重难点专题训练一 一次函数（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练一 一次函数思维导图 专题训练01一次函数的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 专题训练02一次函数的增减性 1．若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 3．现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求： (1)k的值； (2)b的范围． 专题训练03一次函数与一元一次方程 1．对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 2．直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是 ． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①方程的解是________； ②方程的解是________； ③关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是________． 专题训练04一次函数与二元一次方程组 1．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 3．【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，......如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 ； 【拓展应用】 （2）图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于、的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解． 专题训练05一次函数与一元一次不等式 1．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为 ． 3．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 专题训练06一次函数的几何动点与图象 1．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为（   ） A．3 B．4 C． D．5 2．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 3．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 专题训练07一次函数的应用——方案问题 1．为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 2．某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收2元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费． (1)分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)若公司需印制800份宣传材料，通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ 3．在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元（总费用=广告费+门票费）； 方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题： (1)方案一中，y与x的函数关系式为___________； (2)方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为___________；当x>100时，y与x的函数关系式为___________； (3)该单位应采用那种购买门票方案更划算． 专题训练08一次函数的应用——利润问题 1．某超市销售甲、乙两种商品，当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元． (1)问甲、乙两种商品每件的利润分别是多少元？ (2)在（1）中，该超市购进甲、乙两种商品40件并全部销售完，已知甲种商品至少能销售30件，请问超市如何进货才能有最大利润，并求出最大利润． 2．某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价； (2)已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 3．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 专题训练09一次函数的应用——行程问题 1．学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． (1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； (2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； (3)直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 2．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 3．王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像． 根据图像解答下列问题： (1)写出题中的自变量：_________，因变量：． (2)①王老师家到学校的距离为________；②王老师从家到公园的速度为_________； (3)求王老师从公园到学校时，与之间的关系式； (4)求出王老师从家出发多少分钟后距离公园． 专题训练10一次函数的绝对值 1．学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 2．通过一次函数图象的学习，我们知道了：研究函数图象一般要通过画图象研究其形状、位置、对称性、增减性…，例如：研究一次函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤得到如下结论：①图象是一条过原点的直线；②图象经过一、三象限；③图象关于直线轴对称；④随的增大而增大等． 请你类比一次函数图象的探索方法，探究函数：的图象． ①根据函数表达式列表： x … 0 2 3 … y … 4 3 1 0 1 2 … ②描点、连线； (1)请将上面列表、描点、连线的过程补充完整； (2)类比一次函数图象性质写出函数：的两条性质． 3．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 专题训练11一次函数的最值 1．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展． (1)观察图1，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，说明：． (2)如图2，，轴，且，若直线的函数表达式为． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②已知点的坐标为，过点作轴交于点，求此时的长． (3)如图3，，，垂足分别为、，，，，若点为上一点，且，求的长． (4)借助（3）的思考过程，直接写出代数式的最小值为 ． 2．如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．    (1)求的面积； (2)点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 3．如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，，若面积等于面积的，求t的值； (3)求的最小值． 专题训练12一次函数的全等三角形 1．直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 2．已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 3．已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 专题训练13一次函数的等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出B，C两点的坐标． (2)线段上是否存在点P，使为以为底的等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)点是直线图象上一动点，设的面积为S，请求出S关于x的函数解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交x轴于点B和点，点是与y轴的交点． (1)求直线与直线的交点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； (3)探索： ①点D是直线上的一个动点，当的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 专题训练14一次函数的等腰直角三角形 1．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点． (1)求的值及直线的函数表达式． (2)若是轴上方且位于直线上的一点，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若是直线上的一点，是轴上的一点，试探究能否成为以为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 专题训练15一次函数的直角三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与函数的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)若函数的图象与y轴交于点B，函数的图象与y轴交于点C，求线段的长； (3)在x坐标轴上存在点P，使是以为直角边的直角三角形，求满足条件的点P坐标． 2．如图1在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求：点B的坐标______，并直接写出所在直线解析式______． (2)如图2，若点为边的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若的面积为2，求此时M点的坐标和运动的时间t的值． ②如图3．在点M运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，请直接求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段上有一点，点关于直线的对称点在轴上．    (1)求的面积； (2)求直线的解析式； (3)点是直线上一点，当为直角三角形时，求点的坐标． 专题训练16一次函数的角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 2．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点的坐标为，求点的坐标； (2)如图3，直线分别交轴、轴于点、，直线过点交轴于点，且．求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若点是直线上且位于第三象限的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 3．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；点在x轴上，连接． (1)点B的坐标为______； (2)点D坐标为，作射线，直线l交射线于点E． ①当时，求k的值； ②当直线l与射线所夹的锐角为时，求的长度． 专题训练17一次函数的等角问题 1．如图， 直线与坐标轴分别交于点A， B， 过点A、B作直线，以为边在y轴的右侧作四边形， ．    (1)求点A， B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，； ①若点 D 是线段的中点，求点 E 坐标； ②若点 D 是线段上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点， 另一动点H在直线上且满足，请求出点H的坐标． 2．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； (3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 专题训练18一次函数的比值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 2．已知，是直线上两点，，，且． (1)__________ __________； (2)若平面内存在点，连接交轴于点，连接； ①当轴时，求点坐标及的面积 ②若的面积为6，求点坐标； (3)将直线平移后交轴正半轴于点，交轴于点，此时，点为直线上一点，直线交轴于点，满足，，请直接写出点的坐标． 3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B分别为y轴正半轴和x轴正半轴上的点，点，连接，， (1)如图1，求点B的坐标； (2)如图2，点P为线段上一动点，点P的坐标为，以P为直角顶点作等腰直角，求点Q的坐标（用含m、n表示，不要求写出m、n的取值范围）； (3)如图3，点C为中点，点P为线段上一动点，点E为y轴点A上方一点，点F为y轴负半轴上一点，，连接，若射线于D，连接，，请直接写出点E的坐标． 专题训练19一次函数的定值问题 1．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图2，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为___________． 3．如图1，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，与交于点． (1)求点的坐标； (2)若点为直线上一点，若，求满足条件的点的坐标； (3)如图2，已知为四边形内一点，连接，记的面积分别为，若点的坐标为，则是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 专题训练20一次函数的分段函数 1．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式． (2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． 当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________； 如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________． (3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________； 当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________． 2．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时，若点在图象G上，求n的值； (2)当时，求函数的最大值； (3)当时，求函数最大值与最小值的差； (4)已知点，，当图象G与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 3．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 专题训练21一次函数的翻折问题 1．如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 2．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 3．如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； (2)①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； (3)如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 专题训练22一次函数的旋转问题 1．在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 2．如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 3．如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4． (1)求点C的坐标； (2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标． 专题训练23一次函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点，例如，图1中的P，Q两点即为和谐点． 已知点． (1)在点，，中，点A的和谐点是 　 　； (2)若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，请求出直线的解析式； (3)已知点，点，连接，点M为线段上一点．经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，请直接写出n的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 3．【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 专题训练24一次函数的阅读理解 1．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 2．【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． (1)当时，若点恰好落在直线上，求的值； (2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，， ①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值． 3．阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 专题训练25一次函数的项目化学习 1．【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 菌落总数 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后第几天菌落总数恰好为？ 2．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 3．项目化学习 项目主题：探究我国古代漏刻，并自制漏刻． 项目背景：在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，水钟在古代也叫“漏刻”或“漏壶”．图1是原始漏刻的示意图．其原理是水从上而的漏水壶慢慢漏人下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏 箭”）．以此来计时．图2是唐代制造 的四级漏刻． 驱动任务：探究漏刻的原理， 研究步骤： ①自制图3所示的“漏壶”； ②为了提高计时的准确性，需稳定“漏水壶”的水位； ③打开出水口B，水位就稳定在BC位置，随着“受水壶”内的浮子的高度与经历的时间逐渐增加，读出“受水壶”中浮子上的刻度，就可以确定时间； 试验数据： t（min） ··· ··· h（mm） ··· ··· ④分析数据，得出结论． 问题解决： 请根据此次项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合初中阶段所学的哪种函数，并求出相应的函数表达式； (2)如图3，受水壶中的水位最大高度为， 若受水壶中的浮子上升到最大高度时，可以表示的时间是，求当浮子的高度为时，求可以表示的时间． 专题训练26一次函数的迁移探究 1．【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 3．阅读材料，完成下列各题： 对于不与轴、轴平行或重合直线，其中叫做直线的斜率．若在直线上有不重合的两点，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式． (1)新知运用：已知点和点，求过两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线上有不重合四点，，，． ①求出的值； ②比较与的大小． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练一 一次函数思维导图 专题训练01一次函数的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 2．将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，掌握函数图象的平移规律是解答本题的关键． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：由函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为， 化简，得， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质画出直线； （2）利用平移的规律求得直线的解析式； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图， （2）将直线向右平移5个单位长度得到直线为； 故答案为：； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， ∵与x轴交于，与y轴交于， 与x轴交于，与y轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与之间的距离为个单位长度， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键． 专题训练02一次函数的增减性 1．若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先判断出随的增大而减小，再根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵一次函数中的一次项系数， ∴随的增大而减小， 又∵一次函数的图象经过点和点，且， ∴， 故选：C． 2．若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据一次函数的解析式求出和的值，即可比较大小． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， ， ， 故． 故答案为：． 3．现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求： (1)k的值； (2)b的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的交点坐标，不等式组的解法； （1）由与直线平行，可得，结合的y随x增大而增大，可得，从而可得答案； （2）分别求解、与直线的交点坐标，再利用交点均在x轴下方，再建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵与直线平行， ∴， 解得：， ∵的y随x增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 联立， 解得：， ∴函数的交点坐标为：； 同理：， 解得：， ∴交点坐标为：， ∵、与直线的交点均在x轴下方， ∴， 解得：． 专题训练03一次函数与一元一次方程 1．对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵k＜0， ∴y随x的增大而减小， A选项说法正确，不符合题意； 假设点（−1，−2）在这个函数的图象上，则−2＝−k＋b， ∴b＝k−2， ∵k＜0， ∴k−2＜0， ∴b＜0，这与b＞0不一致， B选项说法错误，符合题意， 令x＝0时，y＝b， ∴图象与y轴的交点为（0，b）， C选项说法正确，不符合题意； 当y＝kx+b＝0时，解得：， ∴一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（，0）， ∵y随x的增大而减小， 当时，y＜0； D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx＋b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 2．直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】6 【分析】先求出与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】当x=0时，， ∴OB=2， 当y=0时，，解得x=6， ∴OA=6， ∴直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是： ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键． x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①方程的解是________； ②方程的解是________； ③关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】（1）求出x＝﹣2时的函数值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）分别求出方程的解即可解决问题． 【详解】（1）解： x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3， 故答案为：3； （2）解：函数图象如图所示： （3）解：①方程|x﹣1|＝0， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1． 故答案为：x＝1； ②方程|x﹣1|＝1.5， 此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5， 解得：x＝2.5或﹣0.5． 故答案为：x＝2.5或﹣0.5； ③设函数y＝k， 由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点， 由图象可知，k＞0， 故答案为：k＞0． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 专题训练04一次函数与二元一次方程组 1．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求出点A，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴的解为， 故选：C． 2．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可解题． 【详解】解：把代入得， ∴点P的坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 3．【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，......如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 ； 【拓展应用】 （2）图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于、的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，直接观察图象即可得解； （2）观察图象可得即为直线，由经过可得该直线为，观察图象发现、的交点的横坐标为3，把代入的方程中，即可求出两直线的交点坐标，进而可得方程组的解． 本题主要考查了用图象法解二元一次方程组．平面直角坐标系中，两条直线的交点坐标即为这两条直线对应的二元一次方程组的解．正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】（1）由图知，直线和的交点为， ∴二元一次方程组的解为． 故答案为：． （2）由图知：直线的方程为， 由方程得， ∴时，， 即直线经过， 由图知该直线为， 由图知、的交点的横坐标为3， 把代入中，得， 得， ∴、的交点为， ∴方程组的解为． 专题训练05一次函数与一元一次不等式 1．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由无论取何值，始终有，则，且与轴的交点在与轴的交点的下方，则，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵无论取何值，始终有， ∴， ∴， ∴，， ∴与轴的交点为，与轴的交点为， ∵始终有， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 专题训练06一次函数的几何动点与图象 1．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键． 过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ，， ， 在中，，， ， ， ． 故选B． 2．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，结合函数图象可得的值，再利用勾股定理求出的值，即可求出的面积和周长． 【详解】解：根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0， 由函数图象可得当时，的面积最大， ， 当时，的面积为0，此时，P点运动到C点，重合， ， ∴在中，， ∴， ∴的面积为，周长为． 故答案为：，． 3．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 专题训练07一次函数的应用——方案问题 1．为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1)A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； (2)购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可； （2）设所需费用为W，则，利用函数增减性可知：当时，W取最小值，此时元． 【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元， 则由题意可知： ， 解之得：， ∴A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； （2）解：设所需费用为W，则由已知可得：， 由可知W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取最小值，此时元， ， 故最省钱的方案是：购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 2．某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收2元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费． (1)分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)若公司需印制800份宣传材料，通过计算说明选择哪家印刷厂比较合算？ 【答案】(1) (2)公司需印制800份宣传材料，选择乙印刷厂比较合算 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意，可以直接写出两印刷厂的收费（元）与印制数量（份）之间的关系式； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的的值，然后比较大小，即可解答本题； 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：当时，， ， ， ∴若公司需印制800份宣传材料，选择乙印刷厂比较合算． 3．在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元（总费用=广告费+门票费）； 方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题： (1)方案一中，y与x的函数关系式为___________； (2)方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为___________；当x>100时，y与x的函数关系式为___________； (3)该单位应采用那种购买门票方案更划算． 【答案】(1) (2)， (3)当时，选择方案二更划算；当时，方案一、二均可；时，选择方案一更划算 【分析】（1）根据题意可直接写出方案一的函数解析式； （2）根据图象，利用待定系数法求方案二的函数解析式； （3）根据题意，列出关于x的一元一次方程和一元一次不等式，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：方案一中，广告费10000元，门票费为元， 故y与x的函数关系式为； （2）解：当时，设y与x的函数关系式为， 将代入，得， 解得， ∴当时，y与x的函数关系式为． 当时，设y与x的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 ， ∴当时，y与x的函数关系式为． （3）解：当时， ，可知选择方案二更划算； 当时， 令， 解得， 即时，方案一、二均可； 由，得， 即时，选择方案二更划算； 由，得， 即时，选择方案一更划算； 综上可知，当时，选择方案二更划算；当时，方案一、二均可；时，选择方案一更划算． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法及分类讨论思想是解题的关键． 专题训练08一次函数的应用——利润问题 1．某超市销售甲、乙两种商品，当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元． (1)问甲、乙两种商品每件的利润分别是多少元？ (2)在（1）中，该超市购进甲、乙两种商品40件并全部销售完，已知甲种商品至少能销售30件，请问超市如何进货才能有最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)该文具店销售甲种商品每件的利润为5元，销售乙种商品每件的利润为15元 (2)进甲种商品进30件，则乙种商品进10件 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设销售甲种商品的利润为x元/件，销售乙种商品的利润为y元/件，根据“当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种商品进件，则乙种商品进件，利润为元，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设销售甲种商品的利润为x元/件，销售乙种商品的利润为y元/件， 根据题意得：， 解得：， 答：该文具店销售甲种商品每件的利润为元，销售乙种商品每件的利润为元． （2）设甲种商品进件，则乙种商品进件，利润为元， ∴， ∵， ∴当时，获最大利润（元）， ∴进甲种商品进件，则乙种商品进件． 2．某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价； (2)已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； (2)当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元，根据“15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本，根据购进普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每本的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元， 根据题意得： ， 解得：． 答：普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； （2）解：设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本， 根据题意得：， 解得：． 设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵，且m为正整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时（本）． 答：当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 3．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 专题训练09一次函数的应用——行程问题 1．学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． (1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； (2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； (3)直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 【答案】(1)点的坐标为，线段的函数表达式为，线段的函数表达式为 (2)晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为6千米 (3)，35或 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）根据题意确定点坐标；再确定点坐标，然后利用待定系数法计算线段的函数表达式即可； （2）根据题意，当阳阳换骑自行车时可有，结合（1）中线段的函数表达式，即可求得晋晋所乘公交车行驶路程，即可获得答案； （3）首先确定线段的函数表达式，然后分阳阳乘地铁过程中相遇前和相遇后、阳阳骑自行车过程中三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设晋晋乘坐公交车的时间为（分）， 根据题意，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发， 则图中点的坐标为， 由图可知，，， 设线段的函数表达式为， 将点代入，可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为； （2）根据题意，当阳阳换骑自行车时，， ∴可有晋晋所乘公交车行驶路程为（千米）， ∴晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为（千米）； （3）设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时， 在阳阳乘地铁过程中， 可有或， 解得或， 在阳阳骑自行车过程中， 可有， 解得， ∴的值为，35或． 2．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 【答案】(1)2，6 (2) (3)在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，速度、时间和路程的关系及待定系数法求一次函数的关系式． （1）根据两车相遇时，甲行驶的路程甲的速度列式计算出相遇的时间，即m的值，再由计算出n的值即可； （2）由直线经过和，利用待定系数法解答即可； （3）分别求出两车相遇前甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式及乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式；根据x不同的取值范围，当两车相距分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 故答案为：2，6； （2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 由题意得经过和， ∴， 解得， ∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为； （3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 乙车的速度为， ∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 当时，两车相距时，得， 解得， 当，两车相距时，得， 解得． 答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距． 3．王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像． 根据图像解答下列问题： (1)写出题中的自变量：_________，因变量：． (2)①王老师家到学校的距离为________；②王老师从家到公园的速度为_________； (3)求王老师从公园到学校时，与之间的关系式； (4)求出王老师从家出发多少分钟后距离公园． 【答案】(1)时间，王老师离公园的距离 (2)①1000，②50 (3) (4)王老师从家出发分钟或分钟后距离公园． 【分析】本题考查了函数图象及一次函数的应用，读懂函数图象，求出函数关系式，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键． （1）根据函数图象，确定自变量和因变量即可； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出王老师家到学校的距离及王老师从家到公园的速度； （3）先求出的值，再利用待定系数法求出函数关系式即可； （4）王老师从家到公园时，与之间的关系式，然后分别计算出相应的时间即可． 【详解】（1）解：自变量是时间，因变量是王老师离公园的距离， 故答案为：时间，王老师离公园的距离； （2）解：①王老师家到学校的距离为（）； ②王老师从家到公园的速度为（）， 故答案为：①1000，②50； （3）解：由题意得：， 设王老师从公园到学校时，与之间的关系式为， 由题意得：，解得：， 王老师从公园到学校时，与之间的关系式为； （4）解：设王老师从家到公园时，与之间的关系式为， 由题意得：，解得：， 王老师从家到公园时，与之间的关系式为； 将代入中得：，解得：， 将代入中得：，解得：， 综上所述，王老师从家出发分钟或分钟后距离公园． 专题训练10一次函数的绝对值 1．学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 2．通过一次函数图象的学习，我们知道了：研究函数图象一般要通过画图象研究其形状、位置、对称性、增减性…，例如：研究一次函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤得到如下结论：①图象是一条过原点的直线；②图象经过一、三象限；③图象关于直线轴对称；④随的增大而增大等． 请你类比一次函数图象的探索方法，探究函数：的图象． ①根据函数表达式列表： x … 0 2 3 … y … 4 3 1 0 1 2 … ②描点、连线； (1)请将上面列表、描点、连线的过程补充完整； (2)类比一次函数图象性质写出函数：的两条性质． 【答案】(1)见解析 (2)图象位于第一、二象限；图象关于直线轴对称（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）先完成表格，然后在平面直角坐标系中描出点，进而连线即可； （2）根据图象即可得到相关性质． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴填表如下 … 0 1 2 3 … … 4 3 2 1 0 1 2 … 描点，连线如图： （2）解：①图象位于第一、二象限； ②图象关于直线轴对称； ③图象当时取最小值0； ④当时随的增大而减小（答案不唯一）． 3．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 【答案】(1)3，5 (2)图见解析 (3)①；②见解析；③2；2 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，即可求m、n的值； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①通过观察图象直接可求解； ②通过观察函数的图象写出符合函数图象的性质即可； ③通过观察图象直接求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图： （3）解：①由图象可知：当时，y有最小值， 故答案为：； ②由图象可得： 当时，y随x值的增大而增大，当时，y最x值的增大而减小； ③根据函数图象与x轴有2个交点，可知有2个解， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画出函数图象，数形结合解题是关键． 专题训练11一次函数的最值 1．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展． (1)观察图1，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，说明：． (2)如图2，，轴，且，若直线的函数表达式为． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②已知点的坐标为，过点作轴交于点，求此时的长． (3)如图3，，，垂足分别为、，，，，若点为上一点，且，求的长． (4)借助（3）的思考过程，直接写出代数式的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；；② (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． （2）①对于直线，令，得，令，得，故可得点的坐标，再证明得，进一步可得出点D坐标； ②运用待定系数法求出直线的解析式，求出点坐标，再求出的长，由勾股定理可求出的长； （3）设，则，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可； （5）构造直角三角形，根据两点之间线段最短可得结论． 【详解】（1）证明：由图知： 整理得：； （2）解：①对于直线，令，得，令，得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵轴， ∴ ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴ ∴； ②设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵ ∴， 又， ∴； （3）解：设，则， 由勾股定理得，； ∵ ∴， 解得，， 即； （4）解：如图，， 根据两点之间，线段最短知，线段的长即为的最小值， 由矩形的性质得，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．    (1)求的面积； (2)点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法． （1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得，解方程组求出即可求解； （2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式并令函数值为0即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，即， 联立， 解得：， 点的坐标为， 的面积为：； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，   ， ， 此时，三点共线，有最小值， ，， 设直线的解析式为， 代入，，的坐标得， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点使最小． 3．如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． (1)求直线的函数解析式； (2)连接，，若面积等于面积的，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)10或 (3) 【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． （3）如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得，， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 专题训练12一次函数的全等三角形 1．直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点的坐标 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：． （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或． （3）解：由题意，．设，则． 在中，， ． ． 解得，． ． 点的坐标． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是：（1）掌握待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况：当时，当时，分别 求出点D坐标；（3）利用勾股定理建立关于点M纵坐标的方程． 2．已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）在中，令，则，求得，设直线对应的函数关系式为，解方程组即可得到结论； （2）过点C作轴于点D．构造全等三角形解决问题即可； （3）根据勾股定理得到，①当时，如图1，由全等三角形的性质得到，于是得到，，②当时，如图2，根据全等三角形的性质得到，于是得到，，③当时，这种情况不存在． 【详解】（1）解：在中， 令，则， ， ， 设直线对应的函数关系式为， ∴， ， ∴直线对应的函数关系式为； （2）证明：过点C作轴于点D． ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中， 令，则， ，， 由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ，， ②当时，如图2， ， ， ，． ③当时，这种情况不存在， 综上所述：点Q的坐标为：． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 3．已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，全等三角形的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点H，先求出的长，进而利用三角形面积公式求出的长，即点Q的纵坐标，再把点Q纵坐标代入（1）所求解析式中进行求解即可； （3）分当时，②当时，两种情况先求出运动时间，再求出点Q的路程即可求出点Q的速度． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 把代入中得： 解得：， ∴该正比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 如图，过点Q作轴于点H， ∵， ∴． 在中，当时，解得， ∴． （3）解：∵，点C是线段的中点， ∴，． ①当时， ∵， ∴，， 解得：． ∵ ∴． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． ②当时， ∴， 解得：． ∵， ∴． ∴． 解得：． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． 综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 专题训练13一次函数的等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出B，C两点的坐标． (2)线段上是否存在点P，使为以为底的等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)点是直线图象上一动点，设的面积为S，请求出S关于x的函数解析式． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分别令，，求出x的值即可； （2）连接，过点P作于H，根据为以为底的等腰三角形，得到，即，再根据点P的横坐标与点H的横坐标相同，即可解答； （3）分点M在x轴上方，下方和在x轴上，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴； （2）解：存在，如图，连接，过点P作于H， ∵为以为底的等腰三角形， ∴， 即点H是的中点， ∴， ∵轴，即轴， ∴点P的横坐标与点H的横坐标相同，即点P的横坐标为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：当点M在x轴上方时，如图，过点M作轴于E， ∵是直线图象上一动点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 当点M在x轴下方时，如图，过点M作轴于F， ∵是直线图象上一动点， ∴， ∴， 即； 当点M在x轴上时，点M与点B重合，面积为0； 综上所述，S关于x的函数解析式为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交x轴于点B和点，点是与y轴的交点． (1)求直线与直线的交点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，勾股定理，等腰三角形等知识点，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）将，代入，由待定系数法可得直线的解析式为：，再解方程组，即可求解； （2）设点的坐标为，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点，点经过直线， 则将其代入，得，解得： ∴直线的解析式为：， 由，解得：， ∴直线与直线的交点A的坐标为； （2）存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形，理由如下： 设点的坐标为，， ∵，，则，， ∴，，， 当时，即， ∴，解得：（舍去）， 此时点的坐标为； 当时，即， ∴，解得：或， 此时点的坐标为或； 当时，即， ∴，解得：， 此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形． 3．如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； (3)探索： ①点D是直线上的一个动点，当的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)①或；②存在，P点坐标为，，， 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质， （1）由可得出点坐标，将点的坐标代入直线解析式中即可得出； （2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）①当的面积是3时，则的高为6，即点到轴距离为6，据此求解即可； ②设出点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出，，，分三种情况用两边相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 代入中，得， 解得， ∴， ∴k的值为3； （2）解：∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴的面积； （3）解：①∵的面积是3， ∴的高为6， ∴点到轴距离为6， ∵点D是直线上的一个动点， ∴时，； 时，； ∴点的坐标为或； ②∵在①的条件下，且点D在第一象限， ∴点的坐标为， 设点， ，，， 为等腰三角形， ∴当时，，即：，解得，此时点坐标为，； 当时，，即：，解得（此时和点重合，所以舍去）或，此时点坐标为； 当时，，即：，解得，此时点坐标为； 即：满足条件的P点坐标为，，，． 专题训练14一次函数的等腰直角三角形 1．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【答案】(1)； (2)6； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先利用坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式计算； （3）如图，设，分类讨论：当或，根据等腰直角三角形的性质得；当时，利等腰直角三角形斜边上的高等于斜边得一半得到，然后分别解关于m的方程即可得到M点的坐标． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点与点， 根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，， 解得，则， ∴； （3）如图，∵直线轴于点，交这个一次函数图象于点M， ∴， ∵以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形 ∴当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当时， ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点Q， 则， ∴， 解得，此时M点坐标为， 综上所述，满足条件的M点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①若 ；②若 ； ③若 ；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可. 【详解】（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为： ； （2）解：由折叠的性质可知 ， 设则 在中，，则， 解得： ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若 ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作 交点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作 交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述， 点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点． (1)求的值及直线的函数表达式． (2)若是轴上方且位于直线上的一点，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若是直线上的一点，是轴上的一点，试探究能否成为以为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点 (3)点的坐标为或 【分析】（1）由点在直线上，可得，可求，即．将，，代入得，可求，进而可得直线的函数表达式． （2）当时，可求，．设，由题意知，，，由，可知在点右侧，如图1，由，，，可得，即，计算求解，进而可求． （3）如图2，过点作轴于点，过点作的延长线于点．设．证明，则，即，分当时，当时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴． 将，，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴． 设， 由题意知，，， ∵， ∴在点右侧，如图1， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴． （3）解：能 如图2，过点作轴于点，过点作的延长线于点． 设． ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 当时，解得，此时点的坐标为； 当时，解得，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 专题训练15一次函数的直角三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与函数的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)若函数的图象与y轴交于点B，函数的图象与y轴交于点C，求线段的长； (3)在x坐标轴上存在点P，使是以为直角边的直角三角形，求满足条件的点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式． （1）把代入可求出，再代入，可求出； （2）对于，令，得，可得，对于，令，得，可得，再根据两点间距离公式可求出的长； （3）令．根据勾股定理得出，．分是直角三角形的斜边和是直角三角形的斜边，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 再把代入得，， ∴； （2）解：由（1）可知两个函数解析式分别为和； 对于，令，得， ∴； 对于，令，得， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：若点P在x轴上，令．则根据勾股定理， 可得，． 当是直角三角形的斜边，则有， 即，解得，即点； 当是直角三角形的斜边，则有． 即，解得，即点． 综上所述，满足条件的点或． 2．如图1在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求：点B的坐标______，并直接写出所在直线解析式______． (2)如图2，若点为边的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若的面积为2，求此时M点的坐标和运动的时间t的值． ②如图3．在点M运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，请直接求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为或，对应t的值为或；②，或， 【分析】（1）由勾股定理求出，则，进一步可求出答案，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式； （2）作作于H，求出，当点M在点O的左侧时，，；当点M在点O的右侧时，；据此列出方程求解即可； （3）当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点M运动到点O，点不构成三角形，当时，点M运动到点A，点不构成三角形，当点M在上（除点），即时，当时，当时，作，根据勾股定理以可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴； 设所在直线解析式为， 则， 解得：， ∴所在直线解析式为； （2）①作于H， ∵在中，点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当点M在点O的左侧时，， ∴， 解得：， 此时，， ∴； 当点M在点O的右侧时，， ∴ 解得：， 此时，， ∴； 综上所述，若的面积为2，点的坐标为或，对应t的值为或； ②当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点M运动到点O，点不构成三角形， 当时，点M运动到点A，点不构成三角形， 当点M在上（除点），即时， 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，； 如图4，当时，作于H， ∵，，， ∴， ∴，， 此时，； 综上所述，符合要求时，或，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段上有一点，点关于直线的对称点在轴上．    (1)求的面积； (2)求直线的解析式； (3)点是直线上一点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)6； (2)； (3)或 【分析】（1）求出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）连接交于，求出，根据对称的性质得，根据中点坐标公式得，，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）设，表示出，再利用勾股定理求出，然后分三种情况∶①当为直角顶点时，②当为直角顶点时，③当为直角顶点时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，令，则，解得， 令，则， ∴点，点， ∴，， ； （2）解：连接交于，     ∵点，点， ∴， ∵点、点关于直线对称， ∴， ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点是直线上一点，直线的解析式为． 设， ∵点，点， ∴， ， ． ①当为直角顶点时，， ∴， 解得或（舍去， ∴点的坐标为； ②当为直角顶点时，， ∴， 解得（舍去， ∴此种情况不存在； ③当为直角顶点时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合与分类思想的运用． 专题训练16一次函数的角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①点Q的坐标为或；②点P的坐标为或或． 【分析】（1）先得出A点坐标；将A点坐标代入直线从而得出b的值； （2）①分两种情形：当在下方时，过点B作于E，作轴于点F，作于D，，可证得，从而，，设，从而得出方程，进一步得出结果；同理得出当在上方的情形； ②设，当点P在x轴负半轴时，当（或）时，由得方程求解；当时，由得方程求解，同样方法求解当点P在x轴正半轴时情形． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当，时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图1-1， 过点B作于E，作轴于点F，作于D， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图1-2， 同理可得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或； ②设， 如图2-1， 当（或）时， ，， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-2， 当时， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-3， 当时，， ∴； ∴点P的坐标为； 当（或）， ， ∴（舍去） 综上所述：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形． 2．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点的坐标为，求点的坐标； (2)如图3，直线分别交轴、轴于点、，直线过点交轴于点，且．求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若点是直线上且位于第三象限的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，则，进一步得到，即可证明，则和，结合点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）根据直线求得点A和点C坐标，即可知，则，设点，点，分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交x轴于点D，如图， 则， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则点的坐标； （2）解：∵直线分别交轴、轴于点、， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∴点， 设直线的表达式，则 ，解得， 则直线的表达式； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ①当时，（点M在x轴上方），如图，    分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 同理可得：， ∴，， 即：，， 解得：，； 故点； 同理当点M在x轴下方时， ∴，，解得：（舍去）； ②当时，如图，    同理可得：，， 解得：，， ∴； ③当时，如上图， 同理可得：，， 解得：，， ∴； 综上，或． 【点睛】本题属于一次函数和三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 3．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；点在x轴上，连接． (1)点B的坐标为______； (2)点D坐标为，作射线，直线l交射线于点E． ①当时，求k的值； ②当直线l与射线所夹的锐角为时，求的长度． 【答案】(1)； (2)①；②10或． 【分析】（1）根据题意令直线中，求出y值即可得到点B的坐标； （2）①过点作轴的垂线，垂足为H，根据，推出，求出，由（1）求出，进而求出，求出直线的解析式，再求出点的坐标，代入直线即可解答，②分点E在的延长线上，和点E在线段上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意令直线中，则， ∴； （2）解：①如图，过点E作 轴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入， ∴， ∴ 把代入直线中，则， ∴； ②第一种情况：若点E在线段的延长线上，如图，过点B作，交射线于点F，过点B作直线轴，过点F、点E作 的垂线，垂足分别为M、N， 设， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴的长度为10； 第二种情况：若点E在线段上，如图，过点B作，交射线于点F，过点 B作直线 轴，过点F、点E作的垂线，垂足分别为M、N， 设， 同理可得， 将代入得， ∴， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴的长度为； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数的交点坐标，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 专题训练17一次函数的等角问题 1．如图， 直线与坐标轴分别交于点A， B， 过点A、B作直线，以为边在y轴的右侧作四边形， ．    (1)求点A， B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，； ①若点 D 是线段的中点，求点 E 坐标； ②若点 D 是线段上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点， 另一动点H在直线上且满足，请求出点H的坐标． 【答案】(1)． (2)①；②点E在定直线上；③或 【分析】本题主要考查了一次函数函数与几何的综合、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）分别将代入，求得点B、A的坐标，则可用k表示出的长度，再根据求得k即可求解； （2）①由题意可得，，如图：过点E作轴，证明可得，进而得到即可确定点E的坐标； ②如图：过点E作轴，通过证明得到，设，则结合①得到得到即可求确定解析式； ③先说明四边形为正方形，可得，再分当在下方和上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：分别将代入， 得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． （2）解：①∵点 D 是线段的中点， ∴， 如图：过点E作轴于点F，    由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点E在定直线上． 如图：过点E作轴于点F，    由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）A、B两点的坐标知，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：， ∴，即， ∴点E在定直线上． ③∵， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，； a．如图：当在下方时，且交于M，则，点H为直线与的交点，      ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为，将、代入， 得，解得， ∴直线为， 联立，解得：， ∴； b．如图：当在上方时，作点M关于直线的对称点N， ∴，此时， ∴点H为直线与的交点， 设直线为，将、代入， 得，解得， ∴直线为， 联立，解得：， ∴． 综上，点H坐标为或． 2．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； (3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求解，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意设，结合的面积为，求解，，如图，作关于轴的对称点，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可； （3）由旋转可得，，，过作轴于，证明，可得，求解的解析式为，直线的解析式为：，结合，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线交轴，轴于点和点， ∴当，则，当，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵和交于点， ∴， ∴， ∵为， ∴，解得：， ∴直线为：． （2）解：由题意设， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∵直线为：． ∴当时，， ∴， 如图，作关于轴的对称点， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴． （3）解：如图，∵，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：的解析式为， 同理可得：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴， 如图，当时，记的交点为， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：， 当时，解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形面积，轴对称的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 【答案】(1)：，： (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得到点的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式，根据点的坐标特征求出点的坐标，代入即可求出的函数表达式； （2）分以下两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可； （3）分两种情况，当点在点的左侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出；当点在点的右侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线的表达式得： ， 解得：， 直线的表达式为， 点在直线上， ， ， ， 直线： 经过点， ， ， 直线的函数表达式为 ； （2）解：由已知得：，， 如图，分以下两种情况讨论： 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当点在线段上时，在轴上取一点，使得，则， ， 点在直线上， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在点的左侧时，如图所示： 在直线： 中，令，得， ， ，， ，，， ， 为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 则，， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式， 得， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ； 当点在点的右侧时，如图所示： 由知为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式、全等三角形的判定与性质、翻折问题、一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解答本题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 专题训练18一次函数的比值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 【答案】(1)；是，； (2)． 【分析】点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值； 由可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到； 根据轴，且，可知轴是的垂直平分线，设点的坐标为，则点的坐标为，根据点和点的关系，把这两个点的坐标用含的代数式表示出来，再分当点在点的左侧时和当点在点的右侧时两种情况讨论． 【详解】（1）解：点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （2）解：轴，且，则轴是的垂直平分线， 点在点的左侧或点在点的右侧， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 解得：， 点的坐标为，则点的坐标为， 解方程组， 得：， 点的坐标为， 当点在点的左侧时，如下图所示， ， ， ， ， 整理得：(不成立)； 当点在点的右侧时，如下图所示， ， ， ， ， 整理得： 解得：或， 经检验和是分式方程的根， 当时，，， 满足， 点的坐标为， 点的坐标为， ； 当时，，， 满足， 此时，， 点的坐标为不符合题意， 故线段的长度为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用、待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想．解决本题的关键是根据轴，且，得到轴是的垂直平分线，根据垂直平分线的思想分类讨论求解． 2．已知，是直线上两点，，，且． (1)__________ __________； (2)若平面内存在点，连接交轴于点，连接； ①当轴时，求点坐标及的面积 ②若的面积为6，求点坐标； (3)将直线平移后交轴正半轴于点，交轴于点，此时，点为直线上一点，直线交轴于点，满足，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①  ② 或 (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值即可； （2）分两种情形，当点在的下方，轴上方时，当点在的上方时，分别构建方程求解即可； （3）分两种情形：当点在轴的负半轴上时，连接，首先利用面积法证明：设，用表示出，再利用面积法，构建方程求出即可；当点在线段上时，同法可求. 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得：，， 故答案为：，； （2）①∵，， ∴，， ∵轴， ∴点C的坐标为， ∴； ②解：当点在的下方，轴上方时， 由题意， 解得 ， ∴； 当点在的上方时， 由题意，， 解得 ， ∴. 综上所述, 满足条件的点的坐标为 或 ； （3）解: 当点在轴的负半轴上时, 连接. ∵， ∴, ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设, , , ∵, ∴， ∴ 解得： 同法可得, ∴ ∵, ∴， ∴, ∴； 当点在线段上时，同法可得 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B分别为y轴正半轴和x轴正半轴上的点，点，连接，， (1)如图1，求点B的坐标； (2)如图2，点P为线段上一动点，点P的坐标为，以P为直角顶点作等腰直角，求点Q的坐标（用含m、n表示，不要求写出m、n的取值范围）； (3)如图3，点C为中点，点P为线段上一动点，点E为y轴点A上方一点，点F为y轴负半轴上一点，，连接，若射线于D，连接，，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)或者 (3) 【分析】（1）根据三角形面积，即可求出B； （2）先求出直线的解析式为：，可得，当点Q在上方时落在，当点Q在下方时落在，过作轴于W点，过轴于H点，如图，根据题意可知：、等腰直角三角形，再证明点与点关于直线对称，且垂直平分，即有，接着证明，即有，，结合图形有：，，则有，进而可得，，则有，问题随之得解； （3）延长交于点G，过点C作于点K．证明，，，可得：．过点G分别作于点M，于点N．证明．根据，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P为线段上一动点，点P的坐标为， ∴， ∴， 当点Q在上方时落在，当点Q在下方时落在，过作轴于W点，过轴于H点，如图， 根据题意可知：、等腰直角三角形， ∴，，， ∴点与点关于直线对称，且垂直平分， ∴， ∵、等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， 结合图形有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点，点， 综上：点Q的坐标为：或者； （3）解：∵点C为中点， ∴． 延长交于点G，过点C作于点K． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 同理，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． ∵于点D， ∴． 在中，； 在中，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 过点G分别作于点M，于点N． ∵， ∴平分， 又∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道直角坐标系与三角形的综合题，考查了全等三角形的判断与性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，中点坐标公式，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，难度较大，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，并能够熟练运用． 专题训练19一次函数的定值问题 1．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图2，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为___________． 【答案】(1) (2) (3)①24；②12 【分析】（1）根据坐标与图形性质，结合等腰直角三角形的判定与性质求得，，然后利用待定系数法求解表达式即可； （2）证明得到，故只需求得点P坐标即可，分别求得直线、的表达式，联立方程组即可求得点P坐标，进而利用中点坐标公式求解即可； （3）①作，，垂足为、，分在上方和在下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质和平行线的判定和性质证明轴，然后利用等底等高的三角形的面积相等求解即可； ②分与点重合时和与点重合时的的长，进而可求解． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴，则， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，又， ∴，则， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为； 同理，求得直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， 设， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （I）当在上方时， ，，， ， 则，， ， ， ， ，， ∵，， ， ， ， ， 轴， （II）当在下方时， 同理证明得到，轴， 在经过点且平行于轴的直线上运动， ； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，则， ∵，， ∴，又轴， ； 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ， 点的运动路径长为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线，利用数形结合与分类讨论思想求解是解答的关键． 3．如图1，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，与交于点． (1)求点的坐标； (2)若点为直线上一点，若，求满足条件的点的坐标； (3)如图2，已知为四边形内一点，连接，记的面积分别为，若点的坐标为，则是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，这个定值是 【分析】本题考查了两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）联立得，，计算求解，进而可求点坐标； （2）当时，，即，；当时，，可求，则，；设，则，，即，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，作轴，交于，作轴，交于， 当时，，即；当时，，可求，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：联立得，， 解得，， ∴； （2）解：当时，，即，； 当时，， 解得，， ∴，； 设，则，， ∵， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：如图2，作轴，交于，作轴，交于， 当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴，， ∵， ∴是定值，这个定值是． 专题训练20一次函数的分段函数 1．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式． (2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． 当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________； 如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________． (3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________； 当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)①；② (3)①，；②或 【分析】仿照题干中“友好函数”的定义写出函数关于点的“友好函数”的解析式； 写出函数关于点的“友好函数”的解析式，根据此时函数值的取值范围是分两种情况求解，第一种情况是当时，可得；第二种情况是当时，可得． 当矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点，设左侧的函数解析式为，把点的坐标代入解析式求出即可； 当为直角三角形且为一条直角边时，分两种情况求解，一种情况是为斜边，另一种情况是为斜边， 当与矩形围成的三角形的面积为时，分两种情况求解，一种情况是与、边围成的三角形的面积为，另一种情况是与、边围成的三角形的面积为． 【详解】（1）解：如下图所示， 函数关于点的“友好函数”的解析式为； （2）解：如下图所示， 当时，函数关于点的“友好函数”是， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 综上所述，当时，的取值范围是； 矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点， 设左侧的函数解析式为， 把点的坐标代入可得：， 解得：， 此时在点左侧的函数解析式为， 点也在函数上， ， 解得：； （3）解：如下图所示， 由可知， 设点的坐标为， 点、， ， ，， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或； 如下图所示， 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为； 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“友好函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 2．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时，若点在图象G上，求n的值； (2)当时，求函数的最大值； (3)当时，求函数最大值与最小值的差； (4)已知点，，当图象G与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3)1 (4)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图像与性质等、解不等式组知识点，掌握分类讨论和数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求解即可； （2）将代入解析式,然后根据一次函数的图形的性质求最值即可； （3）根据一次函数的图像的性质求得最大和最小值，然后作差即可解答； （4）先分别求出函数与的交点，然后分情况画出图形，并根据图形列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，函数， ∵点在图像G上， ∴当时，． （2）解：当时，函数， 当时，由，则y随x的增大而增大，即当时，函数有最大值2； 当时，由，则y随x的增大而减小，即当时，函数有最大值2； 综上，函数的最大值为2． （3）解：函数， 所以当时， y随x的增大而增大；当时，则y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； 当时，y有最大值； 当时，y有最小值； 当时，y有最小值； 当时，y有最小值； ∴当时，y有最大值，最小值， ∴函数最大值与最小值的差为． （4）解：， ∵， ∴该分段函数图像大致为： ∵，， ∴线段在直线上． 若图象G与线段只有一个公共点时，有如下几种情况： ①∵或， ∴如图：，解得：； ②令，，分别解得：，， 当，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得不等式无解； 当，A、B同为，与图形G无交点， 当，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：； ③令，，分别解得：，， 当，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得方程组无解； 当，A、B同为，与图形G无交点， 当，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：． 综上，或或． 3．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 专题训练21一次函数的翻折问题 1．如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由得，，由，得，得，得，即得； （2）设,则，连接，可得，，得，根据，得，得，得,得，得，求得，根据，得，得，得，即得； （3）设,则，连接，根据垂直平分，和折叠，可得是等边三角形，得，得，根据，得，得，即得或． 【详解】（1）解：中，时，；时，， ∴，， 代入， 得， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）设，则， 连接， ∵，， ∴，, ∵D是中点， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∴， ∴, ∵ F是E关于原点的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴； （3）设，则， 连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠知，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形性质，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 2．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 【答案】(1)点的坐标为，的值是2 (2)或 (3)或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得； （3）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ， 把代入得：， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 设直线解析式为 代入，可得，解得：， 直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， 设直线解析式为 代入，得：，解得： 直线解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或； （3）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ，解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图： ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 3．如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； (2)①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； (3)如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，， (2)①图见解析，Q（0，）②点N坐标为或或 (3)点E坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得值，进而得到点，再将点代入即可求得值； （2）①作点B关于轴的对称点，连接与轴交于点，由两点之间线段最短，可知此时的周长最短，再设直线解析式为，利用待定系数法求出直线解析式，即可得到点Q的坐标； ②根据平行四边形性质作出草图，再利用线段平移规律直接写出点N坐标，即可解题； （3）根据为直角三角形分以下两种情况讨论，当时，当时，根据这两种情况画出草图，结合轴对称性质，以及勾股定理，坐标与图形，即可求解出点E的坐标． 【详解】（1）解：经过定点， 可得：， 解得：， 直线解析式为：， 直线与交于点， 可得：， ，将其代入可得： ，解得：， 直线解析式为：， 故答案为：，，； （2）解：①如图1-1，点Q即为所求； 把代入直线得，，解得， ， 与B关于y轴对称， ， ， 设直线直线解析式为， 解得， 直线解析式为， 令，则， 点Q坐标为； ②如图1-2（利用线段平移规律直接写出）， 向左平移个单位，向上平移个单位得到， 向左平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 向右平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向左平移个单位，向下平移个单位得到， 向左平移个单位，向下平移个单位得到点坐标为， 点N坐标为或或； （3）解：情况1：如图2-1， 当时， ， ， 由折叠可得，， ， ， 过M作轴于G， ， ，， ，，， ， ，， ， 点E在第四象限， 情况2：如图2-2 ，              当时， 在中， ， 由折叠可得， ， ， 点E在第三象限， ． 综上，点E坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点情况，将军饮马模型求的周长最短（轴对称性质），两点之间线段最短，平行四边形性质，平移的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 专题训练22一次函数的旋转问题 1．在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①90°，见解析；② (3)或 【分析】本题主要考查勾股定理以及逆定理，一次函数图象，轴对称的性质，中心对称的性质 （1）根据轴对称和中心对称的性质以及勾股定理以及逆定理求解即可； （2）①连接，可得，进而即可求解；②先推出，再根据勾股定理求解即可； （3）分当点P在正方形外部时，当点P在正方形内部时，结合勾股定理求解即可 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为， ∵，共线， ∴点可以看作是点关于点的对称点， 故答案为：； （2）①解：连接 由对称性可得：， ∴； ②由（1）可知：共线， ∴ ∵， ∴； （3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，， ∴， ∴， ∴； ②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或 2．如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点(，) (2)点的坐标为(， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平面直角坐标系，三角形全等的判定及性质，解题的关键是正确利用模型并作出正确的辅助线． （1）由待定系数法即可求解，将点(，)代入解析式中即可求出的值，令解析式的即可求点的坐标； （2）过点作轴交于点，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点，证明，求得，利用待定系数法即可求解，当直线绕点逆时针旋转得到时，同理可得的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中得：，解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则， 点， 即，点(，)； （2）过点作轴交于点， ，， 由型全等模型可得， ，，则， 点的坐标为(，)； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点， ，， ， 由型全等模型可得， 与轴的交点(，)，(，)， ，， (，)， 设直线的解析式为， ， 解得： ， ； 当直线绕点逆时针旋转得到时， 同理可得． 综上所述：直线的解析式为或． 3．如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4． (1)求点C的坐标； (2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出A的坐标为，用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）①延长交y轴于点H，设，，则，根据求出n，进而求出， 证明，则，再求出，进而求出直线的表达式； ②作交直线于点E，作交直线于点F，证明得，，求出，用待定系数法求出直线的表达式即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 令y=0，得 解得， ∴； （2）解：①延长交y轴于点H， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵轴，则， ∵平分线交x轴于点M，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ， ∴， ∴； ②作交直线于点E，作交直线于点F， 令， 解得， ∴． 由旋转的性质可知， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 设直线的表达式为， 把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】此考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，旋转的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质等，数形结合是解本题的关键． 专题训练23一次函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点，例如，图1中的P，Q两点即为和谐点． 已知点． (1)在点，，中，点A的和谐点是 　 　； (2)若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，请求出直线的解析式； (3)已知点，点，连接，点M为线段上一点．经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，待定系数法，理解新定义是解题的关键． （1）分别求出各点到坐标轴的距离和，由和谐点的定义，即可求解； （2）由和谐点的定义得的坐标为或，由待定系数法，即可求解； （3）由待定系数法得直线的解析式为，设，到两坐标轴的距离和为，由和谐点的定义得在正方形的边上，即可求解． 【详解】（1）解：到两坐标轴的距离和为， 到两坐标轴的距离和为， 到两坐标轴的距离和为， 到两坐标轴的距离和为， 点A的和谐点是， 故答案为：； （2）解：点B在y轴上，且A，B两点为和谐点， 的坐标为或， 当的坐标为时， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当的坐标为时， 同理可求：直线的解析式为， 综上所述：直线的解析式为或； （3）解：如图， 同理可求：直线的解析式为， 设， 点M为线段上一点， 到两坐标轴的距离和为： ， ， 经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，在直线l上存在点N， ， M，N两点为和谐点， 在正方形的边上，如图， ． 