7.1.2复数的几何意义（4知识点+6题型+随堂练习）-2024-2025学年高一数学寒假预习课程同步讲练（人教A版必修二）

7.1.2 复数的几何意义 明确学习目标 课标要求 1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法 重点难点 1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数与复平面内点的关系 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 知识点2 复数与复平面内的向量的关系及复数的模 1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 2.复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|. (3)公式：|z|=|a+bi|=. 知识点3 共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 知识点4 复数的几何应用 反思感悟　(1)|z|表示在复平面内复数z对应的点到原点的距离. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 提升学科能力 题型一 复数对应点的坐标表示 例1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 跟踪训练 1．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以. 故选：D. 3．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复数的几何意义进行求解. 【详解】根据复数的几何意义，对应复平面的点是， 关于轴对称得到的点是，对应的复数是. 故选：B 题型二 复数对应点的象限 例2．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 跟踪训练 1．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果. 【详解】复数，其对应的点在第二象限， 则，解得． 故选：A 2．已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的类型特征求参； （2）应用复数对应象限的特征列不等式组即可求参数范围. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 解得. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 3．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可； （2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可； （3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可. 【详解】（1）若为实数，则，解得或． （2）若为纯虚数，则，解得． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得． 即a的取值范围为 题型三 复数与对应点和向量的关系 例3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 跟踪训练 1．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【详解】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A 2．已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【答案】 【分析】首先得到，，即可求出的坐标，从而写出其对应的复数. 【详解】因为复平面内的点，分别对应的复数为和， 所以，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故答案为： 3．已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 【答案】点D的坐标为，向量所对应的复数为 【分析】根据题意结合向量相等求点D的坐标，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】设，则， 由题意可知：，即，解得， 所以点D的坐标为，且向量所对应的复数为. 题型四 复数的模 例4．已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数模的计算方法求解即可. 【详解】. 故选：D. 跟踪训练 1．（   ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】根据复数模的概念直接求解. 【详解】由题意：. 故选：C 2．已知为虚数单位，若，则复数的模为（    ） A．13 B．12 C．5 D． 【答案】A 【分析】代入复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 3．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 题型五 共轭复数的概念及简单计算 例5．下列关于复数的说法，其中正确的是（   ） A．复数是实数的充要条件是． B．复数是纯虚数的充要条件是． C．若互为共轭复数，则是相等的实数，或都是虚数且它们的模相等． D．若互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称． 【答案】AC 【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，复数是实数的充要条件是，显然成立，故A正确； 对于B，若复数是纯虚数，则且，故B错误； 对于C，若，互为共轭复数，设，则，所以当时，是相等的实数，当时，都是虚数且它们的模相等且，故C正确； 对于D，若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故D错误； 故选：AC 跟踪训练 1．下列说法正确的是（    ） A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 【答案】AD 【分析】利用共轭复数的概念逐一判断. 【详解】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确； 对于B：实数的共轭复数是他本身，错误； 对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误； 对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确. 故选：AD. 2．若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义得，即可求解对应的点. 【详解】由可得，故在复平面内对应的点为, 故对应的点为第一象限， 故选：A 3．求下列复数的模和共轭复数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)模为，共轭复数为 (2)模为，共轭复数为 (3)模为，共轭复数为 (4)模为，共轭复数为 【分析】根据复数的模的计算公式及共轭复数的定义计算可得. 【详解】（1）复数的模为，共轭复数为； （2）复数的模为，共轭复数为； （3）复数的模为，共轭复数为； （4）复数的模为，共轭复数为. 题型六 复数对应点构成的图形 例6．已知复数z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2). 【答案】(1)以原点O为圆心，4为半径的圆. (2)表示以原点O为圆心，2和4为半径的圆所夹的圆环但是不包括环的边界. 【分析】根据复数的几何意义即可得到答案. 【详解】（1）表明向量的模，所以满足条件的点Z的集合就是以原点O为圆心，4为半径的圆. （2）表明向量的模，所以满足条件的点Z的集合就是以原点O为圆心，4为半径的圆的内部. 表明向量的模，所以满足条件的点的集合就是以原点O为圆心，2为半径的圆的外部. 因此表示以原点O为圆心，2和4为半径的圆所夹的圆环但是不包括环的边界. 跟踪训练 1．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，依题意可得，即可得到复数在复平面内的点所在的区域，从而求出其面积. 【详解】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C 2．已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．点 D．直线 【答案】A 【分析】求出的值，利用复数模的几何意义可得出结论. 【详解】因为，且，解得， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 故选：A. 3．已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【答案】(1)， (2)是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【分析】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【详解】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    质量检测评价 一、单选题 1．