第17讲 解直角三角形（2考点&4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第17讲 解直角三角形 课程标准 学习目标 1 掌握基本方法：理解并掌握利用勾股定理和三角函数（正弦、余弦、正切）解直角三角形的基本方法。 2 综合运用：能够综合运用三角函数、勾股定理等知识解决直角三角形的边角关系问题。 3 实际应用：能够将解直角三角形的方法应用于实际生活中的测量、工程等问题。 1. 熟练运用勾股定理：能够熟练运用勾股定理求直角三角形的边长。 2. 灵活使用三角函数：能够灵活运用正弦、余弦、正切等三角函数求直角三角形的边和角。 3. 解决实际问题：能够运用解直角三角形的方法解决实际问题，如测量高度、距离等。 知识点一、直角三角形的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系： 1.三边之间的关系：（勾股定理）； 2.两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）； 3.边与角之间的关系：. 三角函数是连接边与角的桥梁. 知识点二、解直角三角形 通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 图形 未知条件 解法步骤 斜边和一条直角边 a、c b、∠A、∠B 由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b b、c a、∠A、∠B 由求∠B，由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a 两条直角边 a、b c、∠A、∠B 由求c，由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B 斜边和一锐角 ∠A、c ∠B、a、b 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求b ∠B、c ∠A、a、b 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求b 一条直角边和一个锐角 ∠A、a ∠B、b、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b，由求c ∠A、b ∠B、a、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求c ∠B、a ∠A、b、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求b，由求c ∠B、b ∠A、a、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求c 题型01 解直角三角形 1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【分析】根据正弦值的定义解决此题． 【解答】解：如图． ∵∠C＝90°，AB＝8，sinA， ∴sinA． ∴BC＝6． 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，，则BC的长为　　． 【分析】根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中， sinA． ∵AB＝6，sinA， ∴， ∴BC＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AC＝8cm，∠A＝30°，∠B＝45°，则BC＝ 　　cm． 【分析】过点C作AB的垂线，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M， 在Rt△ACM中， sinA， 因为∠A＝30°，AC＝8cm， 所以， 则CM＝4cm． 在Rt△BCM中， sinB， 因为∠B＝45°， 所以， 所以BC． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型02 网格问题 1．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，再计算∠ACD的正弦值即可． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴∠ACD的正弦值是． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠ABC等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和勾股定理，可以得到AC、BC和AB的长，然后即可计算出cos∠ABC的值． 【解答】解：设每个小正方形的边长为a， 则AC＝2a，BC＝4a， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2a， ∴cos∠ABC， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出BC和AB的长． 3．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　　． 【分析】先作AE∥CD交DE于点E，连接BE，然后根据平行线的性质可以得到∠APC＝∠BAE，再根据勾股定理可以得到AE、BE和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，即可求得tan∠BAE的值，从而可以得到tan∠APC的值． 【解答】解：作AE∥CD交DE于点E，连接BE，如图所示， ∵CD∥AE， ∴∠APC＝∠BAE， 设每个小正方形的边长为a， 由图可知：BEa， AE2a， AB5a， ∴BE2+AE2＝AB2， ∴△AEB是直角三角形， ∴tan∠BAE， ∴tan∠APC， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA＝　　． 【分析】根据所给图形，连接BM，构造出直角三角形，再结合余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，如图所示， 则MB⊥AB． 令正方形网格的边长为a， 则AB＝2a，MB＝a． 在Rt△ABM中， AM， 所以cosA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知余弦的定义是解题的关键． 题型03 四边形中解直角三角形 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（　　） A． B．2 C．8 D． 【分析】根据∠EDC：∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，求出OD即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∴OA＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°， ∴∠EDC＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∴OD4， ∴AC＝2OD＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形等知识，根据已知得出∠DAC＝30°是解题关键． 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，，则AD的长是 　　． 【分析】延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE＝AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD． 【解答】解：延长AB与DC相交于点E，在△ADE中， ∵∠A＝90°，∠D＝60°， ∴∠E＝30°． 在Rt△BEC中， ∵， ∴， ∴． 在Rt△ADE中， ∵∠A＝90°，∠E＝30°， ∴AE＝6AD＝AE•tanE＝66． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是解直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BD⊥CD．记∠CBD＝α，∠BAD＝β．若4α＝β，，则BC的长为 　 ． 【分析】过点A作BD的垂线，垂足为M，再作∠BAM的角平分线，结合∠CBD和∠BAD的关系，设出未知数，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：过点A作BD的垂线，垂足为M，作∠BAM的角平分线AN，交BD于点N，过点N作AB的垂线，垂足为P， ∵AB＝AD，AM⊥BD， ∴∠BAM． 又∵AN平分∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAN． ∵∠CBD＝α，且4α＝β，， ∴tan∠BAN＝tan∠NAM． 令PN＝MN＝x， 则AP＝AM＝4x， 在Rt△ABM中， sin∠ABM． 在Rt△BPN中， sin∠PBN， ∴， 则， ∴BN＝1． 在Rt△ABM中， AM2+BM2＝AB2， 即（4x）2+（x+1）2＝42， 解得x（舍负）． ∴BM＝1， ∴BD＝2BM． 在Rt△BCD中， tanα， ∴CD， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及巧用勾股定理是解题的关键． 题型04 面积问题 1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　） A．60 B．30 C．240 D．120 【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积． 【解答】解：如图所示，由tanA， 设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x， 由题意得：12x+5x+13x＝60， 解得：x＝2， ∴BC＝24，AC＝10， 则△ABC面积为120， 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，，该图形阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接DB和AC，过点C分别作AD，AB，DB的垂线，垂足分别为E，G，F，根据题意得出∠ADB＝30°，进而结合题意可得CD，CB分别为∠ADB，∠ABC的角平分线，根据等面积法求得CF，进而即可求解． 【解答】解：如图所示，连接DB和AC，过点C分别作AD，AB，DB的垂线，垂足分别为E，G，F， ∵∠BAD＝90°，， ∴，， ∴∠ADB＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∵∠ADC＝15°，∠ABC＝30°， ∴CD，CB分别为∠ADB，∠ABC的角平分线， ∴CE＝CF＝CG， 设CE＝CF＝CG＝a， ∴， ∴， 解得：， ∴该图形的面积为． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为斜边上一点，AD＝2，BD＝1，且四边形DECF是正方形，则图中阴影部分面积的和是　　． 【分析】过D点作DG⊥AB交AC于G．通过证明△DEG≌△DFB，得出GD＝1，从而求得S△ADG，即阴影部分面积的和． 【解答】解：过D点作DG⊥AB交AC于G． ∵∠EDG+∠GDF＝∠BDF+∠GDF， ∴∠EDG＝∠BDF． ∵DE＝DF，∠DEG＝∠DFB， ∴△DEG≌△DFB． ∴DB＝GD＝1． ∴阴影部分面积的和＝S△ADG＝2×1÷2＝1． 【点评】通过作辅助线将组合图形的面积转化为求△ADG的面积． 4．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝105°，AB＝12． （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积．（结果保留根号） 【分析】（1）过B作BH⊥AC于H，由∠A＝30°，得到BHAB＝6，判定△BCH是等腰直角三角形，求出BCBH＝6． （2）由锐角的余弦求出AH的长，由△BCH是等腰直角三角形，得BH＝CH＝6，得到AC的长，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）过B作BH⊥AC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵∠A＝30°，AB＝12， ∴BHAB＝6， ∵∠ABC＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝45°， ∴△BCH是等腰直角三角形， ∴BCBH＝6． （2）∵cosA＝cos30°，AB＝12， ∴AH＝6， ∵△BCH等腰直角三角形， ∴CH＝BH＝6， ∴AC＝AH+CH＝66， ∴△ABC的面积AC•BH（66）×6＝1818． 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，关键是过B作BH⊥AC于H，构造直角三角形． 1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同角的余角相等，得出∠A＝∠BCD，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． 在Rt△ABC中， tanA， ∴tan∠BCD＝tanA． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义及等角的余角相等是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】由等腰直角三角形的性质求出ADAB＝2，由锐角的正弦求出AC＝4，由三角形中位线定理求出EFAC＝2． 【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴ADAB22， ∵sinC， ∴AC＝4， ∵E，F分别为AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAC＝2． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，关键是由等腰直角三角形的性质求出AD的长，由锐角的正弦求出AC的长． 3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解． 【解答】解：连接CB，如图所示： 设小正方形边长为1， ∴，，， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 【点评】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE＝∠BAD，于是tan∠BDE＝tan∠BAD． 【解答】解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝5，∠BAD＝∠CAD， ∴AD12， ∴tan∠BAD． ∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠CDE+∠ADE＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝∠DAC， ∴tan∠CDE＝tan∠DAC． 故选：A． 【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G，证明△AGF≌△DBF（AAS），则，证明△AEG∽△CEB，则，解得，，根据，计算求解即可． 【解答】解：如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G， ∴∠G＝∠DBF， 在△AGF和△DBF中， ∵， ∴△AGF≌△DBF（AAS）， ∴， ∵∠G＝∠CBE，∠AEG＝∠CEB， ∴△AEG∽△CEB， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB，BC1，则边AC的长为 　2　． 【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB，cosB， ∴AM，BM． 又∵BC， ∴CM． 在Rt△ACM中， AC． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，过点A作BC的垂线构造出直角三角形及熟知特殊角的三角函数值和勾股定理是解题的关键． 7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是 　2　． 【分析】先作BE∥CD，然后即可得到∠BPC＝∠ABE，构造△AEB，根据勾股定理求出各边的长，利用勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，从而可以求得∠ABE的正切值，从而可以得到∠BPC的正切值． 【解答】解：作BE∥CD，如图所示， ∵BE∥CD， ∴∠BPC＝∠ABE， 设小正方形的边长为a， 由图可得，ABa，AE2a，BEa， ∴AB2＝AE2+BE2， ∴△AEB是直角三角形， ∴tan∠ABE2， ∴tan∠BPC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长，利用数形结合的思想解答． 8．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D、E都在格点上，连接BD，BE，则∠AEB+∠ADB＝ 　45°　． 【分析】根据三角形的外角和定理，结合正方形的性质，可求出∠AEB+∠ADB的值． 【解答】解：如图所示，连接BF，易得∠FBC＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， 在△EBD中，∠AEB＝∠EBD+∠ADB， ∴∠AEB＝∠EBD+∠DBC， ∴∠AEB+∠ADB＝∠EBD+∠DBC+∠DBC＝∠FBC＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了直角三角形及正方形的性质，熟练掌握三角形的外角和定理，运用平行线的性质，综合求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 　　． 【分析】在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论． 【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D． ∵∠ABC＝45°， ∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D， ∴∠D＝22.5°， 设AC＝1，则BC＝1，ABAC， ∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1， ∴tan22.5°＝tanD1． 故答案为：1． 【点评】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在AC上，连接BD，使得BD＝AC，以AC为边向外作△ACE，若CE∥BD，tanE＝2，则边AE的长为 　　． 【分析】过点A作CE边的垂线，构造全等三角形，再根据tanE＝2结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：过点A作CE边的垂线，垂足为M， ∵AM⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠AMC． ∵CE∥BD， ∴∠BDC＝∠ACM． 在△BCD和△ACM中， ， ∴△BCD≌△ACM（AAS）， ∴AM＝BC＝2． 在Rt△AME中， tanE， ∴ME， ∴AE． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点M作CE的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 11．由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a+c＝12，∠B＝60°； （2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°． 【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，可得∠A的度数，两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而可以解这个直角三角形； （2）首先根据∠C＝90°可得∠A+∠B＝90°，再结合∠A﹣∠B＝30°可算出∠A、∠B的度数，再根据特殊角的三角函数数值计算出三边长即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°， ∴∠A＝30°． ∴c＝2a． ∴a＝4，c＝8． ∴b4． 即：a＝4，b，c＝8，∠A＝30°； （2）∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∵sin30°， ∴bc， ∵b+c＝30， ∴c+c＝30， 解得c＝20， 则b＝10， ∴a10． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握特殊角的三角函数值． 12．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝5，AD＝3，tanC＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）先利用勾股定理求出BD的长，再根据正切的定义求出DC的长即可解决问题． （2）根据中线的定义求出BE的长，再结合BD的长可得出DE的长，进一步可求出AE的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中， BD． 在Rt△ADC中， tanC， 所以DC＝AD＝3， 所以BC＝BD+CD＝4+3＝7． （2）因为AE为BC边上的中线， 所以BE， 所以DE＝BD﹣BE＝4． 在Rt△ADE中， AE， 所以sin∠DAE． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知勾股定理及正切和正弦的定义是解题的关键． 13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，． （1）求AB的长； （2）求sinC的值． 【分析】（1）先根据∠A的正切及AD的长，求出BD的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）在Rt△BCD中，求出BC的长，再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°． 在Rt△ABD中， tanA， ∵AD＝6， ∴BD＝8， ∴AB10． （2）∵AB＝AC，AB＝10， ∴AC＝10， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4． 在Rt△BCD中， BC， ∴sinC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正弦和正切的定义是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝5，BC＝8，CD⊥AB，垂足为点D．求AC的长和∠A的余弦值． 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出BD及CD的长，进而得出AD的长，最后根据勾股定理及余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：∵CD⊥AB，∠B＝60°，BC＝8， ∴sinB，cosB， 则CD，BD＝4． ∵AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝1． 在Rt△ACD中， AC， cosA． 【点评】本题主要考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形及勾股定理，熟知特殊角的三角函数值、勾股定理及余弦的定义是解题的关键． 15．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星“机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，∠ABC＝143°，A、C两点之间的距离为3m，OD＝2m． （1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离； （2）求机械臂BC的长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】（1）过点A作CD的垂线，垂足为M，在Rt△ACM中用勾股定理即可解决问题． （2）过点A作CB的垂线，垂足为N，根据AB的长及∠ABN的度数，解直角三角形ABH，再用勾股定理求出CN的长，最后用CN﹣BN即可． 【解答】解：（1）过点A作CD的垂线，垂足为M，连接AC， 因为CD⊥OD，AO⊥DO， 所以四边形AMDO是矩形， 所以AM＝DO（m），DM＝AO＝1（m）． 在Rt△ACM中， CM， 所以CD＝CM+MD＝6（m）． 答：点C到工作台的距离为6m． （2）连接AC，过点A作BC的垂线，垂足为N， 因为∠ABC＝143°， 所以∠ABN＝37°． 在Rt△ABN中， sin∠ABN， 即AN＝AB•sin37°≈5×0.60＝3（m）． 在Rt△ABN中， BN（m）． 在Rt△ACN中， CN， 所以BC＝CN﹣BN＝6﹣4＝2（m）． 答：机械臂BC的长为2m． 【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 16．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°＝　　，若canB＝1，则∠B＝　60　°． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB，S△ABC＝48，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BDAB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答， 根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°； （2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答． 【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD， ∵∠B＝30°， ∴BD＝ABcos30°AB， ∴BC＝2BDAB， ∴can30°， 若canB＝1， ∴canB1， ∴BC＝AB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， 故答案为：，60； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵canB， ∴， ∴设BC＝8x，AB＝5x， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝4x， ∴AD3x， ∵S△ABC＝48， ∴BC•AD＝48， ∴•8x•3x＝48， ∴x2＝4， ∴x＝±2（负值舍去）， ∴x＝2， ∴AB＝AC＝10，BC＝16， ∴△ABC的周长为36， 答：△ABC的周长为36． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 解直角三角形 课程标准 学习目标 1 掌握基本方法：理解并掌握利用勾股定理和三角函数（正弦、余弦、正切）解直角三角形的基本方法。 2 综合运用：能够综合运用三角函数、勾股定理等知识解决直角三角形的边角关系问题。 3 实际应用：能够将解直角三角形的方法应用于实际生活中的测量、工程等问题。 1. 熟练运用勾股定理：能够熟练运用勾股定理求直角三角形的边长。 2. 灵活使用三角函数：能够灵活运用正弦、余弦、正切等三角函数求直角三角形的边和角。 3. 解决实际问题：能够运用解直角三角形的方法解决实际问题，如测量高度、距离等。 知识点一、直角三角形的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系： 1.三边之间的关系：（勾股定理）； 2.两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）； 3.边与角之间的关系：. 三角函数是连接边与角的桥梁. 知识点二、解直角三角形 通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 图形 未知条件 解法步骤 斜边和一条直角边 a、c b、∠A、∠B 由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b b、c a、∠A、∠B 由求∠B，由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a 两条直角边 a、b c、∠A、∠B 由求c，由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B 斜边和一锐角 ∠A、c ∠B、a、b 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求b ∠B、c ∠A、a、b 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求b 一条直角边和一个锐角 ∠A、a ∠B、b、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b，由求c ∠A、b ∠B、a、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求c ∠B、a ∠A、b、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求b，由求c ∠B、b ∠A、a、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求c 题型01 解直角三角形 1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，，则BC的长为　　． 3．如图，在△ABC中，AC＝8cm，∠A＝30°，∠B＝45°，则BC＝ 　　cm． 题型02 网格问题 1．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠ABC等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　　． 4．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA＝　　． 题型03 四边形中解直角三角形 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（　　） A． B．2 C．8 D． 2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，，则AD的长是 　　． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BD⊥CD．记∠CBD＝α，∠BAD＝β．若4α＝β，，则BC的长为 　 ． 题型04 面积问题 1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　） A．60 B．30 C．240 D．120 2．如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，，该图形阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为斜边上一点，AD＝2，BD＝1，且四边形DECF是正方形，则图中阴影部分面积的和是　　． 4．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝105°，AB＝12． （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积．（结果保留根号） 1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D．4 3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB，BC1，则边AC的长为 　 　． 7．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是 　 　． 8．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D、E都在格点上，连接BD，BE，则∠AEB+∠ADB＝ 　 　． 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在AC上，连接BD，使得BD＝AC，以AC为边向外作△ACE，若CE∥BD，tanE＝2，则边AE的长为 　 　． 11．由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a+c＝12，∠B＝60°； （2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°． 12．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝5，AD＝3，tanC＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，． （1）求AB的长； （2）求sinC的值． 14．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝5，BC＝8，CD⊥AB，垂足为点D．求AC的长和∠A的余弦值． 15．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星“机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，∠ABC＝143°，A、C两点之间的距离为3m，OD＝2m． （1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离； （2）求机械臂BC的长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 16．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°＝　 　，若canB＝1，则∠B＝　 　°． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB，S△ABC＝48，求△ABC的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$