精品解析：东北三省卓越联盟2025届高三第一次模拟检测数学试题

东北三省卓越联盟·高三年级2025年1月第一次模拟检测 数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点 的直线交双曲线 于 、 两点.若 的中点坐标为，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 二、多项选择题（每题6分，部分选对给部分分，有选错没有分，共18分） 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若 ，则 . 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6个零点之和是6 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________. 13. 已知数列前 项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 __________. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 如图，已知 的半径是1，点 在直径 的延长线上，，点 是 上半圆上的动点，以 为边作等边三角形 ，且点 与圆心分别在 的两侧. （1）若，试将四边形的面积 表示成 的函数. （2）求四边形的面积的最大值. 16. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为 — . 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合 与 的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户中随机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 17. 如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，. （1）证明：； （2）在棱上是否存在点 ，使得二面角为，若存在，求出点 位置，若不存在，请说明理由. 18. 已知抛物线的准线与椭圆 相交所得线段长为. （1）求抛物线 的方程； （2）设圆 过，且圆心 在抛物线 上，是圆 在 轴上截得的弦.当 在抛物线 上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线 于 、、、 ，求四边形的面积最小值. 19. 已知函数． （1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有唯一零点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北三省卓越联盟·高三年级2025年1月第一次模拟检测 数学试卷 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集定义运算可得结果. 【详解】易知， 解不等式可得， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知复数 满足，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数 ，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为复数 满足，则， 因此，复数 的虚部为. 故选：A. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】. 而，解得或 ， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A. 【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果. 【详解】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 故选：D. 6. 等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为 ，则，根据已知条件求出 、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得. 【详解】设等比数列的公比为 ，则，则， 所以，所以，因为，可得， 所以， 所以， 所以，， 即数列是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以， 所以， 因此. 故选：B. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点 的直线交双曲线 于 、 两点.若 的中点坐标为，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意， 因为线段 的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线 的标准方程为. 故选：D. 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 【答案】A 【解析】 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 二、多项选择题（每题6分，部分选对给部分分，有选错没有分，共18分） 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若，则 . 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间直线和平面平行、垂直的判定与性质分别进行判断即可． 【详解】对于A：因为，可知在平面内存在直线 ，使得，如图所示， 又因为，且，则，所以，因此A正确； 对于B：如图所示：，但，故B错误； 对于C：若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确. 对于D：，如图所示，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6个零点之和是6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于 的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过 轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为 ，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于 的方程的两个实数根为 和 ， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得，由此即可判断；对于C，由题意得结合的范围即可判断；对于D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，若，则， 由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确； 对于B，若，且，则当且仅当，故B正确； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象所对应的函数表达式为：， 若的图象关于轴对称，则， 注意到， 所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误； 对于D，，，得到， 若在上恰有4个零点， 则当且仅当，解得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用的范围求得，进而结合正弦函数的图象特征求得的取值范围. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解 【详解】设弦长为 ，过原点且倾斜角为60°的直线方程为 整理圆的方程为：，圆心为，半径 圆心到直线的距离为： 则： 故答案为： 13. 已知数列前 项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得，两式相减得，而， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即， 因为，则，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值是 ， 故答案为： . 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解. 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即 ， 又切线 与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 如图，已知 的半径是1，点 在直径 的延长线上，，点是 上半圆上的动点，以 为边作等边三角形 ，且点 与圆心分别在 的两侧. （1）若，试将四边形的面积表示成 的函数. （2）求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再利用分割的方法求四边形的面积表达式. （2）利用三角函数的图象和性质求函数的最大值. 【小问1详解】 由已知：， 在中，，由余弦定理知：， 所以，， ， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 则，所以，当，即时取到最大值. 即四边形的面积的最大值为. 16. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为 — . 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与 的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 【答案】（1）亿人 （2）， 【解析】 【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出 的值，即可得出与 的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论； （2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 设，则， 因为，，， 所以，， 所以，与 的拟合函数关系式为 当时，， 则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人. 【小问2详解】 由题意知，所以，， ， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 17. 如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，. （1）证明：； （2）在棱上是否存在点，使得二面角为，若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以 为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上，. （2） 假设在棱上存在点，使得二面角为， 则， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 化简可得，，解得或 ，或， 所以在棱上存在点，使得二面角为，点是线段靠近两端点的两个四等分点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）假设在棱上存在点，使得二面角为，利用向量法求二面角，建立方程求解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线的准线与椭圆 相交所得线段长为. （1）求抛物线 的方程； （2）设圆 过，且圆心 在抛物线 上，是圆 在轴上截得的弦.当 在抛物线 上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线 于 、 、、 ，求四边形的面积最小值. 【答案】（1） （2）假设 在抛物线 上运动时弦的长为定值，理由如下： 设在抛物线 上，可知到轴距离为， 根据圆的弦长公式可知：， 由已知，， 所以， 则 在抛物线 上运动时弦的长的定值为 . （3） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线准线与椭圆相交一个交点为，将该点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设在抛物线 上，可知到轴距离为，可知，利用两点间的距离公式结合勾股定理可求得的值； （3）分析可知，过点 且相互垂直，且与抛物线都有交点的两条直线的斜率都存在且不为零，设这两条直线的方程分别为、，其中 ，设直线交抛物线 于点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可求得，进而可得出，再利用四边形的面积公式结合基本不等式可求得四边形面积的最小值. 【小问1详解】 解：由已知，抛物线 的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是， 把代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线 的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若过点 且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直， 则其中与 轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设过的 的两条直线的方程分别为、，其中 ， 设直线交抛物线 于点、， 由得， ， 由韦达定理可得，则， 同理可得， 所以，四边形的面积 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为 . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数． （1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有唯一零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有3条切线， （2） 时， 在 上单调递增，无递减区间；当 时， 在和上单调递增， 在上单调递减；当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可； （2）求出导函数，对 分类讨论即可得出函数单调区间； （3）根据函数的单调性，结合当时，，利用极大值建立不等式求解. 【小问1详解】 当时，，， 设切点为， 因为切线过点，所以切线斜率存在，故可设切线方程为， 则，化简可得， 即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1， 故有3个不等的实根， 所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故， 所以切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以函数在 上单调递增； 当 时，，所以或时，， 单调递增， 当时，， 单调递减； 当 时，，所以或时，， 单调递增， 当时，， 单调递减； 综上，时， 在 上单调递增，无递减区间；当 时， 在和上单调递增， 在上单调递减；当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，，函数仅有1个零点1； 当 时，由（2）知， 的极大值为，且当时，， 若有唯一零点，则，解得 ，故， 当 时，由（2）知， 的极大值为，同理， 若有唯一零点，则，解得，故， 综上，实数a的取值范围 【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $