重难点专题训练二 反比例函数（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练二 反比例函数思维导图 专题训练01反比例函数的增减性 1．已知三个点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 3．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 专题训练02反比例函数的对称性 1．反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（     ） A．位于第二、四象限 B．图象过点（-1,3） C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大 2．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 3．阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 专题训练03一次函数与反比例函数的结合应用 1．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 专题训练04反比例函数中的图形面积问题 1．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点A的反比例函数解析式为，若，则经过顶点B的反比例函数解析式为 ． 3．如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 专题训练05反比例函数的应用 1．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 2．兰州拉面是兰州著名的风味小吃，享誉全国．兰州拉面的制作工艺独特，包括选料、和面、醒面、溜条和拉面等步骤，它巧妙地运用了面筋蛋白质的延伸性和弹性．某厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度（单位：）是面条横截面面积（单位：）的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 3．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示． (1)求反比例函数解析式，当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度？ 专题训练06反比例函数的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 专题训练07反比例函数的翻折 1．如图，直线：与x轴交于点A，与反比例函数l的图象交于点，轴．若沿翻折后的直线交反比例函数l于点．    (1)求n的值； (2)求直线的解析式． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求，的值； (2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 专题训练08反比例函数的旋转 1．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于第一、三象限内的，两点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）若将直线绕点旋转得到直线，当直线与双曲线有且只有一个交点时，直接写出此时直线的解析式． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y=的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90°到点A． (1)若点A的坐标为（4，2）． ①求k的值； ②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (2)当k=﹣1，点B在反比例函数y=的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式． 专题训练09反比例函数的最值 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 3．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 专题训练10反比例函数的全等三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B的坐标为，且满足，过点B作交y轴于点D，若点A为线段上一点，且． (1)求点B的坐标； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点D运动，点P、Q同时出发，当点Q停止运动时，点P也停止运动．在点P、Q的运动过程中，线段上是否存在点R，使得与全等?若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中m、n满足二元一次方程组． (1)求点B和点C的坐标； (2)点P从点出发，沿y轴正方向运动，连接，设的长度为t，的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，是的中线，点P从点E出发的同时，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，速度是点P速度的三倍，连接，若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，求此时点Q的坐标． 专题训练11反比例函数的等腰三角形 1．如图，直线交x轴于点，交y轴于点B，交反比例函数于点P（第一象限），若点P的纵坐标为2，且 (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点C作x轴的垂线，交反比例函数于点D，连接，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴的交点为、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出时的范围； (4)是轴上的一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 专题训练12反比例函数的等腰直角三角形 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 3．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 专题训练13反比例函数的直角三角形 1．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中． (1)求a的值以及点B的坐标； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 3．如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 专题训练14反比例函数的无刻度尺作图 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 2．如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)求点的坐标． 专题训练15反比例函数的几何与函数图象结合 1．如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； (2)在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 3．如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 专题训练16反比例函数的新定义 1．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 2．对于一个函数给出如下定义：对于函数，当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属函数”．例如：正比例函数，当，，则，求得：，所以函数为“3属函数”． (1)已知一次函数 为“属函数”，则的值为 ； (2)反比例函数 为“属函数”，求的值； (3)反比例函数 ， 且 是“属函数”，且，请求的值． 3．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，则称点是点的等和点． (1)已知点 ①在，，中，点的等和点有________； ②点在直线上，若点是点的等和点，求点的坐标； (2)已知：点、是双曲线上的两点，且都是点的等和点，则的面积为________． 专题训练17反比例函数的定值 1．已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 2．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． (1)求m (2)若，求的度数 (3)如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 专题训练18反比例函数的等角 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)当与的面积相等时，求点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 3．如图，直线交反比例函数的图象于点和点B． (1)求：m、k的值； (2)若直线，交反比例函数另一支图象于点C，求C的坐标． (3)在y轴上是否存在点D，使，若存在，求出点D坐标，不存在，说明理由． 专题训练19反比例函数的倍线 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求的值； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 2．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、与交于，与直线交于，且． (1)点的坐标为______，______，______，______； (2)点为直线上一动点，其横坐标为轴于点，交直线于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点在第一象限内，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，直接写出的取值范围． 专题训练20反比例函数的阅读理解 1．阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． (1)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (2)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 2．阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． (1)函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； (2)如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； (3)在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 3．阅读理解：有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：___________ (2)下表是y与x的几组对应值：则m的值为：___________ x … 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 3 2 … (3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________ (5)若函数的图象上有三个点且，则间的大小关系为：___________ ． （用“<”连接） 专题训练21反比例函数的迁移探究 1．九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； (4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 2．知识迁移 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当时取等号). 记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为 直接应用 已知函数与函数, 则当____时,取得最小值为___. 变形应用 已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值. 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 3．（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　． （2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|． ①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　． ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　． （3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值． （4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种． 专题训练22反比例函数的项目化学习 1．项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如下图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： (1)直接写出e关于t的函数解析式； (2)求e关于s的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)当汽车充满电行驶时，求仪表盘显示的电量． 2．下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点． 【分组探究】 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． 根据图1回答下列问题 （1）赛跑的全程是________米，乌龟比兔子早到达终点________分钟； （2）乌龟在这次比赛中的平均速度是________米/分钟； （3）求兔子睡醒后的函数解析式．（不需要写自变量取值范围） 【故事改编】 B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象． 根据图2回答问题： （4）图2中，自变量x表示兔子和乌龟所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，在乌龟行进过程中，请直接写出当兔子出发多长时间，乌龟和兔子相距米？ 3．项目化学习 项目主题：玉米种子购买方案的选择 项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系； 研究步骤： （1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； （2）对收集的信息进行整理描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息：信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内（含3） 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决： （1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量（）之间的函数关系式； （2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练二 反比例函数思维导图 专题训练01 反比例函数的增减性 1．已知三个点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象可得，再根据反比例函数的增减性可得． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象在第一、第三象限，y随x增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，点在第三象限，和在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例（）的图像上， ∴，，， ∵， ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，；或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 专题训练02反比例函数的对称性 1．反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（     ） A．位于第二、四象限 B．图象过点（-1,3） C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、反比例函数中的，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数，当时，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意； D、反比例函数中的，则在每个象限内，随的增大而增大，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单． 2．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 3．阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【答案】(1) (2) (3)该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵函数有意义， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴的对称中心为． （3）函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到． 专题训练03一次函数与反比例函数的结合应用 1．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 2．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 【答案】 4 4 【分析】（1）点)在反比例函数的图像上，代入可求得k的值，再求得m的值； （2）先求得直线的解析式，再结合函数图像可求解． 【详解】解：（1）点、在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：4，4； （2）设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 如下图，当直线在点和点之间时，阴影区域（不包括边界）内有4个整点， 当经过 点时，，解得； 当经过点时，，解得； 若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图形与系数的关系，反比例函数的图像和性质，数形结合是解题的关键． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． （3）解：根据图象得：不等式的解集为或． 专题训练04反比例函数中的图形面积问题 1．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，设轴于点，轴于点，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，，然后代入即可求值，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点，轴于点， ∵，的纵坐标分别是和， ∴代入函数关系式可得横坐标分别为，， ∴，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点A的反比例函数解析式为，若，则经过顶点B的反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中k的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中k的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点B的反比例函数解析式为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 经过顶点B的反比例函数解析式为． 故答案为：． 3．如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 专题训练05反比例函数的应用 1．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省 【分析】（）根据矩形的面积可得与之间的函数表达式，再根据墙长可得自变量的取值范围； （）根据与的函数表达式及的取值范围且，都为整数，可得可取值为，对应的取值为，进而根据得到有两种情况：，或，，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，， 与之间的函数表达式为， ∵墙长为， ∴自变量的取值范围为； （2）解：由（）知，，且，都为整数， 可取值为，对应的取值为， ∵， ∴有两种情况：，或，， 当，时，需要材料：； 当，时，需要材料：； ， ∴当，时，围建矩形小花园所需材料最省． 2．