第14讲 正弦、余弦（3大考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第14讲 正弦、余弦 课程标准 学习目标 1 理解概念：掌握正弦、余弦的定义及其在直角三角形中的表示。 2 应用计算：能够利用正弦、余弦解决实际问题，如边长和角度的计算。 3 图形结合：理解正弦、余弦函数图像的基本特征及其变化规律。 1. 掌握定义：理解并熟练运用正弦、余弦的定义。 2. 解决问题：能够运用正弦、余弦解决实际几何问题。 3. 图像分析：掌握正弦、余弦函数图像的基本性质，并能进行简单分析。 知识点一、正弦、余弦的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即. 1.正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对其锐角而引入的，其大小与角的大小有关，与三角形的大小无关； 2.在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以（∠A为锐角）； 3.在初中，我们把锐角的正切、正弦和余弦统称为锐角三角函数. 知识点二、正弦、余弦值随锐角α的变化规律 1.正弦值随着锐角角度的增大而增大，余弦值随着锐角角度的增大而减小； 2.对于锐角，若，则 知识点三、互余两角的三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90° （1）互余关系：； （2）平方关系：； （3）倒数关系：或； （4）商数关系：. 题型01 锐角三角函数的定义 1．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 3．如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 题型02 锐角三角函数的增减性 1．将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角函数值（　　） A．都扩大到原来的n倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有tanA发生变化 2．已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 3．比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 4．cos57° 　　sin53°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 题型03 同角三角函数的关系 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，．则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为　　． 4．已知，则tanα＝　　． 1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，那么tanB等于（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝　 　． 7．△ABC中，∠C＝90°，tanA，则sinA+cosA＝　 　． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 　 　． 9．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为　 　． 10．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　 　． 11．化简：（1﹣cotα）sinα． 12．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA．求AB的长和sinB的值． 14．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值． 15．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 正弦、余弦 课程标准 学习目标 1 理解概念：掌握正弦、余弦的定义及其在直角三角形中的表示。 2 应用计算：能够利用正弦、余弦解决实际问题，如边长和角度的计算。 3 图形结合：理解正弦、余弦函数图像的基本特征及其变化规律。 1. 掌握定义：理解并熟练运用正弦、余弦的定义。 2. 解决问题：能够运用正弦、余弦解决实际几何问题。 3. 图像分析：掌握正弦、余弦函数图像的基本性质，并能进行简单分析。 知识点一、正弦、余弦的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即. 1.正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对其锐角而引入的，其大小与角的大小有关，与三角形的大小无关； 2.在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以（∠A为锐角）； 3.在初中，我们把锐角的正切、正弦和余弦统称为锐角三角函数. 知识点二、正弦、余弦值随锐角α的变化规律 1.正弦值随着锐角角度的增大而增大，余弦值随着锐角角度的增大而减小； 2.对于锐角，若，则 知识点三、互余两角的三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90° （1）互余关系：； （2）平方关系：； （3）倒数关系：或； （4）商数关系：. 题型01 锐角三角函数的定义 1．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴sinB， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可． 【解答】解：由勾股定理，得 ABBC， ∴sinA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用锐角三角函数中余弦的定义，得到cosA，从而得到结果． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5， ∴cosA． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数中余弦的定义，结合图象，在直角三角形中得到相应边长的比是解题的关键． 题型02 锐角三角函数的增减性 1．将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角函数值（　　） A．都扩大到原来的n倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有tanA发生变化 【分析】根据锐角三角函数的定义，将Rt△ABC的斜边和一直角边都扩大n倍，那么锐角A的三角函数值没有变化． 【解答】解：根据题意将Rt△ABC的斜边和一直角边都扩大n倍，那么另一直角边也扩大n倍， 即这一直角三角形的三边都扩大了n倍，所以锐角A的三角函数值没有变化． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键． 2．已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（　　） A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【分析】利用正弦值随角度的增大而增大，再利用特殊角的三角函数值，进而得出答案． 【解答】解：∵sin60°0.87，sin45°0.7，正弦值随角度的增大而增大， ∴sinα＝0.75，则45°＜α＜60°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键． 3．比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1 ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 4．cos57° 　　sin53°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【分析】根据cosa＝sin（90°﹣a），把余弦函数转化为正弦函数，然后根据正弦函数值随角度增大而增大判断． 【解答】解：∵cos57° ＝sin（90°﹣57°）＝sin33°，sin33°＜sin53°， ∴cos57°＜sin53°． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，根据函数的性质转化为同一类函数是关键． 题型03 同角三角函数的关系 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由锐角的正弦定义得到sinA，令BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理求出AC4x，即可得到cosA． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°， ∵sinA， ∴令BC＝3x，AB＝5x， ∴AC4x， ∴cosA． 