第13讲 正切-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第13讲 正切 课程标准 学习目标 1 理解正切的概念，知道在直角三角形中，正切是一个锐角的对边与邻边的比值，掌握其定义式。 2 能运用正切值来确定直角三角形中锐角的大小，以及根据已知锐角的正切值和边的长度，计算其他边的长度，解决简单几何问题。 3 培养学生通过正切概念进一步认识直角三角形边角关系的能力，体会三角函数在解决几何与实际问题中的应用价值。 1. 牢记正切的定义、表示方法及在直角三角形中的位置关系，理解其作为三角函数的基本意义。 2. 会根据直角三角形的边的长度准确计算锐角的正切值，也能依据正切值和已知边求出其他边的长度，具备解决相关几何计算问题的能力。 3. 能够运用正切知识，结合其他几何知识，在实际情境或复杂几何图形中进行角度、边的分析与求解，提升综合应用能力。 1.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA，则. 2.tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，tan A表示的是∠A的正切，不是tan与∠A的乘积. 3.若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略. 4.表示，可以写成，不能写成. 5.锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 题型01 正切 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D．2 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，，则BC＝ 　　． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tanA的值为（　　） A． B． C． D．2 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tanB的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 5．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B．2 C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tanA的值为 　 　． 7．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 　 　． 8．在△ABC中，∠C＝90°，，△ABC的周长为60，那么AB为 　 　． 9．等边△ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，则tan∠DBC的值为 　 　． 10．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC等于 　 　． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，求tanA与tanB的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 正切 课程标准 学习目标 1 理解正切的概念，知道在直角三角形中，正切是一个锐角的对边与邻边的比值，掌握其定义式。 2 能运用正切值来确定直角三角形中锐角的大小，以及根据已知锐角的正切值和边的长度，计算其他边的长度，解决简单几何问题。 3 培养学生通过正切概念进一步认识直角三角形边角关系的能力，体会三角函数在解决几何与实际问题中的应用价值。 1. 牢记正切的定义、表示方法及在直角三角形中的位置关系，理解其作为三角函数的基本意义。 2. 会根据直角三角形的边的长度准确计算锐角的正切值，也能依据正切值和已知边求出其他边的长度，具备解决相关几何计算问题的能力。 3. 能够运用正切知识，结合其他几何知识，在实际情境或复杂几何图形中进行角度、边的分析与求解，提升综合应用能力。 1.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA，则. 2.tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，tan A表示的是∠A的正切，不是tan与∠A的乘积. 3.若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略. 4.表示，可以写成，不能写成. 5.锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 题型01 正切 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D．2 【分析】根据勾股定理求出BC，解直角三角形求出即可． 【解答】解：由勾股定得：BC2， 则tanA2， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，能够熟练地运用知识点进行计算是解此题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC4， ∴tanA， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正切函数的定义求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，，则BC＝ 　　． 【分析】根据正切的定义解答即可． 【解答】解：， ∴BC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了正切的定义，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于锐角A对边与邻边的比值． 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tanA的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据正切公式即可得到答案； 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查正切的定义，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tanB的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1， ∴BC2， ∴tanB， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据tan∠B即可解答． 【解答】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC3． ∴tan∠B． 故选：D． 【点评】本题比较简单，考查的是勾股定理及锐角三角函数的定义，即在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接小正方形的对角线，证明△BCD是直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 【解答】解：如图，连接小正方形的对角线BD， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得，， ∵， 即CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tanA的值为 　　． 【分析】利用勾股定理先求出b的长，然后再利用锐角三角函数进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3a， ∴b2a， ∴tanA， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 　2　． 【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可． 【解答】解：tan∠AOB2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义． 8．在△ABC中，∠C＝90°，，△ABC的周长为60，那么AB为 　26　． 【分析】根据△ABC中，∠C是直角，利用锐角三角函数的定义，即可得到结果． 【解答】解：如图： ∵∠C＝90°，， ∴tanA， ∴设AC＝5x，则BC＝12x， ∴在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝（13x）2， ∴AB＝13x， ∵△ABC的周长为60， ∴AB+AC+BC＝60， ∴5x+12x+13x＝60， ∴30x＝60， ∴x＝2， ∴AB＝13x＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，熟悉锐角三角函数的定义，得到直角三角形中相应边的比是解题的关键． 9．等边△ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，则tan∠DBC的值为 　或　． 【分析】分两种情况讨论，并画出图形，①当D在AC之间，根据等边三角形的性质，求出AB＝AC＝BC，∠C＝60°， 再根据AB＝2AD，得出∠BDC＝90°，从而求出tam∠DBC的值；②当D在CA延长线上时，过点D作DE⊥BC于E，设AD＝x，则AB＝AC＝BC＝2x，在Rt△DEC中用三角函数表示两条直角边，从而求出tan∠DBC的值． 【解答】解：如图①，当D在AC之间 ∵在等边△ABC中， AB＝AC＝BC，∠C＝60°， ∵AB＝2AD， ∴AD＝CD， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝30°， ∴tam∠DBC； 如图②，当D在CA延长线上时，过点D作DE⊥BC于E， ∵在等边△ABC中， AB＝AC＝BC，∠C＝60°， ∵AB＝2AD， ∴设AD＝x，则AB＝AC＝BC＝2x， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴ECDC＝1.5x，EDx，BE＝0.5x， ∴tan∠DBC3， 故答案为：3或． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质的应用，分情况讨论，作出相应的图形是解题关键． 10．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC等于 　　． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：由题意可得tan∠ABC， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，求tanA与tanB的值． 【分析】直接利用正切的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴tanA， tanB． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数（锐角的正弦、余弦、正切）的定义是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$