17.1 变量与函数-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

17.1 变量与函数 课程标准 学习目标 ①自变量与因变量 ②函数 1. 掌握变量的定义，了解x为自变量，y为因变量； 2. 掌握三种表示函数关系的方法． 知识点01 变量 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 常量：取值始终不变的量，称为常量。 知识点02 函数 1.定义：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.表示方法：通常有解析式法、列表法和图像法三种。 （1）解析式法：用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，如y=kx+b（k和b为常数，k≠0）为一次函数的解析式。 （2）列表法：列出自变量与对应函数值的一系列数值对来表示函数关系。 （3）图像法：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标描点，由这些点组成的图形即为函数的图像。 题型01 函数的概念 【典例1】两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C．是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 【变式1】下列图象不能表示为的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【变式3】下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ，因变量是 ． 【变式4】已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 题型02 自变量的值或取值范围 【典例1】函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【变式2】圆周长公式中，变量是 ． 【变式3】函数的自变量的取值范围是 ． 【变式4】（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 题型03 用表格表示变量间的关系 【典例1】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法错误的是（   ） A．土豆产量是因变量 B．氮肥施用量是自变量 C．氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 【变式1】高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量/ 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量为因变量 B．在海拔高度为的地方空气含氧量是 C．海拔高度每上升，空气含氧量减少 D．海拔高度从上升到处，空气含氧量减少 【变式2】已知函数，那么 ． 【变式3】百货大楼进了一批花布，出售时要在进价基础上加一定的利润，布的数量（米）与售价（元）之间的关系如下表所示： 数量米 1 2 3 4 售价／元 若花布的长度为10米，则售价为 元． 【变式4】在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 题型04 用关系式表示变量间的关系 【典例1】已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 用含的代数式表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在高处让一物体由静止开始落下，它下落的时间t（秒）与下落的高度h（米）之间的关系如下表． 下落的时间t（秒） 1 2 3 4 … 下落的高度h（米） … 请根据表格中的数据，当下落的时间为7秒时，下落的高度是 米． 【变式3】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ． 【变式4】一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 题型05 用图象表示变量间的关系 【典例1】运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 【变式3】小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【变式4】在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A． B． C． D． 3．某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是（    ） A．3 B．x C．y D．不确定 4．长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 5．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 ，因变量是 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； （4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； （5）图中点A表示 ． 6．函数的自变量取值范围是 ． 7．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 8．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 9．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 10．我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 11．指出下列问题中的常量和变量： (1)正方形的周长l与它的边长a之间的关系是； (2)一台机器上的轮子的转速为60转/分，轮子旋转的转数n（单位：转）与时间t（单位：分）之间的关系为； (3)小亮练习1500米长跑，他跑完全程所用的时间t（单位：秒）与他跑步的平均速度v（单位：米/秒）的关系为． 12．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 13．从洛阳到郑州的铁路运行速度与时间的关系如下表： 速度/千米/小时 2.5 3 5 时间/小时 48 40 24 (1)洛阳到郑州的铁路里程是多少？ (2)如果用x表示速度，y表示时间，则用式子表示x与y之间的关系，x与y成什么比例关系？ 14．天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 15．如图，在中，，，，是边上一点，且．动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当直线将分成面积比为两部分时，直接写出的值，并写出此时的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 变量与函数 课程标准 学习目标 ①自变量与因变量 ②函数 1. 掌握变量的定义，了解x为自变量，y为因变量； 2. 掌握三种表示函数关系的方法． 知识点01 变量 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 常量：取值始终不变的量，称为常量。 知识点02 函数 1.定义：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.表示方法：通常有解析式法、列表法和图像法三种。 （1）解析式法：用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，如y=kx+b（k和b为常数，k≠0）为一次函数的解析式。 （2）列表法：列出自变量与对应函数值的一系列数值对来表示函数关系。 （3）图像法：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标描点，由这些点组成的图形即为函数的图像。 题型01 函数的概念 【典例1】两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C．是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量的定义，熟练掌握函数的常量和变量的定义是解题的关键； 根据长方形的面积公式得，然后根据在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量；数值发生变化的量称为变量即可解答． 【详解】解∶ ∵两邻边长分别为2与的长方形的面积为S， ∴， ∵长方形的一条边长始终固定为2，其数值不会发生变化， ∴2是常量， ∵x表示长方形的另一条边的长度，它的取值可以是不同的数值，即x的数值是可以变化的，∴x是变量， ∵在中，x是变量，当x的取值发生变化时，S的值也会随之改变， ∴S是变量． 故选：A． 【变式1】下列图象不能表示为的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的概念即可得出答案． 【详解】解：由函数的概念可知，一个自变量x的值只能对应一个因变量y的值， 选项C中，一个自变量x的值可以对应两个因变量y的值，不符合函数的概念． 其他选项均符合函数的概念． 故选：C． 【变式2】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 【变式3】下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 两 年份 入学儿童人数 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．首先根据表格，可得上表反映了两个变量（入学儿童人数和年份）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【详解】解：∵入学儿童人数随着年份的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是年份；因变量是入学儿童人数． 故答案为：两，年份，入学儿童人数． 【变式4】已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 题型02 自变量的值或取值范围 【典例1】函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得：， 故选B． 【变式1】已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．把，代入求出函数解析式，再把代入即可求出y的值． 【详解】解：把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ． 故选C． 【变式2】圆周长公式中，变量是 ． 【答案】和 【分析】本题主要考查了函数的定义， 根据函数的意义可知：变量是改变的量，据此即可确定变量． 【详解】解：在圆的周长公式中，与是改变的，是变量， 变量是，， 故答案为：和． 【变式3】函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及函数，熟练掌握算术平方根的非负性及函数是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【变式4】（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 【答案】（1），100；（2） 【分析】本题主要考查了函数的概念、算术平方根等知识点，理解函数的概念以及算术平方根的规律是解题的关键． （1）自变量x的小数点向右或向左每移动2位，因变量y向相应的方向仅移动一位，据此解答即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：，即， ∴， ∴． 故答案为：，100． （2）由（1）可得：若，则； 若，则． 故答案为：． 题型03 用表格表示变量间的关系 【典例1】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法错误的是（   ） A．土豆产量是因变量 B．氮肥施用量是自变量 C．氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察土豆的产量与氮肥的施用量的表格得出氮肥施用量为自变量，土豆产量为因变量，然后分析表格的数据，得出土豆产量并不是随氮肥施用量的增加而增加的，即可作答． 【详解】解：由表得，土豆产量为因变量，故A正确； 氮肥施用量为自变量，故B正确； 当氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷，故C正确； 当氮肥施用量为336千克/公顷时，土豆产量为43.4吨/公顷， 当氨肥施用量为404千克/公顷时，土豆产量为40.8吨/公顷，而， ∴土豆产量并不是随氮肥施用量的增加而增加的，故D错误． 故选D． 【变式1】高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量/ 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量为因变量 B．在海拔高度为的地方空气含氧量是 C．海拔高度每上升，空气含氧量减少 D．海拔高度从上升到处，空气含氧量减少 【答案】C 【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是理解题意，熟练掌握自变量和因变量． 根据题目中表格给出的数据进行解答即可． 【详解】解：A．因为，空气含氧量随着海拔高度的变化而变化，所以，海拔高度是自变量，空气含氧量为因变量，故该选项说法正确，不符合题意； B．在海拔高度为的地方空气含氧量是，故该选项说法正确，不符合题意； C．，，，，海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是，故该选项说法错误，符合题意． D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减为，故该选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】已知函数，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将直接代入函数解析式求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3】百货大楼进了一批花布，出售时要在进价基础上加一定的利润，布的数量（米）与售价（元）之间的关系如下表所示： 数量米 1 2 3 4 售价／元 若花布的长度为10米，则售价为 元． 【答案】 【分析】本题考查利用表格求函数解析式．根据表格可以得到，售价是销售数量的倍，写出解析式即可，将代入，即可求解． 【详解】解：设销售数量x个，售价y元； 由表格可知：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴y与x的关系式为； ∴当时， 故答案为：． 【变式4】在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 【答案】(1)海拔高度h，气温t (2) (3)气温是 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中进行计算、解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t． 故答案为：海拔高度h，气温t； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：， 故答案为：； （3）解：由题意得，当时， ， 答：气温是； 题型04 用关系式表示变量间的关系 【典例1】已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 两边之和大于第三边， ， ， ， 故选：A． 【变式1】表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 用含的代数式表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，观察表格中的数据得出每增加，增加，从表格中的数据得出规律，得出关系式即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，当每增加，增加， ∵， ， ， ， ， ∴， 故选：D． 【变式2】在高处让一物体由静止开始落下，它下落的时间t（秒）与下落的高度h（米）之间的关系如下表． 下落的时间t（秒） 1 2 3 4 … 下落的高度h（米） … 请根据表格中的数据，当下落的时间为7秒时，下落的高度是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，数字类规律探索，列代数式，代数式求值等知识点，通过观察表中数据发现并总结出一般规律是解题的关键． 通过观察表中数据可以发现，当下落的时间秒时，下落的高度（米），进而可求出当下落的时间秒时下落的高度． 【详解】解：通过观察表中数据可以发现： 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 当下落的时间秒时，下落的高度（米）， 故答案为：． 【变式3】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，列关系式即可． 【详解】解：∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，设蛋白质为， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设脂肪的含量为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 【答案】(1) (2) (3)这台拖拉机已工作了5个小时 【分析】本题主要考查函数的解析式，熟练掌握函数的相关概念是解题的关键． （1）根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”即可得出其函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算求解即可； （3）把代入（1）中函数关系式计算求解即可． 【详解】（1）解：根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”得：， ∴油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式为； （2）解：当时，， 所以，当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是 （3）解：当时，， 解得：， ∴这台拖拉机已工作了5个小时． 题型05 用图象表示变量间的关系 【典例1】运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，熟练掌握用图象表示变量之间的关系是解题关键．运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，由此即可得． 【详解】解：因为运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面， 所以铅球的高度先随着水平距离的增大而增大，在取得最大值后，再随着水平距离的增大而减小， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 【变式1】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 【变式2】一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据总容量蓄水量单位时间内的注水量注入时间就可以表示出与之间的关系式，再根据水池的容积是求出自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 水池的容积是， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【变式3】小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 【变式4】在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意； B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 2．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，根据“剩余的钱总钱数花去的钱”解答即可． 【详解】解：y与x间的关系式是． 故选：B． 3．某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是（    ） A．3 B．x C．y D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的区别，常量就是数值始终不变的量，变量是数值发生变化的量，根据总价=单价×数量列式，再根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答． 【详解】解： 某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是3， 故选：A． 4．长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的解析式，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．由长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，可得另一边长为厘米，再利用长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米， 长方形的另一边长为厘米， 长方形的面积， y与x的关系式为． 故选：C． 5．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 ，因变量是 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； （4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； （5）图中点A表示 ． 【答案】 操控无人机的时间； 无人机的飞行高度； 5； 25； 2； 15； 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留时间为分钟即可； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （4）根据速速、时间与路程的关系式，列式计算求解即可； （5）根据点的实际意义解答即可． 【详解】解：（1）横轴代表的是无人机被操控的时间，纵轴是无人机飞行的高度，所以自变量是操控无人机的时间；因变量是无人机的飞行高度； （2）无人机在75米高的上空停留时间为分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为：米/分； （4）图中表示的数为：分钟；图中表示的数为分钟； （5）图中点A表示，在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【点睛】本题考查变量之间的关系在实际中的应用，根据图象学会分析是解题重点． 6．函数的自变量取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴自变量取值范围是， 故答案为：． 7．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 【答案】/ 【分析】本题考查了函数关系式，根据表格得出行驶速度是解题的关键． 由表格得出每小时行驶，用开始时离福州的距离减去行驶的距离即可． 【详解】解：由表格可知，汽车每半小时行驶, ∴汽车的行驶速度为， 则． 故答案为： ． 8．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以． 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 9．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键． 把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时， ， ∴输出因变量． 故答案为：42． 10．我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，先求出，，当时，，即，代入计算即可得解． 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 11．指出下列问题中的常量和变量： (1)正方形的周长l与它的边长a之间的关系是； (2)一台机器上的轮子的转速为60转/分，轮子旋转的转数n（单位：转）与时间t（单位：分）之间的关系为； (3)小亮练习1500米长跑，他跑完全程所用的时间t（单位：秒）与他跑步的平均速度v（单位：米/秒）的关系为． 【答案】(1)l、a为变量，4为常量 (2)n、t为变量，60为常量 (3)t、v为变量，1500为常量 【分析】本题考查了常量与变量，根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：等式中，l、a为变量，4为常量； （2）解：根据题意可知：等式中，n、t为变量，60为常量； （3）解：根据题意可知：等式中，t、v为变量，1500为常量． 12．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了函数关系式以及求函数值．根据题意列出正确的关系式是解题关键． （1）由表可知高度每增加1千米，温度下降，据此即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 13．从洛阳到郑州的铁路运行速度与时间的关系如下表： 速度/千米/小时 2.5 3 5 时间/小时 48 40 24 (1)洛阳到郑州的铁路里程是多少？ (2)如果用x表示速度，y表示时间，则用式子表示x与y之间的关系，x与y成什么比例关系？ 【答案】(1)120千米 (2)，x与y成反比例关系 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，熟练掌握路程=速度×时间是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间即可得出答案； （2）根据的关系即可得出答案． 【详解】（1）（千米）． 答：洛阳到郑州的铁路里程是120千米． （2）因为， 所以速度与时间成反比例， 所以，x与y成反比例关系． 14．天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 【答案】问题1：①，②； 问题2：小研一家一年的天然气用费是元，见解析 【分析】本题考查了列函数式； 问题1：①根据天然气用费y（元）=第一阶梯单价用量x（立方米），即可求出天然气年用量在第一阶梯时应交费用； ②根据天然气用费y（元）=第二阶梯单价用量x（立方米）不超过的部分的差价，即可求出天然气年用量在第二阶梯时应交费用； 问题2：根据数量关系，先求出小研一家一年的天然气气量，再按实际情况列式计算. 【详解】问题1．解：①由题意得； ②由题意得 ； 即：； 问题2：小研一家一年的天然气气量（立方米）， 所以小研一家一年的天然气用费是： （元）； 答：小研一家一年的天然气用费是 元． 15．如图，在中，，，，是边上一点，且．动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当直线将分成面积比为两部分时，直接写出的值，并写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或时，直线将分成面积比为两部分，当时，，当时， 【分析】（1）根据题意表示出，，根据勾股定理得出，求出结果即可； （2）根据三角形面积公式得出结果即可； （3）根据直线将分成面积比为两部分，得出或，列出关于t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，， 在中，，，，， ， 解得：， 时，的值为． （2）解：∵，，， ∴． （3）解：直线将分成面积比为两部分， 或， 或， 解得或2， 当时，， 当时，， 或时，直线将分成面积比为两部分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，求函数解析式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直角三角形面积公式，注意分类讨论． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$