精品解析：江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年灌云县第一中学上学期期末考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C 【解析】 【分析】将已知数列改写为：，可得到该数列的通项公式，即可求得答案． 【详解】此数列可写为：，所以该数列的通项公式为：， 令，解之得：. 故选：C． 2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】在双曲线中，，则， 所以，双曲线的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 因此，双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 故选：B. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果. 【详解】因为点到直线的距离是， 所以圆的半径为，所以圆的方程为. 故选：A. 5. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列和等比中项的公式可得答案. 【详解】因为等差数列的公差为，所以， 因为，，成等比数列，所以，解得， 所以. 故选：B 6. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 7. 已知数列满足，且，则最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求，再求其最小值. 【详解】因为， 所以当时，，，，， 所以，又， 所以当时，， 当时，也满足关系， 所以，， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：D. 8. 已知奇函数，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 64 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列的通项公式逐项计算判断可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上不存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的值，利用椭圆的离心率公式可判断A选项；设点，由题意得出，求出的值，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】椭圆的焦点分别为、，则，， ，可得，故， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，假设在椭圆上存在点，使得，且， ，， 所以，， 解得，合乎题意， 所以，椭圆上存在点使得，B错； 对于C选项，设点、，由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 则，上述两个等式作差可得， 即，即， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即，C对； 对于D选项，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以，的周长为，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列满足，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，结合等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又，即切点为， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 14. 已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得. 故答案为： 四、解答题： 15. 已知为等差数列，是等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）若，记为的前项和，那么求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式解题即可；（2）先用分组求和求出，然后代入数据求解即可, 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为． 因为，所以，即，所以， 所以，则，所以． 【小问2详解】 ．  所以. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极大值与极小值． 【答案】（1）增区间为和，减区间为 （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【小问1详解】 因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. 【小问2详解】 由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 17. 已知椭圆焦距是长轴长的一半，为左焦点，是上任意一点，且的最大值为． （1）求的方程 ； （2）设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于，两点，求证：直线，的斜率之和为. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得出关于的方程组，解得后再求出即得； （2）设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，然后代入化简即得． 小问1详解】 设，则，因为最大值为， 所以，解得，，则， 所以的方程为． 【小问2详解】 由题知，设，， 由，消去得， 其中， 则，， 因为 ， 所以直线，的斜率之和为． 18. 已知数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求得正确答案. （2）利用错位相减求和法来求得正确答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 因为也适合该式， 所以； 【小问2详解】 数列满足， 因为，所以，由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，可得， 则+++ ， ， 两式相减可得， ， 所以． 19. 已知函数 （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）设，求证：恰有个极值点； （3）若，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）e 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解； （2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解； （3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【小问1详解】 由函数  ，可得  ， 令  ，可得  ， 则  的关系，如图下表： 2 (-2,1) (1,2) f(-2)= 极大值 f(1)=e f(2)=0 综上可得，函数  ． 【小问2详解】 由函数  ， 可得  ， 因为  ， 所以方程  有两个不同的根，设为  且  ，则有 极小值 极大值 综上可得，函数  恰有个极值点． 【小问3详解】 因为  ，所以  ，不等式  恒成立， 设  ，可得  ， 所以  的关系，如图下表： (-3,-1) (-1,2) 2 h(-3)= 极大值h(-1)=e h(2)= ， ， ， 所以  ，所以实数  的最小值为． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年灌云县第一中学上学期期末考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（ ） A 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C D. 5. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数，则函数最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 64 B. C. D. 11. 已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上不存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列满足，，则_________. 13. 已知函数，则曲线在处切线方程为______. 14. 已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦长为，求__________. 四、解答题： 15. 已知为等差数列，是等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）若，记为的前项和，那么求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极大值与极小值． 17. 已知椭圆的焦距是长轴长的一半，为左焦点，是上任意一点，且的最大值为． （1）求的方程 ； （2）设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于，两点，求证：直线，的斜率之和为. 18. 已知数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数 （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）设，求证：恰有个极值点； （3）若，不等式恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $