精品解析：江苏省常州市溧阳市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度溧阳市高一期末质量监测 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 6. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道：图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A. 8096 B. 4048 C. 2024 D. 1012 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 在区间上有644个零点 D. 若在上是增函数，则的最大值为 11. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 13. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知正实数满足方程，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知集合. （1）求； （2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出值； （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围． 条件①：当时，函数取得最小值； 条件②：为函数的一个零点． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时． （1）求的解析式； （2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度溧阳市高一期末质量监测 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集定义计算． 【详解】由题意， 故选：C． 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定知识即可求解. 【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】用诱导公式结合正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，所以或，， 即或， 因此题中应是必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解. 【详解】因， 由在上单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 综上所述：. 故选：D. 5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】，设 ， ，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A. 6. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 7. 已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由得：的图象关于点对称； ； 又在上连续不断，且在上单调递增， 所以在上单调递增. . 故选：B 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A. 8096 B. 4048 C. 2024 D. 1012 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 则的对称中心为，所以， 设 ， ， 故选B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 在区间上有644个零点 D. 若在上是增函数，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由平移变换法则首先得即可判断A；对于B，直接代入检验即可；对于C，得是函数零点，令，看关于的不等式的整数解的个数即可；对于D，由复合函数单调性举反例即可判断. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应解析式为， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，令，得，即， 令，解得， 所以在区间上有644个零点，故C正确； 对于D，首先，取，则当时，有， 由复合函数单调性可知此时也单调递增，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而，结合图形判断单调性，依次判断选项即可. 【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图， 由正方形的滚动轨迹知， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， …… 所以，即函数是以4为周期的周期函数. 所以，AB正确； , , ∴， 与单调性一致，函数在内单调递增，则函数在上单调递增，D正确. 故ABD正确，∴说法错误的为C. 故选：C. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 13. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知正实数满足方程，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过构造函数，通过判断其单调性得到，是解决本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）20; （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解. （2）利用同角关系计算即得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 16. 已知集合. （1）求； （2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）分别解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合，再求即可； （2）解一元二次不等式求出集合，再根据，借助数轴可解出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为即， 所以，所以； 由，可得或， 所以或，进而可得， 所以或，. 【小问2详解】 解：因为， 所以，所以， 所以； 又或， 若，则，所以， 所以实数的取值范围是 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出的值； （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围． 条件①：当时，函数取得最小值； 条件②：为函数的一个零点． 【答案】（1）2 （2）无论是选条件①还是选条件②， （3） 【解析】 分析】（1）由对称性可知周期，结合即可求解. （2）若选条件①，则，结合以及即可求解. 若选条件②,则可以推出条件①，由此即可进一步求解. （3）通过数形结合即可求解. 【小问1详解】 由对称性可知函数的周期满足，解得. 【小问2详解】 若选条件①：当时，函数取得最小值， 则，解得，又， 所以只能，由图可知，解得， 所以此时函数的解析式为； 若选条件②：为函数的一个零点， 由图可知，则当时，函数取得最小值， 这又回到了条件①，由以上可知此时同样有， 综上所述，无论是选条件①还是选条件②，函数的解析式均为. 【小问3详解】 由题意结合题图可知，在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点， 则该零点只能是， 所以，即实数的取值范围为. 18. 已知是定义在上的奇函数，当时． （1）求的解析式； （2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解；在上的单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可； （2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性； （3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可. 【小问1详解】 依题是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故，即， 所以在上单调递减， 根据奇函数的性质可知在上的单调递减. 【小问3详解】 因为， 化为， 即， 根据在上的单调递减， 则，在时恒成立， 即恒成立， 故， 解得， 故实数k的取值范围为. 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 【答案】（1）唯一交换，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程解的情况判断即可； （2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值； （3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值. 【小问1详解】 与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于唯一交换. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，成立， 即对任意的，； 因为为函数，且，故， 故， 即， 所以， 综上所述，. 【小问3详解】 当时，， 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又，， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以， 综上所述，的取值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大. “新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$