2．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【答案】（1）、；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）点，，的坐标适合关系式的，即为点的和差点； （2）设，根据新定义得出点Q在直线上，联立，解方程组即可； （3）设点的和差点Q的坐标为，分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴在直线上， 把代入得：， ∴不在直线上， 把代入得：， ∴在直线上， ∴点的和差点为、； （2）设， ∵点是点的一个和差点， ∴， 整理得：， ∴点Q在直线上， 又∵点在直线， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； （3）设点的和差点Q的坐标为， 当点P在边上时，设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线直线的解析式为：， 设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∴此时点的和差点Q在直线上； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 综上分析可知：点的和差点Q在直线和之间，如图所示： 3．【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】（1）是． （2）或． （3）或． （4）． 【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可； （2）分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （4）特殊点法求一次函数解析式，面积桥求的高，面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）∵点， ∴， ∵， ∴， 所以， 则是2的“等垂点”， 故答案 ：是． （2）∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，易证， ∴， ∴， ∴． ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示易证， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案 ：或． （3）设 当时，如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 即 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图过作于点， 同理可得 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 综上所述：或． （4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”， 易求得与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线为， 如图过点分别作， ∵，，， ∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ， 所以． 【点睛】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． 专题训练24一次函数的阅读理解 1．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 2．【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． (1)当时，若点恰好落在直线上，求的值； (2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，， ①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质． （1）根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可； （2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围； ②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次， 根据平移方式，点的坐标为， 由题意得， 解得； （2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次， ∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为， 由题意得，即， ∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 若点、点位于直线的两侧， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， ∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是； ②点关于直线的对称点落在轴上， 记直线与轴、轴的交点为， 过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图， 根据题意得，， ∴， ∴， 根据轴对称的性质得，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴且， ∴点与点重合， ∴， ∴． 3．阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可； （3）先求出或，根据 “完美等距点”的定义得到，构造“三垂直全等”求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“等距点”； ∵， ∴， ∴C不是“等距点”； ∵， ∴， ∴是“等距点”， ∵， ，， ∴是“完美等距点”， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一动点， ∴， ∴， 而，，原点O为线段的“等距点” ∴， ∴， ∴， 解得：, ∴或； （3）解：设，由， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∵H是线段的“完美等距点”， ∴， 线段上方的点H记为，过点作轴的垂线，再过点分别作垂线的垂线，垂足为，如图： 则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 设， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 点线段下方的点H记为，构造同样辅助线， 同理可求：； 当时，线段上方的点H记为，线段下方的点H记为，构造同样的辅助线，如图： 同上可求：， 综上所述，“完美等距点”的坐标为：或或或． 【点睛】本题综合考查了正比例函数与几何知识的应用，考查了两点间距离公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 专题训练25一次函数的项目化学习 1．【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 菌落总数 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后第几天菌落总数恰好为？ 【答案】（1）；（2）桶装水打开后第天菌落总数恰好为 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）设，利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，代入求解即可． 【详解】解：（1）设菌落总数与试验天数之间的一次函数关系式为， 由题意得解得 ． （2）当时，． 解得：． 桶装水打开后第天菌落总数恰好为。 2．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】(1) (2)桶装水最佳饮用时间是7天 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）设，利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，代入求解即可． 【详解】（1）解：设． 当时， ． ， 将代入得：． 解得：， （2）解：当时，． 解得：． 桶装水最佳饮用时间是7天． 3．项目化学习 项目主题：探究我国古代漏刻，并自制漏刻． 项目背景：在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，水钟在古代也叫“漏刻”或“漏壶”．图1是原始漏刻的示意图．其原理是水从上而的漏水壶慢慢漏人下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏 箭”）．以此来计时．图2是唐代制造 的四级漏刻． 驱动任务：探究漏刻的原理， 研究步骤： ①自制图3所示的“漏壶”； ②为了提高计时的准确性，需稳定“漏水壶”的水位； ③打开出水口B，水位就稳定在BC位置，随着“受水壶”内的浮子的高度与经历的时间逐渐增加，读出“受水壶”中浮子上的刻度，就可以确定时间； 试验数据： t（min） ··· ··· h（mm） ··· ··· ④分析数据，得出结论． 问题解决： 请根据此次项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合初中阶段所学的哪种函数，并求出相应的函数表达式； (2)如图3，受水壶中的水位最大高度为， 若受水壶中的浮子上升到最大高度时，可以表示的时间是，求当浮子的高度为时，求可以表示的时间． 【答案】(1)正比例， (2)15 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、有理数除法的应用等知识点，正确求得函数关系式成为解题的关键． （1）根据表中数据可知水壶内的浮子逐渐增加的高度h（）与经历的时间t（）符合初中一次函数，然后再运用待定系数法解答即可； （2）令，然后代入（1）所得解析式即可解答． 【详解】（1）解：由表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合正比例函数， 设函数解析式为：， 由题意可得：，解得：， 所以水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间得函数表达式为． （2）解：根据题意可得：当浮子的高度为时实际为：． 答：当浮子的高度为时，表示的时间为15时． 专题训练26一次函数的迁移探究 1．【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【详解】（1）①求出，可得是等腰直角三角形，故；②当时，取得最小值，求出的值，证明，即得，即的最小值是； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，求出，设，可证，则，求出，即可得直线l的函数表达式； （3）设，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时． 【解答】解：（1）①在中，令得，令得； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由垂线段最短知，当时，取得最小值，如图： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值是， 故答案为：； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，如图： 在中，令得，令得， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线l的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴； （3）设， 当P在x轴的上方时，过P作轴于M，如图： 由，同（2）可证， ∴； ∴， 解得， ∴； 当P在x轴的下方时，过Q作轴交于N，过P作于M，如图： 则， 同（2）可证， ∴； 即， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（模型呈现）：见解析；（模型应用）：①点的坐标为，点的坐标为；②点的坐标为，；（模型迁移）：或 【分析】（模型呈现）根据证明即可； （模型应用）①令和令即可求出点A和点的坐标． ②过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质即可求出点的坐标为，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （模型迁移）：根据题意可得，设，画出图象，当时，证明，根据全等三角形的性质列出等式即可求解． 【详解】（模型呈现）：证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （模型应用）：①解：把代入中，得， 点的坐标为． 把代入，得，解得：， 点的坐标为． ②如图中，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为； （模型迁移）：根据题意可得， 设， 则当时， 如图，过点作直线轴交于点E，过点P作， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，一次函数的解析式求解，一次函数的图象和性质，点的对称，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，数形结合． 3．阅读材料，完成下列各题： 对于不与轴、轴平行或重合直线，其中叫做直线的斜率．若在直线上有不重合的两点，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式． (1)新知运用：已知点和点，求过两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线上有不重合四点，，，． ①求出的值； ②比较与的大小． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确理解斜率公式是解题关键． （1）直接利用斜率公式计算即可得； （2）①根据点、，利用斜率公式可得；②根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点和点， ∴过两点的直线的斜率为： ． （2）解：①∵、在直线上， ∴． ②∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，为直线上不重合的两点，， ∴． 2 / 183 学科网（北京）股份有限公司 $$