7.2.1复数的加减运算及其几何意义（3知识点+4题型+随堂练习）-2024-2025学年高一数学寒假预习课程同步讲练（人教A版必修二）

7.2.1 复数的加减运算及其几何意义 明确学习目标 课标要求 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 3.掌握复平面上两点间的距离公式. 重点难点 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 3.掌握复平面上两点间的距离公式. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数的加、减法运算 1.复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)(交换律)z1+z2=z2+z1； (2)(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 知识点2 复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1+z2对应，向量与复数z1-z2对应. 知识点3 复平面上两点间的距离公式及其应用 由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离. 提升学科能力 题型一 复数的加减运算 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法运算求得正确答案. （2）根据复数的加法、减法运算求得正确答案. 【详解】（1） （2） 跟踪训练 1．复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的加减法运算法则求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 2．计算： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】（1）利用复数的加法法则运算可求解； （2）利用复数的加法法则运算可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）（2）根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 题型二 复数加减运算结果求参数 例2．若|z|+z=3+i，则z=（    ） A．1－i B．1+i C．+i D．－+i 【答案】C 【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+ x+yi=3+i，从而求出答案. 【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)， 依题意有+x+yi=3+i， 因此解得故z=+i. 故选：C. 跟踪训练 1．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可. 【详解】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0， 所以于是 故. 故选：D. 2．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 3．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 【答案】 6 11 【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解. 【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)， 所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴，解得. 故答案为：6，11. 题型三 复数的在几何中的运算 例3．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)5 (2)7 【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数； （2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 跟踪训练 1．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 故选：B． 2．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【答案】16 【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，从而可得的周长 【详解】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题 3．复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）. 【答案】直角三角形 【解析】设复数对应的点为，由得四边形为矩形，即可得出结论. 【详解】设复数对应的点为，则四边形为平行四边形， 又，即四边形为矩形， ，则在复平面内是直角三角形. 故答案为：直角三角形. 【点睛】本题考查复数加法和减法以及模的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题. 题型四 根据复数加减运算几何意义求最值 例4．若，i为虚数单位，且，求的最小值. 【答案】3 【解析】根据，结合复数减法的模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得的最小值. 【详解】由得，因此复数z对应的点Z在以对应的点为圆心，1为半径的圆上，如图所示. 设，则y是Z点到对应的点A的距离.又，∴由图知. 【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 跟踪训练 1．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 2．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 3．若且，则最大值是 . 【答案】3 【分析】先分析出z的轨迹可看成圆，根据几何法可以得到表示圆上的点到原点的距离，即可求出最大值. 【详解】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹，可看成圆，表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 . 故答案为：3. 质量检测评价 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的加法法则计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：D 2．若复数，，则（   ）. A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】由复数运算法则化简后运用模长公式计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 【详解】∵ ， ∴ 对应的复数为：， ∴点对应的复数为． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解. 【详解】设，可得 因为，所以 解得，所以. 故选：A. 6．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由复数减法的几何意义得即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 二、多选题 7．若，则z可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】待定系数法设复数，列方程组后求解 【详解】设，则，由题意可得 解得或所以或． 故选：AC 8．设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的定义判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据复数的几何意义判断C；根据复数的模长公式判断D. 【详解】因为， 可知，的虚部是，故AB正确； 又因为，可知对应的点为，位于第一象限，故C正确； 且，则，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 9．若复数，，则 ． 【答案】/ 【分析】两式相加得，即可得结果. 【详解】因为，， 两式相加得，所以. 故答案为：. 10．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解． 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 11．已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 【答案】直角 【解析】由题可知,则以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即可求解 【详解】因为, 所以, 故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形, 所以是直角三角形 故答案为:直角 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,考查数形结合思想 12．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知，，为实数，若，求 【答案】. 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 14．已知复数，. （1）若，求a的值； （2）若z是纯虚数，求a的值； （3）若，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】先化简为再根据条件列出等式或不等式，求解即可 【详解】由题意知. （1）因为，所以，所以. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 15．设，若，，求的最小值. 【答案】6 【解析】由已知可得复数对应的点分别在两个圆上，的最小值即求两圆上距离的最小值，根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】在复平面上对应的点表示以原点为圆心，3为半径的圆， 在复平面上对应的点表示以为圆心， 4为半径的圆.由于两圆外离，故. 故答案为：6 【点睛】本题考查复数、复数减法和模的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题. 16．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）. 【分析】(1)平行四边形ABCD中，有且与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，即对应的复数为－2＋2i (2)同(1)，由于，而与对应的复数分别是3＋2i与－2＋2i，即对应的复数为5 (3) 平行四边形ABCD中，根据向量的关系得到、，由向量数量积的坐标公式和几何意义有，解得cos∠APB＝进而得到sin∠APB＝，再由三角形面积公式求得面积为5 【详解】由题意，画出平行四边形如下图示      （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 【点睛】本题考查了复数加减运算并结合向量在几何中的应用，向量数量积的几何意义和坐标公式，三角形的面积公式；综合运用复数和向量的关系及在几何中的应用，应用向量的数量积及三角形面积公式求值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.1 复数的加减运算及其几何意义 明确学习目标 课标要求 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 3.掌握复平面上两点间的距离公式. 重点难点 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 3.掌握复平面上两点间的距离公式. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数的加、减法运算 1.复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)(交换律)z1+z2=z2+z1； (2)(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 知识点2 复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1+z2对应，向量与复数z1-z2对应. 知识点3 复平面上两点间的距离公式及其应用 由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离. 提升学科能力 题型一 复数的加减运算 1．计算： (1)； (2)． 跟踪训练 1．复数等于（    ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） . 3．计算： (1)； (2)． 题型二 复数加减运算结果求参数 2．若|z|+z=3+i，则z=（    ） A．1－i B．1+i C．+i D．－+i 跟踪训练 1．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 2．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 3．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 题型三 复数的在几何中的运算 3．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 跟踪训练 1．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 2．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 3．复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）. 题型四 根据复数加减运算几何意义求最值 4．若，i为虚数单位，且，求的最小值. 跟踪训练 1．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 2．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 3．若且，则最大值是 . 质量检测评价 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 2．若复数，，则（   ）. A． B． C．2 D．5 3．复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 5．已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 7．若，则z可能为（    ） A． B． C． D． 8．设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 三、填空题 9．若复数，，则 ． 10．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 11．已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 12．已知，，则的取值范围为 . 四、解答题 13．已知，，为实数，若，求 14．已知复数，. （1）若，求a的值； （2）若z是纯虚数，求a的值； （3）若，求实数b的取值范围. 15．设，若，，求的最小值. 16．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$