故选：C． 【点评】本题考查同角三角函数关系，关键是掌握锐角的正弦，余弦定义． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，．则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知可设BC＝3a，则AC＝4a，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴设BC＝3a，则AC＝4a， ∴AB5a， ∴cosA， 故选：B． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为　　． 【分析】根据sin2B+cos2B＝1，即可求出答案． 【解答】解：∵sin2B+cos2B＝1，cosB， ∴sin2B＝1﹣（）2， ∵∠B为锐角， ∴sinB． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin2B+cos2B＝1是解此题的关键，难度适中． 4．已知，则tanα＝　　． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：如图，由于，可设BC＝5k，则AB＝13k，由勾股定理得， AC12k， ∴tanα， 故答案为：． 【点评】本题考查同角三角函数的关系以及勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，那么tanB等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义计算选择即可． 【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝5，AB＝12， ∴， 故选D． 【点评】本题考查了三角函数的计算，理解锐角三角形函数的定义是解题的关键． 2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理算出AC，再结合求解，即可解题． 【解答】解：如图所示： 根据勾股定理可得AC， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理得BC＝12，进而利用三角函数定义即可得解． 【解答】解：如图，根据勾股定理得，BC12， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：， 则， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，理解三角函数的定义是关键． 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【分析】取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO＝90°，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO＝90°， ∵AC，AO2， ∴sin∠AOB． 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝　16　． 【分析】先利用三角函数求出AB的长，在根据勾股定理可以求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴，即， ∴AB＝20， 由勾股定理得：， 故答案为：16． 【点评】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确理解正弦函数和勾股定理的应用． 7．△ABC中，∠C＝90°，tanA，则sinA+cosA＝　　． 【分析】根据tanA和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值． 【解答】解：如图，∵tanA， ∴设AB＝5x，则BC＝4x， AC＝3x， 则有：sinA+cosA， 故答案为：． 【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 　　． 【分析】根解直角三角形的方法求解即可． 【解答】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查余弦的定义，掌握表示AD和AB的长是解题的关键． 9．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为　　． 【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案． 【解答】解：如图：作BD⊥AC于D， BD，AD＝3， tanA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 10．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　2　． 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PFCFBF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故答案为：2 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 11．化简：（1﹣cotα）sinα． 【分析】把的分子利用平方差公式分解，把cotα化成，即可化简． 【解答】解：原式（1）•sinα ＝sinα+cosα+sinα﹣cosα ＝2sinα． 【点评】本题主要考查了同角的三角函数之间的关系以及平方差公式，把式子中的分子利用平方差公式分解是解题的关键． 12．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， 根据勾股定理可得：AC＝4， ∴sinA，cosB，tanA． 【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，是需要识记的内容． 并且根据定义可得：sinA＝cosB． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA．求AB的长和sinB的值． 【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA， ∴AC＝12， ∴AB6， ∴sinB． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键． 14．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值． 【分析】设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，根据勾股定理求出DE，BE，即可求出答案． 【解答】解： 过D作DE⊥AB于E， 设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a， 由勾股定理得：BDa， 由勾股定理得：AB2a， ∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°， ∴AE＝DE＝AD×cosAaa， ∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BEa， ∴sin∠ABD， tan∠ABD． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力． 15．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值． 【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线． （2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解． 【解答】（1）证明：法一、连接AD、OD， ∵AC是直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点， 又∵O是AC的中点， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 法二、连接OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵AB＝AC， ∴∠OCD＝∠B， ∴∠B＝∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：由（1）知OD∥AE， ∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA， ∴△FOD∽△FAE， ∴， ∴， ∴， 解得FC＝2， ∴AF＝6， ∴Rt△AEF中，cos∠FAE． 【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．并且本题还考查了三角函数的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$