连接，若． ①求的度数； ②判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①； ②， 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分，故， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明即可解答． （2）①根据是等边三角形，得出，证明垂直平分线段，得出，证明是等边三角形，得出，证出是等边三角形，得出，证明，得到，结合，即可求解． ②根据证出，根据，得出，证明，证出垂直平分，结合，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ②略 【点睛】该题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期校内期中质量检查八年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 3. 在中，，，若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 12 4. 若某件商品降价后的售价是元，则这件商品降价前的售价为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 8. 在中，，和的平分线相交于点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若等腰三角形的一个角的度数为，则等腰三角形的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，图中的值为_____． 12. 正十二边形每个内角的度数为 ． 13. 如图，两艘轮船由海平面上地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶海里到达，两地，则，两地相距_____海里． 14. 在平面直角坐标系中，若，两点关于轴对称，则的值为_____． 15. 已知，，则式子的值为_____． 16. 如图，在中，，点，分别在，上，且，当的值最小时，的长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，，，，求证：． 19. 如图，在中，，于点，平分，若，求的值． 20. 已知，，，，，为正整数，求证：． 21. 如图，在中，，，分别是，上的点，且．延长至点使得，延长至点使得，求证：，，三点共线． 22. 如图，在中，交于点． （1）尺规作图：在射线上求作一点，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） （1）求证：是等边三角形； （2）如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 24. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 25. 如图，在等边中，，，分别是，，上的点，连接，，．且是等边三角形． （1）求证：； （2）如备用图，连接，，相交于点，连接，若． ①求的度数； ②判断和的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $