精品解析：河南省南阳市南召县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋期九年级期中巩固练习 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据题意列不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：A ． 2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 5. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴，根据数轴可知，，计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，，则， ∵中，， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6. 若，则a和b的值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法，根据二次根式的运算法则计算即可得到结论． 【详解】解：A．当，时，，故选项不符合题意； B．当，时，，故选项不符合题意； C．当，时，，故选项不符合题意； D．当，时，，故选项符合题意． 故选：D． 7. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现3的值在2.29和3.76之间，再看对应的x的值即可得． 【详解】由表可以看出,当x取1.3与1.4之间的某个数时,y=3,即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1.3<x<1.4． 故选C． 【点睛】考查了一元二次方程的近似解，看懂图表是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了两个图形的位似知识，当位似的两个图形在原点的同侧时，位似比为正；否则为负，掌握此点是关键． 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．根据四边形是平行四边形可知、，根据为的中点，，可得，根据可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律． 先判断出第2024个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解． 【详解】把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，…，第n列有n个点， 由下往上，第n列的第m个点的坐标为，列共有个点， ， ∴第2024个点一定在第64列，由下到上是第8个点， ∴第2024个点的坐标是， 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 13. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，把原方程左边因式分解得到，则或，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 则或， 解得， 故答案为：， 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 【答案】4.1 【解析】 【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过A作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过A作于， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 即的最小值为, ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 三、解答题（10+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除法，并化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用公式法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】用公式法，一元二次方程求根公式解方程即可. 【详解】解：a=2,b=-1,c=-2 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴ 【点睛】本题考查解一元二次方程的公式法，熟练掌握解题步骤是做题关键. 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 【答案】（1）降次；完全平方公式 （2）等式的基本性质 （3）三 （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； 【小问2详解】 解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； 【小问4详解】 解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 19. 如图，在中，，分别是，上的点，∽，的角平分线交于点，交于点． （1）求证：∽； （2）若∶∶，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据∽，得，为的角平分线，得，可得∽； （2）根据∽，得，在∽时，∶∶∶，根据比例性质可得． 【小问1详解】 解： ∽， ， 又为的角平分线， ， 在与中， ∽； 【小问2详解】 ∽， ， 在∽时， ∶∶∶， 设为，则， 即， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解本题关键掌握相似三角形的判定和性质． 20. 关于x的一元二次方程2x2﹣mx+n＝0． （1）当m﹣n＝4时，请判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，当n＝2时，求此时方程的根． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) x1＝x2＝1或x1＝x2＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式得到△=（-m）2-4×2×n，再把n=m-4代入得到△=（m-4）2+16，从而得到△＞0，然后判断方程根的情况； （2）根据判别式的意义得△=（-m）2-4×2×n=0，代入n=2，于是可求出m=4或m=-4，当m=4时，方程变形为2x2-4x+2=0，当m=-4时，方程变形为2x2+4x+2=0，然后分别解方程即可． 【详解】解：（1）△＝（﹣m）2﹣4×2×n， ∵m﹣n＝4， ∴n＝m﹣4， ∴△＝m2﹣8（m﹣4） ＝m2﹣8m+32 ＝（m﹣4）2+16， ∵（m﹣4）2≥0， ∴△＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）根据题意得△＝（﹣m）2﹣4×2×n＝0， 当n＝2时，m2﹣16＝0，解得m＝4或m＝﹣4， 当m＝4时，方程变形为2x2﹣4x+2＝0，解得x1＝x2＝1； 当m＝﹣4时，方程变形为2x2+4x+2＝0，解得x1＝x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 21. 为了推动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过人，人均费用为元；如果超过人，每增加人，人均费用降低元，但人均费用不得低于元． （1）当旅游人数为人时，人均费用为元，求的取值范围； （2）若某团队其支付旅游费用元，求该团队有多少人． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】（1）直接表示出人均费用，进而得出答案； （2）根据题意可得人数超过了人，等量关系为：（人均旅游费用超过人的人数）人数，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于元的旅游方案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当人均费用为元时，人数一定超过人 ∴， 解得：， ∴当时，人均费用为元； 【小问2详解】 解：设该团队这次旅游共有人． ∵， ∴人数一定超过人， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，故舍去． 答：该团队有人． 【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，一元二次方程与实际问题，读懂题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： （1）如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； （2）如图②，在上找一点，使； （3）如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 【答案】（1）2 （2） 用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： （3） 用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图． （1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案； （2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求； （3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为． 【小问1详解】 解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”． 【定义感知】 （1）如图1，在中，，AB=BD．求证：AD是的“华丽分割线”． 【问题解决】 （2）①如图2，在中，，AD是的“华丽分割线”，且是等腰三角形，则的度数是________； ②如图3，在中，AB=2，AC=，AD是 的“华丽分割线”，且是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长． 【答案】（1） 证明：∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∵∠B=40°， ∴∠ADB==70°， ∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC， 又∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴AD是△ABC的“华丽分割线”． （2）①21°或者42°；②AD= 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可； （2）①分两种情况讨论，利用三角形内角和解答即可； ②根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°， ∴∠ADC＝180°−∠ADB＝113°． ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝113°． 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°； 当AD＝BD时， ∴∠ADC＝92°， ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝92°， 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°； 综上分析可知，∠C的度数为21°或42°； 故答案为：21°或42°； ②∵AD是的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形， ∴△ADC∽△BAC， ∴， 即，解得：CD=1， ∴， 即，解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级期中巩固练习 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 若，则a和b的值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 8. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：__________． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 13. 方程的解是______． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 三、解答题（10+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 用公式法解方程： 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 19. 如图，在中，，分别是，上的点，∽，的角平分线交于点，交于点． （1）求证：∽； （2）若∶∶，求的值． 20. 关于x的一元二次方程2x2﹣mx+n＝0． （1）当m﹣n＝4时，请判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，当n＝2时，求此时方程的根． 21. 为了推动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过人，人均费用为元；如果超过人，每增加人，人均费用降低元，但人均费用不得低于元． （1）当旅游人数为人时，人均费用为元，求的取值范围； （2）若某团队其支付旅游费用元，求该团队有多少人． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： （1）如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； （2）如图②，在上找一点，使； （3）如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 23. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”． 【定义感知】 （1）如图1，在中，，AB=BD．求证：AD是的“华丽分割线”． 【问题解决】 （2）①如图2，在中，，AD是的“华丽分割线”，且是等腰三角形，则的度数是________； ②如图3，在中，AB=2，AC=，AD是 的“华丽分割线”，且是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $