7.1.1数系的扩充和复数的概念（3知识点+5题型+随堂练习）-2024-2025学年高一数学寒假预习课程同步讲练（人教A版必修二）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 明确学习目标 课标要求 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件. 重点难点 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点2 复数的分类 1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3 复数相等的充要条件 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地，a+bi=0⇔a=b=0. 提升学科能力 题型一 虚数单位i及其性质 例1．已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．计算：① ；②若，则 . 3．i表示虚数单位，则 ． 题型二 复数的概念 例2．下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 跟踪训练 1．下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 2．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 题型三 复数的实部与虚部 例3．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练 1．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 3．分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 题型四 复数的分类 例4．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 跟踪训练 1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，z为虚数 3．已知复数（是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值. 题型五 相等复数 例5．已知复数，其中、．求x、y的值． 跟踪训练 1．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 2．已知x、，若，则 ． 3．已知，其中、．求x、y的值． 质量检测评价 一、单选题 1．给出下列命题：①若是纯虚数，则实数；②是虚数；③复数的实部一定是m.其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．若复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．复数是纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D． 或 5．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 二、多选题 7．下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 8．以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 9．对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 三、填空题-双空题 10．已知，则复数的虚部为 ． 11．若复数的实部和虚部相等，则 . 12．若，则 ， . 四、解答题 13．已知，其中、．求x、y的值． 14．写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 15．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 16．已知复数，． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）若复数为虚数，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得复数为纯虚数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 明确学习目标 课标要求 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件. 重点难点 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点2 复数的分类 1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3 复数相等的充要条件 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地，a+bi=0⇔a=b=0. 提升学科能力 题型一 虚数单位i及其性质 例1．已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复数定义，求得命题逻辑关系. 【详解】i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件； 由，得，故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 跟踪训练 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用虚数的定义及平方根的概念可以得解 【详解】由于，则的平方根是． 故选：D. 2．计算：① ；②若，则 . 【答案】 -1 【分析】①根据规定可得，②设，根据复数相等解方程即可 【详解】根据规定知； 设， 得，或， 所以 故答案为：-1； 3．i表示虚数单位，则 ． 【答案】1 【分析】根据虚数单位的运算性质求解出原式的结果. 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：虚数单位的常见运算性质： （1）； （2）. 题型二 复数的概念 例2．下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 【答案】D 【分析】利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可． 【详解】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确； 任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确； 任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确； 虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确 故选：D． 跟踪训练 1．下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 2．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 题型三 复数的实部与虚部 例3．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断复数的实部、虚部，即可得到方程，解得即可. 【详解】因为复数的实部为，虚部为， 由题意可得，解得. 故选：A 跟踪训练 1．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简复数，再利用复数的概念求解即得. 【详解】的虚部为2，的实部为， 所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为． 故选：A 2．已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 【答案】7 【分析】利用复数实部和虚部的概念结合题意即可求解. 【详解】的实部和虚部分别是2和3， 则，，解得， 故. 故答案为：. 3．分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部为 (4)实部为，虚部为 (5)实部为，虚部为 (6)实部为，虚部为 (7)实部为，虚部为 (8)实部为，虚部为 (9)实部为，虚部为 (10)实部为，虚部为 (11)实部为，虚部为 (12)实部为，虚部为 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【详解】（1）的实部为，虚部为 （2）的实部为，虚部为 （3）的实部为，虚部为 （4）实部为，虚部为 （5）的实部为，虚部为 （6）的实部为，虚部为 （7）的实部为，虚部为 （8）的实部为，虚部为 （9）的实部为，虚部为 （10）的实部为，虚部为 （11）的实部为，虚部为 （12）的实部为，虚部为 题型四 复数的分类 例4．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【分析】根据复数的类型列式求参. 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 跟踪训练 1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：. 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，z为虚数 【答案】ACD 【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数， 当且仅当且时为纯虚数判断即可. 【详解】时，复数是纯虚数，A错误； 当时，复数是纯虚数，B正确； 是纯虚数，则即，C错误； 复数未注明为实数，D错误． 故选：ACD． 3．已知复数（是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零； （2）复数是虚数，则虚部不为零； （3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零． 【详解】解：（1）复数是实数，则， 解得； （2）复数是虚数，则， 解得且； （3）复数是纯虚数，则， 解得或． 【点睛】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的数学关系式是解决本题的关键． 题型五 相等复数 例5．已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 跟踪训练 1．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 2．已知x、，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：2. 3．已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得， 解得：或． 质量检测评价 一、单选题 1．给出下列命题：①若是纯虚数，则实数；②是虚数；③复数的实部一定是m.其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据纯虚数的概念判断①是否正确.根据虚数的概念判断②是否正确.根据复数实部的概念判断③是否正确. 【详解】若是纯虚数，则且，解得，所以①错误；是实数，所以②错误；复数中m，n未指明是实数，故③错误.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数为实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题. 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 3．若复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的运算求出，进而得出虚部. 【详解】，则z的虚部6， 故选：D. 4．复数是纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】利用纯虚数的性质（实部为0，虚部不为0）化简即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则实数的值为2，故选A. 【点睛】本题主要考查了纯虚数的性质，关键是利用实部为0，虚部不为0来解决问题，属于基础题. 5．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 6．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 二、多选题 7．下列命题中正确的是（　　） A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根 【答案】ABC 【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确； 对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确； 对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确； 对于D，因为的平方根为，D错误． 故选：ABC 8．以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 【答案】CD 【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可. 【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误； 对于B，当则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以由可以得到，故C正确； 对于D，若复数，则且，故D正确. 故选：CD. 9．对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 三、填空题 10．已知，则复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】由的指数运算的周期性可化简，根据虚部定义得到结果. 【详解】，的虚部为. 故答案为：. 11．若复数的实部和虚部相等，则 . 【答案】1或 【分析】根据复数的相关概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或. 故答案为：1或. 12．若，则 ， . 【答案】 4 【分析】由复数相等可得实部与实部相等，虚部与虚部相等，列式求解即可. 【详解】由 得  ， 故答案为：4；-2. 四、解答题 13．已知，其中、．求x、y的值． 【答案】 【分析】由已知结合复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 14．写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【答案】答案见解析 【分析】根据复数的概念，即可得出答案. 【详解】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6． 4，0是实数； ，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数． 15．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 16．已知复数，． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）若复数为虚数，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得复数为纯虚数？ 【答案】（1）；（2）；（3）不存在实数使得复数为纯虚数． 【分析】根据为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，所以. （1）当为实数时，，解得.（2）当为虚数时，结合可知，的取值范围是.（3）当为纯虚数时，，方程解得，解得且，两者没有公共元素，故不存在实数使得复数为纯虚数． 【点睛】本小题主要考查复数是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$