专题01 相交线【知识串讲+十大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 相交线 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）相交线所形成的角 两条直线相交所成的四个角中： （1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补； ①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 （2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。 （二）垂线及其性质 （1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。 （2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （三）三线八角 （1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 （2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 （3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 模块三 考点一遍过 考点1：对顶角、邻补角定义 典例1：下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 【变式1】下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义、邻补角的定义理解 【分析】根据邻补角、内错角、同位角、对顶角的定义逐一分析解答即可． 【详解】解：、和是邻补角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是内错角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是对顶角，根据对顶角的性质可知，故选项符合题意； 、和是同位角，不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了邻补角、内错角、同位角、对顶角，邻补角、对顶角成对出现，解题的关键是熟记以上知识的定义． 【变式2】  如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【答案】 【知识点】图形类规律探索、邻补角的定义理解 【分析】本题考查的是图形规律探索，结合已知条件及图形总结规律即可． 【详解】解：由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． 【变式3】如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 和 【知识点】对顶角的定义、邻补角的定义理解 【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是； 的邻补角是，； 故答案为：；，． 【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解． 考点2：利用对顶角、邻补角性质——求角 典例2：如图，直线相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选：A． 【变式1】如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：． 【详解】解：，， ， 又， ， 故选：A． 【变式2】  如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 【变式3】如图，两直线交于点，若，则 度． ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先由求解，再利用邻补角的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为： 考点3：垂直的定义 典例3：如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同一平面内． 【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直． 故选：B 【变式2】 如图，，点B、O、D在同一直线上，则 ． 【答案】102 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，求一个角的余角、补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可求得，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：102． 【变式3】如图，点O在直线AB上，，，． （1）的大小为 （度）； （2）与相等的角是 ． 【答案】 /138度 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了垂直的定义，邻补角互补，同角的余角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直得到，然后求出，然后利用邻补角互补得到，然后利用同角的余角相等得到． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴与相等的角是． 故答案为：，． 考点4：垂线的画法 典例4：在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，画已知线段的平行线、垂线，解题的关键是掌握线段、直线、垂线段的定义． （1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的长方形的对角线，那么依据网格中画平行线的方法即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线； （3）由图形可知点到直线的距离为，即可． 【详解】（1）解：线段，如图所示； （2）解：垂线段如图所示； （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：． 【变式1】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，垂线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质． （1）以A、B为端点，画线段即可； （2）过C、D画直线即可； （3）过点B作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求， 理由是垂线段最短． 【变式2】  如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 【变式3】根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 考点5：垂线段的性质 典例5：如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 【变式1】如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：A． 【变式2】  如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】9.6// 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 故答案为：9.6． 【变式3】如图，在中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 根据垂线段最短，当时，的值最小，然后利用面积法求高． 【详解】解；在中，，， 当时，的值最小， 此时的面积， ， ． 故答案为：． 考点6：点到直线的距离 典例6：如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】  如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【变式3】如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 【答案】 /65度 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可； （2）根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2），， 点到直线的距离是， 故答案为：，． 考点7：同位角辨析 典例7：如图，直线m，n被直线l所截，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角的定义，找到“F”型，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的同位角是； 故选D． 【变式1】下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断． 【详解】解：A、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； B、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； C、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； D、和有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角． 故选：D． 【变式2】  已知点C为的边上一点，射线交于点D，则图中与是同位角的是 ． 【答案】、 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由同位角的定义可得，与是同位角的是和， 故答案为：、． 【变式3】如图，直线被直线所截，则的同位角是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角的定义，找到F型，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的同位角是； 故答案为：． 