精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2026届高二上学期期末 一､单选题 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标特征求解. 【详解】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数， 所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为， 故选：C 2. 已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去）， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3. 已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或､相交，B错； 对于C选项，若，，，则或､相交，C错； 对于D选项，若，，则，因为，则，D对. 故选：D. 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 5. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，求得，，根据线线角的向量公式即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设， 则，，，，所以，，，所以. 设直线与所成角的大小为，则. 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连，设轴，利用余弦定理结合椭圆的定义可得，再利用余弦定理可得，故可求离心率. 【详解】法一：连接，设轴，由于， ， 所以，故，所以四边形为菱形. 由于，可设，，， ，，则在中有， 在中有， 又，所以， 整理得到， 又，即, 所以，解得，故， 在中有,则，故， 所以，故，故； 法二：由几何关系： 将其分为6个全等的小菱形， 设：，代入椭圆方程 消去得：， 即：. 故选：A. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案 【详解】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示： 则，， 则截面的面积 故选 【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题． 8. 如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（ ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解． 【详解】如图，设两球的球心分别为， 设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H， 连接，连接交于点K， ∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4， ， ，， ，， ， 又， ∴，又， ∴，∴， ∴， ∴， ∴该椭圆的离心率为． 故选：C． 二､多选题 9. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AE垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF与底面ABCD的夹角余弦值为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，再逐一分析计算各个选项判断作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长， 则， 对于A，，有，则，A正确； 对于B，，令平面的一个法向量为，则， 令得：，而，则，即，平面，所以平面，B正确； 对于C，平面的一个法向量，平面AEF与底面ABCD的夹角为， 则，C正确； 对于D，，则点C到平面距离， 点G到平面距离，D不正确. 故选：ABC 10. 如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，AM与BC的夹角为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据体积公式即可求解A，根据平面中两点距离最小即可求解B，根据线线垂直可得线面垂直，进而求解C，根据数量积的运算律即可求解D. 【详解】对于A,连接相交于，故 ，，A错误； 对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折， 使其与共面，得到菱形，则，B正确； 对于C，由且,平面, 故平面，平面，， 若，平面,则平面， 故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确； 对于D，，， 由于平面，故平面， 平面，故 （与的夹角为钝角），D错误． 故选：BC. 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当时， C. D. 当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出即可求解离心率判断A，根据椭圆定义及勾股定理求解判断B，设点，求出点的横坐标及点的纵坐标，利用距离公式计算化简判断C，由的斜率关系，利用两点斜率公式及点在椭圆上列式求解点的坐标，然后利用两点距离公式求解判断D. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 三､填空题 12. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解． 【详解】根据题意，若，则，又，， 所以，解得，所以. 故答案为：. 13. 如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到． 【详解】解：设平面与平面的夹角的度数为， 由题意得，且 ，即 ， ， 解得， 平面与平面的夹角的余弦值为． 故答案为：． 14. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意可设直线的方程为，将其与抛物线方程联立可求出，结合图形及抛物线的焦半径公式可得，再利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为， 抛物线的焦点，可设直线的方程为，设，， 由，得，所以， 又，，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题. 四､解答题 15. 如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 （1）求证：，，为共面向量； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为M，N，P分别是，，的中点， 故， 所以，，为共面向量； （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理表达出，得到，，为共面向量； （2）证明出线面垂直，得到平面的法向量为，求出，并求出，，利用线面角的正弦求解公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四面体的每条棱长都相等，设为2， 连接，因为均为等边三角形， 又N是的中点，所以⊥，⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 所以平面的法向量为， 其中，， 故 ， 又 ， 故， ， 故， 设与平面所成角的大小为， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 【答案】（1） 方法一： 证明：连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 方法二： 证明：如图所示为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设. 连接，交于，连接． 依题意得．,,， 因为底面是正方形，所以是此正方形的中心， 故点的坐标为且．，， 所以，这表明． 而平面且平面，所以平面． （2） 方法一：证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 方法二：证明：依题意得，， 又，故， 所以， 由已知，且，面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】法一：（1）连接，交于，连接要证明平面，只需证明直线平行平面内的直线； （2）要证明平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线、即可； （3）必须说明是二面角的平面角，然后求二面角的大小． 法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设． （1）连接，交于，连接，求出，即可证明平面； （2）证明，，即可证明平面； （3）求出，利用，求二面角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：解：由（2）知，，又已知，故是二面角的平面角． 由（2）知，，， 设正方形的边长为， 则，，， ，， 在中，， 在中，，所以， 所以，二面角的大小为． 方法二：解：设点的坐标为，，则， 从而，，， 所以， 由条件知，，即，解得， 所以点的坐标为，且，， 所以 即，故是二面角的平面角． 因为， 且，， 所以 所以 所以，二面角的大小为. 17. 已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． （1）求曲线的方程； （2）求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程； （2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据，可得解. 【小问1详解】 由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大， 可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 当直线过点且斜率为，即直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为； 当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 显然与抛物线相切，直线与曲线有一个公共点． 当过的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，即，解得， 此时直线的方程为． 综上所述，满足条件的直线的方程为或或. 18. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，分别是棱的中点，，，三棱锥的体积为. （1）平面与平面的交线为，证明： （2）求直线与直线所成角的大小； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为分别为中点，所以， 平面，平面，所以平面. 平面，平面平面，所以. 又，所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求两直线所成的角. （3）用空间向量求平面与平面夹角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以， 以为原点，，所在直线分别为，轴，过点作平面的垂线向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设向量与的夹角为， 所以， 因为直线与直线所成角的取值范围是， 所以直线与直线所成角的大小为. 【小问3详解】 平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为， 则 所以，取， 故平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二上学期期末 一､单选题 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为 A. B. C. D. 8. 如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（ ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义） A. B. C. D. 二､多选题 9. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AE垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF与底面ABCD的夹角余弦值为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 10. 如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，AM与BC的夹角为 D. 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当时， C. D. 当点在第三象限时，若，则 三､填空题 12. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______. 13. 如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为________． 14. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_____． 四､解答题 15. 如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 （1）求证：，，为共面向量； （2）求与平面所成角的正弦值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 17. 已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． （1）求曲线的方程； （2）求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，分别是棱的中点，，，三棱锥的体积为. （1）平面与平面的交线为，证明： （2）求直线与直线所成角的大小； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $