7.2.2复数的乘除运算（3知识点+6题型+随堂练习）-2024-2025学年高一数学寒假预习课程同步讲练（人教A版必修二）

7.2.2 复数的乘除运算 明确学习目标 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律. 2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性. 重点难点 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律. 2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 知识点2 复数代数形式的除法运算 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点3 在复数范围内解方程与i的周期性 1.解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 2.in的周期性及其应用 in的周期性中常用结论 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*). 提升学科能力 题型一 复数的乘法运算 例1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 跟踪训练 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，则的虚部为 . 3．计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 题型二 已知乘法运算结果求参数 例2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 跟踪训练 1．设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．已知a，b均为实数，，则 . 3．设为虚数单位，且，则 ． 题型三 复数范围内方程的根 例3．已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 跟踪训练 1．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．已知是关于x的方程的根，则实数 ． 3．（1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于x的方程的一个根.求的值 . （2）若复数为纯虚数，求的值． 题型四 复数的除法运算 例4．计算： (1)； (2)． 跟踪训练 1．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足(为虚数单位)，则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3). 题型五 已知除法运算结果求参数 例5．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 2．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 3．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则 ． 题型六 已知除法运算结果求复数特征 例6．若复数z满足，则下列命题正确的有（   ） A．z的虚部是 B． C． D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限 跟踪训练 1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A．1011 B． C． D． 2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数满足（为虚数单位）,则 ． 质量检测评价 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A． B．2i C． D．2 2．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D．2025 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 6．已知是关于的方程的一个根，，，则（    ） A． B．16 C． D．4 二、多选题 7．复数的共轭复数为，则关于复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．复数在复平面内对应的点为 8．设是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．若复数满足，则 ． 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 11．若，则 ． 四、解答题 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 13．（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 14．已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2 复数的乘除运算 明确学习目标 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律. 2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性. 重点难点 1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律. 2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 知识点2 复数代数形式的除法运算 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点3 在复数范围内解方程与i的周期性 1.解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 2.in的周期性及其应用 in的周期性中常用结论 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*). 提升学科能力 题型一 复数的乘法运算 例1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数乘法和乘方运算即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）原式 ． 跟踪训练 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数运算法则，将复数化简，即可得出其对应点的坐标，从而可得结果. 【详解】因为， 所以其在复平面内对应的点为，位于第三象限； 故选：C 2．已知复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】先应用复数乘法得出，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】由题意可得，所以，故的虚部为. 故答案为：. 3．计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的乘法运算可得答案； （5）根据的性质、复数的乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 题型二 已知乘法运算结果求参数 例2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设，代入利用相等复数的概念可求，进而可得结论. 【详解】设，因为，所以， 所以，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 跟踪训练 1．设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【详解】， 由已知得，解得， 故选：D 2．已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 3．设为虚数单位，且，则 ． 【答案】 【分析】化简原式，根据题意需满足条件，求解即可 【详解】由， 所以满足条件， 故答案为： 题型三 复数范围内方程的根 例3．已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解. （2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解. 【详解】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 跟踪训练 1．若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题知也是关于x的方程的一个根，进而结合韦达定理求解即可. 【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 2．已知是关于x的方程的根，则实数 ． 【答案】 【分析】由是也是方程的根，再由韦达定理即可得实数的值． 【详解】因为是关于x的方程的根，其中， 所以也是关于x的方程的根， 所以，即． 故答案为： 3．（1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于x的方程的一个根.求的值 . （2）若复数为纯虚数，求的值． 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）把代入方程，利用复数相等可得答案； （2）利用纯虚数的限制条件可得答案. 【详解】（1）由题意，， ∴. （2） 为纯虚数，， 或（舍去），即. 题型四 复数的除法运算 例4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法和乘法运算可得结果. （2）根据复数的除法和乘法运算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以． （2）． 跟踪训练 1．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出z，再写出其共轭复数，再根据模的公式计算，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 故选：C 2．若复数z满足(为虚数单位)，则 ． 【答案】 【分析】借助复数运算法则及模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 3．计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用复数的除法运算可得答案； （2）利用复数的除法运算可得答案； （3）利用复数的除法运算、乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 题型五 已知除法运算结果求参数 例5．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】，所以且，解得. 故选：B 跟踪训练 1．已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【详解】由， 可得，， 因此． 故选：B． 2．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 3．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数为纯虚数，所以，. 故答案为：-3. 题型六 已知除法运算结果求复数特征 例6．若复数z满足，则下列命题正确的有（   ） A．z的虚部是 B． C． D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】ABC 【分析】利用复数的四则运算求出，利用复数有关定义依次判断选项. 【详解】由，得， 所以的虚部是，故A正确；，故B正确； 则，故C正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为在第四象限，故D错误； 故选：ABC 跟踪训练 1．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A．1011 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解. 【详解】. 故虚部为 故选：D 2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】解：复数满足， ， 在复平面内所对应的点位于第四象限． 故选：D． 3．已知复数满足（为虚数单位）,则 ． 【答案】2 【分析】根据,将解出,再根据复数的模的公式求出答案即可. 【详解】解:由题知, , 故. 故答案为:2 质量检测评价 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A． B．2i C． D．2 【答案】D 【分析】先化简计算，再根据复数虚部的定义可得结论. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：D. 2．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D．2025 【答案】C 【分析】先利用复数的除法化简复数z，进而得到，再利用减法求解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：C. 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算计算可求得答案. 【详解】由，可得. 故选：A. 4．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求复数，再根据复数几何意义得点坐标. 【详解】∵，∴. ∴在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：A. 5．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的定义求解即可. 【详解】，共轭复数为， 故选：C 6．已知是关于的方程的一个根，，，则（    ） A． B．16 C． D．4 【答案】B 【分析】将代入方程，结合相等复数的概念求得，即可求解. 【详解】将代入方程， 得，解得，， 所以. 故选：B 二、多选题 7．复数的共轭复数为，则关于复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．复数在复平面内对应的点为 【答案】BCD 【分析】由共轭复数的概念，结合复数四则运算求出复数，根据复数的有关定义和运算依次判断选项即可 【详解】因为的共轭复数为，所以，即 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，得复数在复平面内对应的点为，故D正确； 故选：BCD 8．设是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算性质逐一检验即可. 【详解】A选项，，故，正确； B选项，即.故，正确； C选项，即z为纯虚数，故，不正确； D选项，∵，故，正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．若复数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的除法可化简得出复数. 【详解】因为，则. 故答案为：. 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 11．若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】． 故答案为：. 四、解答题 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）由复数代数形式的加减运算求解； （2）由复数代数形式的加减运算求解； （3）由复数代数形式的加减运算求解； （4）由复数代数形式的乘法运算求解； （5）由复数代数形式的乘法运算求解； （6）由复数代数形式的除法运算求解； （7）由复数代数形式的除法运算求解； （8）由复数代数形式的除法运算求解； （9）由复数代数形式的除法运算求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 13．（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据复数为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，解得答案. （2）设，代入计算得到，根据实部和虚部分别相等得到答案. 【详解】（1）复数是纯虚数，则， 解得； （2）设，，， 即，故， 解得或，故或. 14．已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$