兰州拉面是兰州著名的风味小吃，享誉全国．兰州拉面的制作工艺独特，包括选料、和面、醒面、溜条和拉面等步骤，它巧妙地运用了面筋蛋白质的延伸性和弹性．某厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度（单位：）是面条横截面面积（单位：）的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，当面条的横截面积为时，面条长度为 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质． （1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将点代入反比例函数中即可得到，结合题意解释的实际意义． 【详解】（1）解：设y与S之间的函数表达式为， 将点代入可得， y与S之间的函数表达式为． （2）解：将点代入，解得：， 实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为． 3．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示． (1)求反比例函数解析式，当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1)反比例函数解析式，当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是米 (2)小明的眼镜度数增加了300度 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为米代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． （1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案； （2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再减去200度即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为． 由图象可知，当时，， ∴，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，． ∴当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是米． （2）解：解：当时，， （度）． 答：小明的眼镜度数增加了度． 专题训练06反比例函数的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)不等式的解集为或 (3)平移后的直线的函数表达式为 【分析】（1）把代入得到，把代入，求出k值，即可求解； （2）解方程组得到， 利用数形结合，由图象可得到的解集为或； （3）设直线l2与y轴交于D，设平移后的直线的函数表达式为，求得，连接，根据，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解 ∶ 直线经过点A，A点的横坐标是， 当时，， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴联立，得，解得：或， ， 不等式的解集为或； （3）解：如图，设平移后的直线与y轴交于点D，连接， ∵由平移可得， ∴， ， 即， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得：， ∴平移后的直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图形平移，直线与坐标轴围成的图形的面积 ，求出A、B的坐标是解决本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①求出点坐标为，设直线的函数表达式为由直线经过点，代入即可求出的值；②求出直线的解析式，得到点坐标为，点坐标为，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得 ∴反比例函数表达式为 点在反比例函数的图象上， ，得 ∴点坐标为 点，点都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）①由（1）得点坐标为， 根据题意，点坐标为， 点在轴正半轴上，且， 点坐标为， 设直线的函数表达式为 ∵直线经过点， ，得； ②设直线，根据题意得 解得 ∴， 当时，， 点坐标为， 当时， ∴点坐标为， ∴的面积． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等，是解题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，，解得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴， 由题意得：， ∴，同底等高， ∵， ∴． 专题训练07反比例函数的翻折 1．如图，直线：与x轴交于点A，与反比例函数l的图象交于点，轴．若沿翻折后的直线交反比例函数l于点．    (1)求n的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）把 、 的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于 、 的方程组，可求得n的值； （2）过点 作 ， 垂足为 ，并延长 交 于点 ，可证明 ，则可求 得 的坐标，由 、 的坐标，利用待定系数法可求得直线 的解析式； 【详解】（1）设反比例函数解析式为， ∵点 、 在反比例函数 的图象上， ∴，解得 ∴n的值为4； （2）如图，过点 作 ，垂足为 ，并延 长 交 与点 ， 由（1）可得 由题意翻折可得，    在 和 中 将点 代入直线 得： 解得 ∴一次函数 的表达式为 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上的点与函数解析式的关系、待定系数法、全等三角形的判定和性质及数形结合思想等知识；在（1）中由B、P的坐标得到m、n的方程是解题的关键，在（2）中构造全等三角形，求得P的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点处，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，坐标与图形； （1）将点的坐标代入，反比例数解析式，得出，进而将点的坐标代入，求得； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据轴对称的性质得出的坐标，进而根据割补法求三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得． ∴， 将代入，即 ∴； （2）根据函数图象可知： 或 （3）∵一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∴图象沿轴翻折后，得， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 则，，，， ∴的面积为8． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求，的值； (2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 【答案】(1)，； (2)一次函数的取值范围为，反比例函数的取值范围为； (3)8 【分析】（1）将点代入解析式即可求出； （2）分别求出解析式，再利用随的增大而变化的情况得到的范围； （3）利用翻折得到，再使用割补法求出三角形的面积． 【详解】（1）将代入，得， 该反比例函数解析式为， 将代入，得； （2）将，代入得： ，解得， ， 当时，一次函数中，随的增大而减小， 时，最大；时，最小， 故的取值范围为， 当时，反比例函数中，随的增大而增大， 时，最小；时，最大， 故反比例函数的取值范围为； （3）一次函数与轴交于点C，得，故， 点沿轴翻折至点，作于，作于，如下图： 由图形可知：， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，计算点的坐标，范围，任意3点构成三角形的面积，根据条件逐步计算是解题的关键． 专题训练08反比例函数的旋转 1．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，延长至点，连接．，． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将绕点旋转，请直接写出旋转后点A的对应点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）解直角三角形求出，从而得到，根据题意得出即可得到反比例函数解析式； （2）根据旋转的三要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向可知分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵轴于点，，， ∴在中，， ∴， ∵点A在直线上，当时，， ∴， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：将绕点旋转，并没有说清楚是顺时针还是逆时针，故分两种情况： 在①顺时针旋转，如图所示： ， ， 在第四象限， ； ②逆时针旋转，如图所示： ， ， 在第二象限， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形以及待定系数法求反比例函数的解析式等知识，解题的关键是求出点A的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于第一、三象限内的，两点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）若将直线绕点旋转得到直线，当直线与双曲线有且只有一个交点时，直接写出此时直线的解析式． 【答案】（1），；（2）或或 【分析】（1）先把点的坐标代入双曲线的解析式求出，即可得出反比例函数的解析式，求出A点的坐标，代入求出直线的解析式即可； （2）分三种情况讨论，求得直线的解析式即可． 【详解】解：（1）把代入（）可得， ∴双曲线为， 把点代入得，解得， ∴， 把，代入，可得， 解得， ∴直线为； （2）当直线平行于轴时，直线与双曲线有且只有一个交点，此时直线为； 当直线垂直于轴时，直线与双曲线有且只有一个交点，此时直线为； 当直线与双曲线相切于点时，直线与双曲线有且只有一个交点， 设直线为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴， 令，整理得，， 则， 解得， ∴直线为， 综上，直线的解析式为或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，解题的关键是综合运用相关知识解题． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y=的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90°到点A． (1)若点A的坐标为（4，2）． ①求k的值； ②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (2)当k=﹣1，点B在反比例函数y=的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式． 【答案】(1)①k的值为-8；②点P的坐标为（﹣4，2），（﹣2，4），（2，﹣4）或（4，﹣2） (2)点A在上运动 【分析】（1）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过同角的余角相等结合旋转的性质即可证出△BOF≌△OAE，根据全等三角形的性质找出相等边，再结合点A的坐标以及点B所在的位置即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；②假设存在，设点P的坐标为（m，n），根据等腰三角形的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出点P的坐标； （2）设点B的坐标为（a，b），由（1）①可知点A的坐标为（b，-a），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】（1）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示． ∵BF⊥x轴，AE⊥x轴， ∴∠BFO=OEA=90°， ∴∠OBF+∠BOF=90°，∠BOF+∠AOE=90°， ∴∠OBF=∠AOE． 在△BOF和△OAE中，有， ∴△BOF≌△OAE（AAS）， ∴OF=AE，BF=OE． ∵点A（4，2）， ∴点B（﹣2，4）． ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴k=﹣2×4=﹣8． ②假设存在，设点P的坐标为（m，n）， ∵△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角， ∴OA=OP． 又∵点P在反比例函数y=﹣的图象上， ∴， 解得：，，，． 故在反比例函数y=的图象上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，点P的坐标为（﹣4，2），（﹣2，4），（2，﹣4）或（4，﹣2）． （2）设点B的坐标为（a，b），由（1）①可知点A的坐标为（b，﹣a）， ∵k=﹣1，且点B在反比例函数y=的图象上运动， ∴ab=﹣1， ∴b•（﹣a）=﹣ab=1， ∴点A在y=上运动． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）找出点B的坐标，找出关于m，n的二元二次方程组；（2）根据点B的坐标表示 出点A的坐标．解决该题型题目时，根据旋转的特性，由点B的坐标找出点A的坐标是关键． 专题训练09反比例函数的最值 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 【答案】(1)， (2)点，面积的最小值为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式； （2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵反比例函数过点， ， 反比例函数的解析式为， 设， ， ， 四边形的面积为， 四边形的面积为， ， 解得，舍去， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小， 设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时， 方程有唯一解， 即有两个相等的实数根， ， 解得或舍去， 与直线平行的直线的关系式为， 方程的解为， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点， 由题意得， ，，，， ， ， 答：点，面积的最小值为． 3．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为 (2)时，代数式有最小值，最小值为0 (3)25， 【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解； （2）将原式变形为，根据求解； （3）设，则，，四边形面积，根据即可求解． 本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用． 【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：， ，的几何平均数为：； （2）解：， ，， ，当时，等号成立， 解得，或（舍去）， ， 即时，代数式有最小值，最小值为0； （3）解：如图，设，则，， ，， ，，，， 四边形面积 ， ，当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 四边形面积的最小值，此时，即． 专题训练10反比例函数的全等三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B的坐标为，且满足，过点B作交y轴于点D，若点A为线段上一点，且． (1)求点B的坐标； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点D运动，点P、Q同时出发，当点Q停止运动时，点P也停止运动．在点P、Q的运动过程中，线段上是否存在点R，使得与全等?若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在R点使得与全等，R点的坐标为：或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性且和为0，可得，，即可求出m、n的值，则可得． （2）分和两种情况，根据三角形的面积公式列式即可． （3）由题意得，．分两种情况讨论：①当，时；②当，时，．再根据，即可求出t的值，进而可得R点的坐标． 本题主要考查了坐标与几何综合，根据三角形的面积公式写函数关系式，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1） 又， ， ， （2）解：，， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ． ． （3）解：由题意得，， ， ． ， ①如图，当，时， ， ， 解得， ， ． ②如图，当，时，， ， ， 解得， ， ． 综上，存在R点使得与全等，R点的坐标为：或． 2．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，，当时，， 点，点， ， ∴， 点的坐标为， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为则：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点， 当时， ， ， 点在第二象限， 点， 综上所述：点坐标为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中m、n满足二元一次方程组． (1)求点B和点C的坐标； (2)点P从点出发，沿y轴正方向运动，连接，设的长度为t，的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，是的中线，点P从点E出发的同时，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，速度是点P速度的三倍，连接，若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，求此时点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查解二元一次方程组，动点函数问题，全等三角形的判定： （1）解二元一次方程组，求出m和n的值即可； （2）分当P在上，在y轴正半轴上两种情况，利用三角形面积公式分别求解； （3），若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则、或、，列出关于t的等式，求出t值，即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 将代入得：， 解得， ∴，，； （2）解：当P在上，即时： ， 当P在y轴正半轴，即时： ， 当时，不存在． 综上所述： （3）解：∵Q的速度为P的3倍， ∴， ∵， ∴与为对应角， ∴只要、或、，则与全等， ∵为中线， ∴， ∴， ①， ∴，， 当时，同时满足， ∴， ∴； ②， ∴， 当时，同时满足， ∴， ∴， 综上可知，点Q的坐标为或． 专题训练11反比例函数的等腰三角形 1．如图，直线交x轴于点，交y轴于点B，交反比例函数于点P（第一象限），若点P的纵坐标为2，且 (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点C作x轴的垂线，交反比例函数于点D，连接，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)当时，为等腰三角形 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质． （1）过点P作轴于点E，求出点P的坐标，进而求出反比例函数的解析式； （2）首先求出直线的解析式，然后设，则，过P作于F点，则，根据列出m的方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：过点P作轴于点E， ， ∵， ∴， ∵点P的纵坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为且，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， 过P作于F点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，为等腰三角形． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式：；一次函数的表达式： (2)或 (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和反比例函数式，图像法求不等式取值范围，等腰三角形性质即勾股定理． （1）根据题意将坐标代入中即可求出反比例函数式，继而求出的值，再将坐标代入中即可求出一次函数解析式； （2）根据图像交点即可得到本题答案； （3）分三种情况找到点，一个点在轴负半轴时，另两个点在轴正半轴时，再利用勾股定理及等腰三角形性质即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意将点坐标代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴将点，点代入中得： ，解得：， ∴一次函数的表达式：； （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点， ∵点，点， 通过图象可知： ， 当或时，； （3）解：∵点， ∴， ∵为轴上一动点， ∴过点作轴，是以为腰的等腰三角形， ， ∴当在轴正半轴时，， ∴，即， ∴当在轴负半轴时，， ∴， ∴当在轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点的坐标为或或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴的交点为、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出时的范围； (4)是轴上的一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)4 (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查了求一次函数和反比例函数解析式，根据图象求不等式解集，等腰三角形的性质． （1）把代入，求出m的值，即可得出反比例函数解析式，进而得出点B的坐标，把点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出点C和点D的坐标，即可得出，再根据三角形面积公式，即可解答； （3）根据点A和点B的坐标，结合图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象时，自变量的取值范围即可； （4）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴，则， 把代入得：， 解得：， ∴，则， ∴ （3）解：∵，， ∴由图可知，当或时，； （4）解：①当时，过点A作轴于点H， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴或； ③当时， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 专题训练12反比例函数的等腰直角三角形 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；；3 (2)当时，；当时，； (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点， ，， ，，反比例函数解析式是， 把，分别代入得， ， 解得：， 故答案为：，，； （2）由（1）知，一次函数解析式为， 由题意得，，， ，， 当时，； 当时，； （3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下： 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴， ∴，， ∴，，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，同①的方法得，； 即满足条件的点Q的坐标为或． 2．已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或或． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可. （2）过点P作于点H，设点，然后根据三角形的面积公式，进一步即可得出t的取值 （３）设，，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：∵直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴，，， 三角形的面积； （2）过点P作于点H，如图1， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， ∵， ∴， ∵点P在线段DF上，且不包括端点， ∴． （3）设，，且，， ①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作轴交y轴于点G，过点N作于点H， 则，，，，， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作轴交y轴于点G，交BC于点H， 则，，，， ， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或， 解得：或， ∴或； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想是解题关键. 3．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 专题训练13反比例函数的直角三角形 1．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)点M的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可； （2）求出，分别求出和的面积，相加即可； （3）根据C、D的坐标和图象得出即可； （4）设，分两种情况讨论并结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即一次函数的表达式为， 把，代入得：，， 解得，， 即，， 把C的坐标代入得：， 解得：； （2）解：由可知：当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或； （4）解：设， 则，，， ∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时， 综上，点M的坐标为或． 2．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中． (1)求a的值以及点B的坐标； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，直角三角形性质等． （1）将代入即可求出，再将代入，即可得到反比例函数表达式为，再将两个函数联立方程组即可得到本题答案； （2）观察图象可得本题答案； （3）根据题意可知分两种情况讨论，①当时和②当时，利用直角三角形性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ， ， 将代入，得，， ， 反比例函数表达式为； 联立，解得，，或， ； （2）解：观察图象可得：当时，； （3）解：①当时，轴， ； ②当时， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 3．如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由直角三角形的性质可求，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：如图， 当点在y轴上时，且， 又∵， ∴，， ∴点； 当点在y轴上，且， 又∵， ∴，， ∴， ∴点； 综上所述：点P的坐标为或． 专题训练14反比例函数的无刻度尺作图 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图1，直线即为所求． （3）解：如图，过点A作轴于点E，连接，设点． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵点， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查作图-基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键． 2．如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)求点的坐标． 【答案】(1)k的值为，m的值为12； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）将点代入可求出，进而求出的坐标，将的坐标代入反比例函数中，可求出； （2）根据平行线的尺规作图方法作图即可；； （3）根据题意可得：直线的函数关系式为，然后联立方程组即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， 一次函数关系式为， 将点代入，得， 解得：， ， 将代入，得， 的值为，的值为； （2）如图所示： （3）一次函数关系式为，， 直线的函数关系式为， 可联立方程组，得， 解得：， (舍去)， 点的坐标为． 专题训练15反比例函数的几何与函数图象结合 1．如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、勾股定理、三线合一等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点E在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，同理可得当点E在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出的性质即可； （3）求出时两函数的交点横坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，于点D， ∴， ∴， ∴，即； 如图，点E在上时，过点D作于H，则， ∵， ∴， ∴； 同理：可得当点P在上时，． 综上所述，． （2）解：列表如下： x … 1 2 … … x … 1 6 … 0 … x … 1 2 … 6 3 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立：解得：或， ∴当时，与交点的横坐标为或， ∴由函数图象可得：当时，函数时x的取值范围为：． 2．如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； (2)在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，画一次函数的解析式，图象法求不等式的解集： （1）分，两种情况，根据三角形的面积公式，进行求解即可； （2）画出一次函数的解析式，根据图象写出一条性质即可； （3）先求出时的自变量的值，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：过点作，则由题意得：四边形为矩形，    ∴， ∴， ∴， ∴点在上的运动时间为，在上的运动时间为， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发， ∴点在上的运动时间为， ∴当时，，； 当时，此时点与点重合，过点作于F，，    ∵， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出的图象如图所示：    由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时， ①时，解得：； ②时，解得：， 由图象可知，当时，或； 故答案为：或． 3．如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数，一次函数，正确理解题意是解题的关键： （1）当时，；当时，；，即可得出函数解析式； （2）根据函数解析式画出图像，再写出函数性质即可； （3）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）当时，； 当时，； ∴ ， ∴． （2）和的图象如图所示：   的性质有：当时，有最大值8； 的性质有：当时，随x的增大而减小． （3）由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 专题训练16反比例函数的新定义 1．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②点横坐标为15 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确运用“镜子”函数的定义（若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数）是解答本题的关键． （1）设“镜子”函数上某点的坐标为，得出关于直线的对称点为，代入即可得解； （2）①依照（1）的思路可得解；②根据“镜子”函数的定义可得点的坐标为，设点坐标为，由中点坐标公式得点坐标为，结合反比例函数解析式得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 （2）解：①设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 ②函数的“镜子”函数为 点坐标为 设点坐标为， ，即为线段的中点， 点坐标为， ，即点横坐标为15． 2．对于一个函数给出如下定义：对于函数，当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属函数”．例如：正比例函数，当，，则，求得：，所以函数为“3属函数”． (1)已知一次函数 为“属函数”，则的值为 ； (2)反比例函数 为“属函数”，求的值； (3)反比例函数 ， 且 是“属函数”，且，请求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2020 【分析】本主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义意义是解本题的关键． （1）利用“k属函数”的定义即可得出结论； （2）先判断出函数的增减性，利用“k属函数”的定义得出k的值即可得出结论； （3）利用“k属函数”的定义即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∵， ∵为“k属函数”， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：∵反比例函数中，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵反比例函数， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当且是“k属函数”， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，则称点是点的等和点． (1)已知点 ①在，，中，点的等和点有________； ②点在直线上，若点是点的等和点，求点的坐标； (2)已知：点、是双曲线上的两点，且都是点的等和点，则的面积为________． 【答案】(1)①、；② (2) 【分析】1）①根据定义判断即可；②设点，根据定义得到，即可求． （2）根据等和点的定义分别求出点B、C的坐标，再求出的面积即可． 【详解】（1）①，则， ∴是点P的等和点； ，则， ∴不是点P的等和点； ，则， ∴是点P的等和点； 故答案为：，； ②∵点A在直线上， ∴设点 ， 又∵点是点A的等和点， ∴， 解得，， ∴， 即点A的坐标为； （2）由题意可知，， 解得， ∴， ∴．    故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形面积，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象及性质，理解新定义是解题的关键． 专题训练17反比例函数的定值 1．已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 【答案】(1)， (2)①；②k的值为2，定值d为1 【分析】（1）当时，，，将代入，可得，即；将代入，可得，即； （2）①同理（1），当时，，，当时，， ，由点B恰好是C、D两点连线的中点，可得，计算求解即可；②由，，可得，，，当时，，由d始终是一个定值，可得，，不合题意，舍去；当时，，由d始终是一个定值，可得，即，． 【详解】（1）解：当时，，， 将代入，可得，即； 将代入，可得，即； ∴，； （2）①解：同理（1），当时，，， ∴当时，， 将代入，可得，即， ∵点B恰好是C、D两点连线的中点， ∴， 解得，， ∴m的值为； ②解：∵，， ∴，，， 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，，不合题意，舍去； 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，即，； 综上所述，k的值为2，定值d为1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值是解题的关键． 2．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． (1)求m (2)若，求的度数 (3)如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，的和是定值． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把，代入反比例函数解析式求得a的值即可； （2）由等腰直角三角形的性质求出，再由角平分线的定义求得和的度数，进而由三角形内角和求得结果； （3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的表达式，根据是定值求出的值和的值即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上． ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， （3）如图，把代入中，得， ∴，    把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 当时， ∴， 当时，； 当时， ∴， 当时，，但，故此情况舍去， 综上：当时，的和是定值． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 3．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)28 【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标； （2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解； （3）分①当时，②当时两种进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴当时，得：， 解得：， 当时，得：， ∴，； （2）解：设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， ∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，， ∴，， ∴， ∵为定值，即为定值， ∴， 解得：； （3）①当时， （定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即， ∴长方形周长的最大值：， ②当时， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， ∴长方形的周长为：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，长方形周长的最大值为：， 综上所述，长方形周长的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 专题训练18反比例函数的等角 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)当与的面积相等时，求点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或； (3)存在，，． 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于，两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标； （2）首先依据与的面积相等，推导出；过点作轴，交于，求得，进而得到的解析式为，与联立解答即可得解； （3）如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，证明，根据正切的定义可得，可得的解析式为：，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； （2）解：如图1， 当与的面积相等时，则； 过点作轴，交于， ， 的解析式为：， 当时，， ， ； 的解析式为：， 联立得：①或②， 解①得：或（不合题意，舍去）； 解②得：或（不合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或； （3）解：存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且；理由如下： 如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于， 在中，当时，， ， ， ，， 四边形是“垂等四边形”， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得：， ， 的解析式为：， ， 解得：或（舍）， ； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 也是等腰直角三角形， ， ， 同理得：的解析式为：， 设， ， ， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键． 2．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 3．如图，直线交反比例函数的图象于点和点B． (1)求：m、k的值； (2)若直线，交反比例函数另一支图象于点C，求C的坐标． (3)在y轴上是否存在点D，使，若存在，求出点D坐标，不存在，说明理由． 【答案】(1)m=6，k=6 (2)(-6,-1) (3)或者 【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可求出m，再将求得的A点坐标代入反比例函数解析式即可求解k值； （2）联立一次函数和反比例函数的解析式求出B点坐标，设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，易求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)，可得△MON是等腰直角三角形，再证明△AEN是等腰直角三角形，根据AF⊥x轴，有EF=FN，进而可得E点坐标为(-5,0)，用待定系数法即可求出直线AC的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求出C点坐标； （3）根据题意设D点坐标为(0,t)，∠BDC=90°，连接BC，可得△BDC是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）将A(1,m)代入得，m=-1+7， 则m=6， 即A点坐标为(1,6)， 将A点坐标(1,6)代入，得， 即k=6， 故m=6，k=6； （2）根据（1）的结果可知，反比例函数的解析式为； 联立：，可得， 利用因式分解法，可得：，， 则可得B点坐标为(6,1)， 设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，如图， 根据直线AB的解析式，求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)， ∴OM=ON=7， ∴△MON是等腰直角三角形， ∴∠MNO=45°， ∵AB⊥AC， ∴∠EAN=90°， ∴∠AEN=45°=∠ANE， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∵AF⊥x轴， ∴EF=FN， ∵A(1,6)， ∴OF=1， ∴FN=ON-OF=7-1=6， ∴EF=6， ∴OE=EF-OF=6-1=5， ∴E点坐标为(-5,0)， 设直线AC的解析式为， ∵A(1,6)，E点坐标为(-5,0)， ∴ ，解得， 直线AC的解析式为， 联立：，可得， 利用因式分解法，可得：，， ∴C点坐标为(-6,-1)， 即C点坐标为(-6,-1)； （3）存在， 根据题意设D点坐标为(0,t)， ∵∠BDC=90°， ∴连接BC，可得△BDC是直角三角形， 如图 即利用勾股定理有：，，， ∵在Rt△BDC中，有， ∴， 解得， ∴D点坐标为或者， 即D点坐标为或者． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，考查了求解反比例函数解析式和一次函数解析式、勾股定理、求解反比例函数与一次函数交点坐标以及解一元二次方程等知识，难点在第二小问，根据直线AC的解析式判断其与坐标轴夹45°角，并构造等腰Rt△AEN是解答本题的关键． 专题训练19反比例函数的倍线 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求的值； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或，②是， 【分析】（1）将点代入中，求出，再由待定系数法求解即可； （2）①证明，再由勾股定理得，求出的值，确定点的坐标即可； ②设点的坐标为，且，求出直线的表达式为，同理求出直线的表达式，分别得出和，再求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ，即， 将点代入反比例函数中， 得，解得． （2）由（1）可知，反比例函数的表达式为， 且直线的表达式为， 当时，，即 直线与轴交于点， 联立得， 即， 解得， 点坐标为， 由点的坐标可知，， 直线与轴交点为， ， ①    过点作轴的平行线与点作轴的平行线交于点，与直线交于点， ,， ， ， ， ， ， 即， 若，则， ， 点的横坐标为或， 则点的坐标为或． ②为定值，定值为8， 设点的坐标为，且， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 已知点的坐标为，， 设直线的表达式为， 则有，解得， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ， 则， ， 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合应用，解直角三角形，和一次函数的性质，勾股定理，分类求解和数据运算是解题的关键． 2．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先推出，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此求出，则，再由，即可得到． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 ； （3）解：，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵点A和点M都在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、与交于，与直线交于，且． (1)点的坐标为______，______，______，______； (2)点为直线上一动点，其横坐标为轴于点，交直线于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点在第一象限内，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)或 (3) 【分析】（1）作于，利用等腰三角形的性质得到，则，然后根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）设点的横坐标为，表示出，，，再根据，列出绝对值方程，解之即可； （3）首先求出过点的直线为，设直线 与轴交于点，与直线于点，分别表示出点和点的坐标，表示出，，再根据已知取临界情况，得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形和四边形的面积，列方程求解，结合图形即可得出的范围． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ，，， ， ， 点； 把代入中，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ； 故答案为：，，，； （2）点的横坐标为，分别代入，中，得，， ，，， ， ， 当时， 解得， ， 当时， 解得， ， 综上，点的坐标为或； （3）∵点在第一象限内， ∴由（2）可得：，，， 在 中，令，则， ， 直线过点， ，即， ， 如图，设直线 与轴交于点，与直线交于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， 过点的直线将四边形分为两部分，且， 四边形的面积为四边形的或， ，， 或， 解得或， 的范围是． 【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，属于中考常考题型． 专题训练20反比例函数的阅读理解 1．阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． (1)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (2)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，例如 【分析】本题考查了新定义下一次函数、反比例函数点坐标的特征，解一元一次方程，解一元二次方程． （1）令，求解方程即可； （2）令，求解方程即可； （3）根据“等值点”的定义列举即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，即， 解得：， 故答案为：，； （3）解：存在， ， 不管x取任何值，都有， 函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”． 2．阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． (1)函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； (2)如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； (3)在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)左，下 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图像的平移； （1）根据函数图象平移的规律可得答案； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位得到，得到了， 故答案为：左，下． （2）解：将，代入， 得， 解得：， ∴； （3）解：如图所示， 过，两点， 根据函数图象像可得，当时，或． 3．阅读理解：有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：___________ (2)下表是y与x的几组对应值：则m的值为：___________ x … 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 3 2 … (3)如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________ (5)若函数的图象上有三个点且，则间的大小关系为：___________ ． （用“<”连接） 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)当x>3时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (5) 【分析】（1）根据分式有意义的条件求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）描出了以上表中各对对应值为坐标的剩余的点，再用光滑曲线顺次连接起来即可； （4）根据函数增减性，写出性质即可； （5）根据函数图象直接求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）解：当时，， ∴； （3）解：补全函数图象如图所示： （4）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （5）解：由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴， 由图象可得：当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查函数图象与性质，熟练掌握用描点法作函数的图象，根据图象总结归纳函数的性质是解题的关键． 专题训练21反比例函数的迁移探究 1．