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 2．已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由题意，根据共轭复数的定义和复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于复平面的第三象限， 故选：C. 3．在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可. 【详解】由题意可得， 设的对角线的交点为，点的坐标为， 由中点坐标公式得， 所以点，即点对应的复数为， 故其共轭复数. 故选：B 4．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 5．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数、向量的知识确定正确答案. 【详解】复数对应的点为, 所以， 对应复数为. 故选：A 6．已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】A 【分析】解方程求出，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】， ， （舍去）， 复数对应的点的集合是以原点为圆心，以4为半径的一个圆． 故选：A. 二、多选题 7．已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 8．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可； 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 10．在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 四、解答题 11．已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 12．设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 【答案】5 【分析】根据复数的几何意义确定的坐标，即可判断三角形形状，从而可求得答案. 【详解】由题意知， 故, ， 则，即为直角三角形， 故的面积为. 13．设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据复数的几何意义得到答案. 【详解】（1）因为，即，所以满足的点Z的集合是以原点为圆心、2为半径的圆；    （2）不等式可化为不等式组， 不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合， 不等式的解集是圆内部所有的点组成的集合， 这两个集合的交集就是上述不等式组的解集． 因此，满足条件的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．    14．在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 【答案】(1), (2),. 【分析】（1）根据复数的几何意义及点与向量的坐标关系即可求解； （2）根据复数的几何意义及平行四边形的定义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为点对应的复数分别为， 所以， 所以，. （2）由（1）知，， 设顶点的坐标为，则， 由题意可知，，所以， 即，解得，所以. 所以点对应的复数为， 所以. 所以的长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 复数的几何意义 明确学习目标 课标要求 1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法 重点难点 1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数与复平面内点的关系 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 知识点2 复数与复平面内的向量的关系及复数的模 1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 2.复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|. (3)公式：|z|=|a+bi|=. 知识点3 共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 知识点4 复数的几何应用 反思感悟　(1)|z|表示在复平面内复数z对应的点到原点的距离. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 提升学科能力 题型一 复数对应点的坐标表示 1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 例1．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 3．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 题型二 复数对应点的象限 例2．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 跟踪训练 1．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 2．已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 3．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 题型三 复数与对应点和向量的关系 例3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 3．已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 题型四 复数的模 例4．已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 跟踪训练 1．（   ） A．2 B．4 C． D．6 2．已知为虚数单位，若，则复数的模为（    ） A．13 B．12 C．5 D． 3．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 题型五 共轭复数的概念及简单计算 例5．下列关于复数的说法，其中正确的是（   ） A．复数是实数的充要条件是． B．复数是纯虚数的充要条件是． C．若互为共轭复数，则是相等的实数，或都是虚数且它们的模相等． D．若互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称． 跟踪训练 1．下列说法正确的是（    ） A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 2．若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．求下列复数的模和共轭复数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 复数对应点构成的图形 例6．已知复数z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2). 跟踪训练 1．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．点 D．直线 3．已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 质量检测评价 一、单选题 1．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 5．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 二、多选题 7．已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 8．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 10．在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 四、解答题 11．已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 12．设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 13．设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2)． 14．在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$