18.1.2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定（2） 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

18.1　平行四边形 18.1.2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定（2） 1. 平行四边形的判定 一组对边 的四边形是平行四边形. 符号语言： ∵AB∥CD（或AD∥BC），AB＝CD（或AD＝ BC）， ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行且相等　 知识导航 2. 灵活选用判定方法判定平行四边形 已知条件 可能的方法 边 一组对边 相等 两组对边分别 或一组对边 ⁠ ⁠证明平行四边形 一组对边 平行 两组对边分别 或一组对边 ⁠证明平行四边形 相等　 平行且相等 平行　 平行且相等 　 知识导航 已知条件 可能的方法 角 一组对角相等 ⁠证明平行四边形 对角线 ⁠证明平行四边形 两组对角分别相等　 对角线互相平分　 知识导航 题型一由一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形 如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE. 求证： 典例导思 （1）△ACD≌△CBF； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°. 在△ACD和△CBF中， ∴△ACD≌△CBF（SAS）. 典例导思 （2）四边形CDEF为平行四边形. （2）∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝ ∠BCF. ∵△AED为等边三角形， ∴∠ADE＝60°，且AD＝DE. ∴CF＝DE. ∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝ ∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°， ∴∠EDB＝∠BCF. ∴ED∥FC. ∴四边形CDEF为平行四边形. 典例导思 1. （2024·成都七中）如图，已知AB∥CD，添加下列 条件可以使四边形ABCD为平行四边形的是（　C　） A. ∠1＝∠2 B. AD＝BC C. AB＝CD D. AD＝AB （第1题） C 典例导思 2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， AC，BD相交于点O. 若BD＝6，则BO的长度等 于 ⁠. （第2题） 3　 典例导思 3. （2024·重庆西附）如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，AE＝ CE. （第3题） 典例导思 （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （1）证明：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠ECD. 在△AEF和△CED中， ​ ∴△AEF≌△CED（ASA），∴AF＝CD. 又∵AB∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形. （第3题） 典例导思 （2）若BC＝8，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求 AC的长. （第3题） 典例导思 （2）解：如答案图，过点C作CM⊥AB于点M，则 ∠CMA＝∠CMB＝90°. ∵AB∥CD，∴∠B＋∠DCB＝180°， ∴∠B＝180°－135°＝45°， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴CM＝ BC＝ ×8＝4 .∵∠BAC＝60°， ∴∠ACM＝90°－∠BAC＝30°，∴AC＝2AM，∴CM＝ ＝ ＝ AM＝4 ， （答案图） ∴AM＝ ，∴AC＝2AM＝ . 典例导思 题型二平行四边形的性质和判定的综合应用 （2024·湖南）如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，点E在边AB上， 　　　　. 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这 两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序 号），再解决下列问题： 典例导思 （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （1）证明：选择①. ∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB. 又∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形. 选择②. ∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE. 又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形. 典例导思 （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的 长. （2）解：由（1）得，四边形 BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10. ∵AD⊥AB，AD＝8， ∴AE＝ ＝6. 典例导思 （2024·安徽改编）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝ CN. 点E，F分别是BD与AN，CM的交点. 求证：OE＝OF. 典例导思 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. 又∵AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）.∴OE＝OF. 典例导思 4. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中 点，连接AF，CE，DE，BF，EF，AF与DE交于点 G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形 （　D　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 （第4题） D 典例导思 5. 如图，在▱ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.设点P的运动时间为t s，在运动过程中，当t＝ 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形. 4.8或8或9.6　 （第5题） 典例导思 6. 如图1，在长方形ABCD中，点E为对角线AC上的一 点（不与点A重合）.将△ADE沿射线AB方向平移到 △BCF的位置，点E的对应点为点F. 过点E作 EG∥BC，交FB的延长线于点G，连接AG. （第6题） （1）求证：△EGA≌△BCF； 典例导思 （1）证明：由平移可知，AE＝BF，AE∥BF. ∴∠ACB＝∠FBC. ∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ACB， ∴∠AEG＝∠FBC. ∵EG∥BC，CE∥BG， ∴四边形CEGB是平行四边形， ∴EG＝BC，∴△EGA≌△BCF（SAS）. 典例导思 （2）求证：四边形ACFG是平行四边形； （2）证明：∵四边形CEGB是平行四边形， ∴CE＝GB. ∵AE＝BF，∴CE＋AE＝GB＋BF. ∴AC＝GF. ∵△EGA≌△BCF，∴GA＝CF. ∴四边形ACFG是平行四边形. （第6题） 典例导思 （3）如图2，连接CG. 若AB＝4，BC＝2，当CF最小 时，CG的长为 ⁠. 　 （第6题） 典例导思 （3）解：由平移可知，CF＝DE， 即当DE取最小值时，CF才取最小值.∵AB＝4， BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝ ＝2 . 当DE⊥AC时，DE取最小值. 此时S△ACD＝ AC·DE＝ AD·CD， 即2 ×DE＝2×4，解得DE＝ ，∴CF＝DE＝ 由（2）可得，四边形ACFG是平行四边形， 典例导思 ∴GF＝AC＝2 . ∵∠F＝∠DEA＝90°，∴CG＝ ＝ . 故答案为 . 典例导思 $$