九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； (4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 【答案】(1)1，图见解析 (2)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3)2 (4) 【分析】本题考查反比例的图象和性质． （1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可； （2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质； （3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案； （4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 补全图象如图所示：     故答案为：1； （2）解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：当时，即，解得， 故点A、B的坐标分别为、，则， 则； 故答案为：1； （4）解：当时，联立得， 整理得， 解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与交于点E， 则、，， ∴， 故答案为：． 2．知识迁移 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当时取等号). 记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为 直接应用 已知函数与函数, 则当____时,取得最小值为___. 变形应用 已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值. 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【答案】直接应用 1, 2；变形应用： 有最小值为，时取得该最小值；实际应用x=600，2.8 【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果． 变形运用：先得出的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可． 实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案． 【详解】直接应用 由题意得：当x=时，， 故答案是：1，2； 变形应用 ∵ ∴有最小值=， 当,即时取得该最小值 实际应用 解：设该汽车平均每千米的运输成本为元， 则 , ∴当(千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本最低 最低成本为元． 3．（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　． （2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|． ①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　． ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　． （3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值． （4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种． 【答案】（1）见解析；0；（2）①x，﹣x，﹣x＋2，②见解析；；（3）；（4）分段去绝对值． 【分析】（1）画出函数图象，直接得出结论； （2）先去绝对值，得出函数关系式，再画出函数图象，即可得出结论； （3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论； （4）直接得出结论． 【详解】解：（1）[探究]图象如图1所示，函数y＝|x|的最小值是0， 故答案为0； （2）[应用]①当x≥1时，y＝x﹣1＋（x＋2）＝x； 当x≤﹣2时，y＝﹣x＋1﹣（x＋2）＝﹣x； 当﹣2＜x＜1时，y＝﹣x＋1＋（x＋2）＝﹣x＋2； ②函数图象如图2所示， 由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是， 故填：①x，﹣x，﹣x＋2，②； （3）[迁移] 当x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1﹣8x＋1＝﹣36x＋8， ∴y≥， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1＋8x﹣1＝﹣20x＋6， ∴≤y＜， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1＋7x﹣1＋8x﹣1＝﹣6x＋4， ∴3≤y＜， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝6x＋2， ∴3＜y≤， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝16x， ∴＜y≤4， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝24x﹣2， ∴4＜y≤6， 当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝30x﹣4， ∴6＜y≤11， 当＜x≤1时，y＝﹣x＋1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝34x﹣6， ∴11＜y≤28， 当x＞1时，y＝x﹣1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝36x﹣8， ∴y＞28， ∴当x＝时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值； （4）[反思] 用到的数学思想有：数形结合的数学思想，分段去绝对值， 故答案为：分段去绝对值． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，去绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 专题训练22反比例函数的项目化学习 1．项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如下图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： (1)直接写出e关于t的函数解析式； (2)求e关于s的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (3)当汽车充满电行驶时，求仪表盘显示的电量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键． （1）设，将，代入，利用待定系数法求解即可； （2）设e关于s的函数解析式为,将，代入，利用待定系数法求解即可； （3）把代入，由此列方程求解． 【详解】（1）设，将，代入，得 ， 解得， e关于t的函数解析式为； （2）设e关于s的函数解析式为． 将，代入， 得． 解得 关于s的函数解析式为． （3）把代入，得． 答：仪表盘显示的电量为． 2．下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点． 【分组探究】 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． 根据图1回答下列问题 （1）赛跑的全程是________米，乌龟比兔子早到达终点________分钟； （2）乌龟在这次比赛中的平均速度是________米/分钟； （3）求兔子睡醒后的函数解析式．（不需要写自变量取值范围） 【故事改编】 B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象． 根据图2回答问题： （4）图2中，自变量x表示兔子和乌龟所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，在乌龟行进过程中，请直接写出当兔子出发多长时间，乌龟和兔子相距米？ 【答案】（1）（2）（3）（4）分钟或分钟． 【分析】本题考查了从函数图像获取信息、一次函数的解析式求解等知识点，看懂函数图像是解题关键． （1）由图即可求解；（2）计算即可求解；（3）设兔子睡醒后的函数解析式为，将点代入即可求解；（4）分别求出乌龟和兔子的速度，分类讨论相遇前和相遇后即可求解； 【详解】解：（1）由图可知：赛跑的全程是米，乌龟比兔子早到达终点分钟； 故答案为： （2）乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； 故答案为： （3）设兔子睡醒后的函数解析式为， 则， 解得：， ∴解析式为：， （4）由图得：兔子的速度为：（米/分钟）， 乌龟的速度为：（米/分钟）， 当兔子和乌龟相遇前,依题意得：， 解得：， 当兔子和乌龟相遇后，依题意得：， 解得：， 答：当兔子出发分钟或分钟，乌龟和兔子相距米时 3．项目化学习 项目主题：玉米种子购买方案的选择 项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系； 研究步骤： （1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； （2）对收集的信息进行整理描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息：信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内（含3） 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决： （1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量（）之间的函数关系式； （2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 【答案】（1）甲商店：，乙商店：；（2）当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算． 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题意，分别列出函数关系式，即可求解； （2）分，两种情况，结合（1）中的解析式，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，甲商店：． 乙商店：当时，依题意，， 当时，设关系式为，将，代入，得 解得： ∴乙商店： （2）， 当时，选择甲商店更合算； 由，得． 当时，选择甲商店更合算； 由，得． 当时，选择两个商店的付款金额相同； 由，得． ∴当时，选择乙商店更合算． 综上，当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算． 2 / 125 学科网（北京）股份有限公司 $$