专题03 平行线的性质【知识串讲+十二大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题03 平行线的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。 几何符号语言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） （二）命题、定理、证明 （1）命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。命题常写成“如果„„，那么„„”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。 （2）真命题：正确的命题，题设成立，结论一定成立。假命题：错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。 （3） 定理：经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据) （4）证明：推理的过程叫做证明。 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的性质——同位角相等 典例1：如图，含的直角三角尺一条直角边的两个顶点分别放在两条互相平行的直线上，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】  如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【变式3】如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 考点2：平行线的性质——内错角相等 典例2：如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为 ． 【变式3】如图所示，若，，和互余，则 ， ． 考点3：平行线的性质——同旁内角互补 典例3：生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【变式1】如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式3】向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 考点4：平行线的性质——角的关系 典例4：如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【变式1】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【变式2】  如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【变式3】学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 考点5：平行线的性质——求角 典例5：如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式1】已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【变式2】  如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【变式3】如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 考点6：平行的判定与性质综合 典例6：如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【变式1】如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2】  如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【变式3】如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 考点7：命题的定义 典例7：下列四个选项中不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．作一个角等于已知角 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．如果，，那么 【变式1】下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】  给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【变式3】下列语句中，命题有 个． ①对顶角相等；②内错角相等；③∠1＞∠2吗？④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤两点确定一条直线． 考点8：命题的组成 典例8：命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【变式1】命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【变式2】  将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【变式3】在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 考点9：命题的真假 典例9：有下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．它们的逆命题一定成立的有（   ） A．①②③④ B．①④ C．②④ D．② 【变式1】给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】  有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【变式3】下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 考点10：命题的逆命题 典例10：下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是（   ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【变式2】  下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【变式3】命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 考点11：定理与证明 典例11：如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【变式1】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【变式2】  如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式3】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。 几何符号语言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） （二）命题、定理、证明 （1）命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。命题常写成“如果„„，那么„„”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。 （2）真命题：正确的命题，题设成立，结论一定成立。假命题：错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。 （3） 定理：经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据) （4）证明：推理的过程叫做证明。 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的性质——同位角相等 典例1：如图，含的直角三角尺一条直角边的两个顶点分别放在两条互相平行的直线上，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出，再利用平行线的性质可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】  如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【答案】130 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，先根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：1 【变式3】如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，且， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 考点2：平行线的性质——内错角相等 典例2：如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 【变式1】如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】  如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟记平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，从而得解． 【详解】解：在中，， 长方形中， ， 故答案为：． 【变式3】如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 考点3：平行线的性质——同旁内角互补 典例3：生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 【变式1】如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合已知条件，，进而可得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故选：． 【变式2】  如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 【变式3】向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/57度 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补得出，再由两直线平行同位角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， ∴， ∵水中的两条光线平行， ∴， 故答案为：． 考点4：平行线的性质——角的关系 典例4：如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【变式2】  如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 【变式3】学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 考点5：平行线的性质——求角 典例5：如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，再由得，即可得证； （2）设，则，得出，再由求出值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴平分． （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】  如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【变式3】如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 考点6：平行的判定与性质综合 典例6：如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义． （1）由平行线的性质求得，再由同角的余角相等求得，据此即可证明； （2）利用角平分线的定义求得，利用平行线的性质求得，利用邻补角的性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式1】如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 【变式2】  如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【答案】垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直定义）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）． 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行． 【变式3】如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    考点7：命题的定义 典例7：下列四个选项中不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．作一个角等于已知角 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．如果，，那么 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是命题，不符合题意； B、作一个角等于已知角，不是命题，符合题意； C、三角形任意两边之差小于第三边，是命题，不符合题意； D、如果，，那么，是命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义逐一进行判断即可，掌握判断一件事情的语句叫做命题是解题的关键． 【详解】解：钝角大于，是命题； 两点之间，线段最短，是命题； 希望明天下雨，不是命题； 作，不是命题； 同旁内角不互补，两直线不平行，是命题； 综上可知：是命题， 故选：． 【变式2】  给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 【变式3】下列语句中，命题有 个． ①对顶角相等；②内错角相等；③∠1＞∠2吗？④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤两点确定一条直线． 【答案】4． 【知识点】判断是否是命题 【分析】直接利用判断一件事情的语句，叫做命题，分别判断得出答案． 【详解】①对顶角相等，是命题，符合题意； ②内错角相等，是命题，符合题意； ③∠1＞∠2吗？不是命题，不符合题意； ④若a∥b，b∥c，则a∥c，是命题，符合题意； ⑤两点确定一条直线，是命题，符合题意． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了命题的定义，数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题． 考点8：命题的组成 典例8：命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，故D正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的概念，熟记概念是关键． 【变式1】命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、写出命题的题设与结论 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的条件，根据定义可得答案． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是：一个三角形是直角三角形， 故选A 【点睛】本题考查的是命题的组成，掌握“命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”是解本题的关键． 【变式2】  将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了将命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，命题的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：它的两腰上的中线相等， 故逆命题写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【变式3】在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【知识点】写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 考点9：命题的真假 典例9：有下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．它们的逆命题一定成立的有（   ） A．①②③④ B．①④ C．②④ D．② 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与逆命题，平行线的性质与判定，绝对值，解一元二次方程等知识点． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据对顶角，平行线的性质与判定，绝对值，解一元二次方程相关知识点进行判断，即可得出答案． 【详解】解：①对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，错误； ②同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，成立； ③若，则的逆命题是：如果，则，错误，应为或； ④若，则的逆命题是：如果，则，错误，应为或； 综上分析可知，逆命题一定成立的有②，故D正确． 故选：D． 【变式1】给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式2】  有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【答案】 ②③ ③ 【知识点】判断是否是命题、判断命题真假 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 【变式3】下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④/④② 【知识点】对顶角的定义、邻补角的定义理解、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，再结合相关知识对各个命题逐一分析判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 考点10：命题的逆命题 典例10：下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、不等式的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     B． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     C． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     D． 该选项的逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选D． 【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是（   ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题； ④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中． 【变式2】  下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 【变式3】命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角与另外两个相等的角互余 这两个角相等 如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：“等角的余角相等” 的条件为为如果两个角与另外两个相等的角互余， 结论为那么这两个角相等， 它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，逆命题是这是一个假命题， 故答案为：如果两个角与另外两个相等的角互余，这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，假． 考点11：定理与证明 典例11：如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【知识点】根据给出的论断组命题并证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式1】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据给出的论断组命题并证明、同(等)角的余(补)角相等的应用、两直线平行内错角相等 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 【变式2】  如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的题设与结论、根据给出的论断组命题并证明 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式3】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据给出的论断组命题并证明 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$