精品解析：广东省河源市河源中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

河源中学2024-2025学年第一学期高二年级期末教学质量检测 数学试卷 命题人：黄禹 审题人：黎青燕 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须写在答题卡上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。 一、单项选择题。本题共有8题，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，本题共40分每小题5分。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】因为集合， , 所以. 故选：D． 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法和复数的分类即可得到方程，解出即可. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故选：B. 3. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而，结合两角和的正切关系计算即可求解. 【详解】由，得， 等式两边同时除以，得， 即，又，所以， 所以. 故选：A 5. 已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，是上的增函数， 而由函数是上的增函数，可得 ，即得，推不出. 则“”是“函数是上的增函数”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用等差数列的前n项和求出，再应用裂项相消计算求和即可. 【详解】因为，则， 所以数列的前项和为. 故选：B. 7. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到面的距离可以由点与平面上一个点的向量在这个平面的法向量上的投影长得到，所以本题需要求出平面的其中一个法向量，平面的法向量可以通过平面内的向量和平行于平面的向量来求得. 8. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列的通项公式，从而将不等式转化为，利用数列的单调性求最值即可得实数的范围，从而得最小值. 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题。本题共有3题，每小题有四个选项，其中只有二个或三个选项是正确的，部分选对得部分分，本题共18分，每小题6分 9. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当轴时，四边形的面积为 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 的外接圆恒过两个定点 【答案】AD 【解析】 【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D． 【详解】A选项，由题意得，，则． 设，所以，故A正确； B选项，由于满足条件，但此时，故B错误； C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得的方程为， 所以，故C错误； D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即， 由，解得或，故该圆恒过和，故D正确． 故选：AD． 10. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 存在使面 C. 存在两个使与成角 D. 任意满足 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，求得，选项A，通过计算，即可求解；选项B，易得平面的一个法向量为，利用线面位置关系判断的向量法，即可求解；选项C，求得，，利用，即可求解；选项D，利用，求得，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 因为， 又为的中点，则， 设，又， 由，得到， 对于选项A，因为， 又，所以，故选项A错误， 对于选项B，易知平面的一个法向量为，由选项A知， 由，得到，解得， 所以当为中点时，面，所以选项B正确， 对于选项C，因为，， 则由， 整理得到，解得或（舍去）， 即存在1个使与成角，所以选项C错误； 对于选项D，因为， 得， 当时，等号成立，所以选项D正确， 故选：BD. 11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题。本题共有3题，共15分，每小题5分。 12. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 13. 已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______. 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 14. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知直线过圆心，则，利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则圆心为，半径为2， 由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心， 所以且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题。本题共有5题，共77分。 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【小问1详解】 ∵， ∴． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ∵， ∴． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． （1）求证：为等边三角形； （2）如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 【答案】（1） 因为，，成等差数列，则， 又因为，由余弦定理可得， 即，解得， 所以为等边三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，再结合余弦定理分析证明； （2）设，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，即， 由正弦定理可得. 17. 已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理以及线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理求解即可； （Ⅱ）利用等体积法求解即可. 【详解】解：（Ⅰ）依题意得，在中，，， 由余弦定理得，即 ，，即 在图2中，，， ， 又，平面，平面 又平面，平面. （Ⅱ）连接，由（Ⅰ）可知， 在中，， 在中，， 在中，， . 又 设点到平面的距离为 由，可知. 则.点到平面的距离为. 【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题. 18. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； 【小问3详解】 设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源中学2024-2025学年第一学期高二年级期末教学质量检测 数学试卷 命题人：黄禹 审题人：黎青燕 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须写在答题卡上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。 一、单项选择题。本题共有8题，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，本题共40分每小题5分。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、多项选择题。本题共有3题，每小题有四个选项，其中只有二个或三个选项是正确的，部分选对得部分分，本题共18分，每小题6分 9. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当轴时，四边形的面积为 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 的外接圆恒过两个定点 10. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 存在使面 C. 存在两个使与成角 D. 任意满足 11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 三、填空题。本题共有3题，共15分，每小题5分。 12. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 13. 已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______. 14. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 四、解答题。本题共有5题，共77分。 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． （1）求证：为等边三角形； （2）如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 17. 已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $