第15讲 特殊角的三角函数-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第15讲 特殊角的三角函数 课程标准 学习目标 1 掌握特殊角的值：理解并熟记30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2 简单应用：能够利用特殊角的三角函数值解决简单的几何问题。 3 计算能力：培养准确计算特殊角三角函数值的能力。 1. 记忆特殊角的值：熟记30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2. 解决简单问题：能够运用特殊角的三角函数值解决实际问题。 3. 提高计算能力：通过练习，提高计算特殊角三角函数值的准确性和速度。 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 锐角 30° 45° 60° 1 1.为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三角形，利用定义进行推导： 2.通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°— 90°之间变化时： ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 4 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 5 题型01 特殊角的三角函数值 1．tan45°的值是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据45°角的锐角三角函数值，即可求解． 【解答】解：原式＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 2．若锐角α＝30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【解答】解：若锐角α＝30°， 则cosα， 故选：B． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握该知识点是解题的关键． 3．在△ABC中，若，则∠C＝　　°． 【分析】首先根据非负数的性质得出sinA和tanB的值，继而求得∠A和∠B的度数，最后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数． 【解答】解：由题意得，sinA，tanB， 则∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°． 故答案为：90． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和非负数的性质：绝对值与偶次方，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 4．计算： （1）tan45°﹣sin30°•cos60°； （2）． 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）tan45°﹣sin30°•cos60° ＝1 ＝1 ； （2） ＝2． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 1．在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　） A．45° B．75° C．105° D．120° 【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：由题意得，sinA0，cosB＝0， 即sinA，cosB， 解得，∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°， 故选：C． 【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【解答】解：∵，α为锐角， ∴α＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 3．计算2sin60°的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解决问题． 【解答】解：因为sin60°， 所以2sin60°＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB）（2sinA）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形 【分析】根据题意，tanB0或2sinA0．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB）（2sinA）＝0， ∴tanB0或2sinA0， 即tanB或sinA． ∴∠B＝60°或∠A＝60°． ∴△ABC有一个角是60°． 故选：D． 【点评】本题重点考查特殊角的三角函数值、三角形形状的判断，注意分类讨论． 5．若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　45°　． 【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可． 【解答】解：∵∠A为锐角，且tanA＝1，tan45°＝1， ∴∠A＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 6．已知α为锐角，且cos（80°﹣α），则α＝　20　°． 【分析】根据求解即可． 【解答】解：∵α为锐角，且， ∴80°﹣α＝60°，则α＝20°， 故答案为：20． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 7．计算：sin30°　　． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 8．若锐角x满足cos（x﹣10°），则x为 　40°　． 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答． 【解答】解：∵cos（x﹣10°）， ∴x﹣10°＝30°， 解得：x＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C＝　105　度． 【分析】根据非负数的性质可求出sinA和cosB的值，根据特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的值，再根据三角形的内角和是180度，求出∠C的值． 【解答】解：由题意知sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝30°． ∴∠C＝105°． 【点评】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理． 初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每个部分都等于0． 10．在△ABC中，，则△ABC的形状为　等边三角形　． 【分析】先利用非负数的和得到2sinA0，cosB0，则sinA，cosB，再利用特殊角的三角函数值确定∠A＝∠B＝60°，然后根据等边三角形的判定方法可确定△ABC的现状． 【解答】解：根据题意得2sinA0，cosB0， 所以sinA，cosB， 所以∠A＝60°，∠B＝60°， 所以△ABC为等边三角形． 故答案为等边三角形． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了非负数的性质． 11．计算：（﹣4）﹣12cos30°． 【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意||，（﹣4）﹣1，（）0＝1． 【解答】解：原式1﹣2． 【点评】本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a﹣p．任何不等于0的数的0次幂是1． 12．计算：（1）cos60°﹣sin245°60°； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60°． 【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入即可计算． 【解答】解：（1）cos60°﹣sin245°60° （）2 ； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60° ＝1． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值． 13．计算： （1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45° （2）cos30°sin45°+sin30°cos45°． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：（1）原式＝234×1； （2）原式． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 14．求下列各式的值． （1）2cos60°+3sin30°﹣2tan45° （2）tan260﹣2sin60°sin45°． 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案； （2）根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 【解答】解：（1）原式＝232×1； （2）原式＝（）2﹣2 ＝3． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 15．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA|+（sinB）2＝0，求∠C的度数． 【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：∵|cosA|≥0，（sinB）2≥0， ∴当|cosA|+（sinB）2＝0，则cosA，sinB． ∴∠A＝60°，∠B＝45°． ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点评】本题主要考查绝对值、偶次方、特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 特殊角的三角函数 课程标准 学习目标 1 掌握特殊角的值：理解并熟记30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2 简单应用：能够利用特殊角的三角函数值解决简单的几何问题。 3 计算能力：培养准确计算特殊角三角函数值的能力。 1. 记忆特殊角的值：熟记30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2. 解决简单问题：能够运用特殊角的三角函数值解决实际问题。 3. 提高计算能力：通过练习，提高计算特殊角三角函数值的准确性和速度。 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 锐角 30° 45° 60° 1 1.为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三角形，利用定义进行推导： 2.通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°— 90°之间变化时： ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 4 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 5 题型01 特殊角的三角函数值 1．tan45°的值是（　　） A． B． C．1 D． 2．若锐角α＝30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D．1 3．在△ABC中，若，则∠C＝　　°． 4．计算： （1）tan45°﹣sin30°•cos60°； （2）． 1．在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　） A．45° B．75° C．105° D．120° 2．若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．计算2sin60°的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB）（2sinA）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形 5．若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　 　． 6．已知α为锐角，且cos（80°﹣α），则α＝　 　°． 7．计算：sin30°　 　． 8．若锐角x满足cos（x﹣10°），则x为 　 　． 9．△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C＝　 　度． 10．在△ABC中，，则△ABC的形状为　 　． 11．计算：（﹣4）﹣12cos30°． 12．计算：（1）cos60°﹣sin245°60°； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60°． 13．计算： （1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45° （2）cos30°sin45°+sin30°cos45°． 14．求下列各式的值． （1）2cos60°+3sin30°﹣2tan45° （2）tan260﹣2sin60°sin45°． 15．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA|+（sinB）2＝0，求∠C的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$