考点8：内错角辨析 典例8：如图所示，直线a，b被直线c所截，与是（   ） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角；据此可得答案． 【详解】解：与位于直线a，b的内侧，且在直线c的两侧， ∴与是内错角． 故选：A． 【变式1】在下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查的知识点为内错角，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 【详解】解：A、与是内错角，故此选项符合题意； B、与是同旁内角，故此选项不合题意； C、与是同位角，故此选项不合题意； D、与不是内错角，此选项不合题意； 故选：A． 【变式2】  如图，直线与的一边交于点F，写出的内错角 ．    【答案】/ 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据内错角的概念即可得． 【详解】解：的内错角是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了内错角，熟记内错角的概念是解题关键． 【变式3】如图，和是两条直线 被直线所截构成的内错角． 【答案】、 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据内错角的概念求解即可．两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 【详解】解：和是两条直线、被直线所截构成的内错角， 故答案为：、． 【点睛】本题考查了内错角，能从图中先确定两直线，找出截线，再确定角的位置关系是解题的关键． 考点9：同旁内角辨析 典例9：如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的定义，注意在截线的同旁找同旁内角，要结合图形，熟记同旁内角的位置特点． 根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可． 【详解】解∶由图形可知：的同旁内角有，，，共3个． 故选C． 【变式1】如图在“垃圾入桶”标志的平面示意图中，与的位置关系是（    ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据三线八角的定义即可得解． 【详解】解：与在截线的同旁，在被截直线的内部， ∴与的位置关系是同旁内角， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三线八角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 【变式2】  如图，与互为同旁内角的有 ． 【答案】、和 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同旁内角的特点，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与互为同旁内角的有，，； 故答案为：、和． 【变式3】如图，直线，被所截，则的同旁内角是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键． 【详解】解：的同旁内角是， 故答案为：． 考点10：“三线八角”综合题 典例10：两条直线被第三条直线所截，与是同旁内角，与是内错角． (1)画出示意图； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) ， 【知识点】几何图形中角度计算问题、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同旁内角、内错角、角度运算，理解同旁内角、内错角的概念并正确画出图形是解答的关键． （1）根据同旁内角、内错角的定义画图即可； （2）根据所给角的关系，结合平角是列方程求得即可． 【详解】（1）解：如答图所示． （2）解：因为， 所以． 因为， 所以，即， 所以， 所以． 【变式1】如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同旁内角与的内错角； (2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【答案】(1)的同旁内角是，，；的内错角是，； (2)水下部分向上折弯了30度，理由见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查同旁内角，内错角，角的计算，关键是掌握同旁内角，内错角的定义，邻补角的性质． （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案； （2）由邻补角的性质求出的度数，由，即可得到答案． 【详解】（1）解：的同旁内角是，，； 的内错角是，； （2）解：， ， ， 水下部分向上折弯了30度． 【变式2】  如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 【变式3】如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 【答案】(1)；；；同位 (2)； (3)； (4)； 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）相交线所形成的角 两条直线相交所成的四个角中： （1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补； ①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 （2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。 （二）垂线及其性质 （1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。 （2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （三）三线八角 （1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 （2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 （3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 模块三 考点一遍过 考点1：对顶角、邻补角定义 典例1：下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】  如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【变式3】如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 考点2：利用对顶角、邻补角性质——求角 典例2：如图，直线相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】  如图，直线a、b相交，，则 度． 【变式3】如图，两直线交于点，若，则 度． ． 考点3：垂直的定义 典例3：如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式2】 如图，，点B、O、D在同一直线上，则 ． 【变式3】如图，点O在直线AB上，，，． （1）的大小为 （度）； （2）与相等的角是 ． 考点4：垂线的画法 典例4：在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【变式1】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 【变式2】  如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【变式3】根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 考点5：垂线段的性质 典例5：如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】  如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【变式3】如图，在中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 考点6：点到直线的距离 典例6：如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式2】  如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【变式3】如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 考点7：同位角辨析 典例7：如图，直线m，n被直线l所截，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  已知点C为的边上一点，射线交于点D，则图中与是同位角的是 ． 【变式3】如图，直线被直线所截，则的同位角是 ． 考点8：内错角辨析 典例8：如图所示，直线a，b被直线c所截，与是（   ） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式1】在下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，直线与的一边交于点F，写出的内错角 ．    【变式3】如图，和是两条直线 被直线所截构成的内错角． 考点9：同旁内角辨析 典例9：如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图在“垃圾入桶”标志的平面示意图中，与的位置关系是（    ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式2】  如图，与互为同旁内角的有 ． 【变式3】如图，直线，被所截，则的同旁内角是 ． 考点10：“三线八角”综合题 典例10：两条直线被第三条直线所截，与是同旁内角，与是内错角． (1)画出示意图； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同旁内角与的内错角； (2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【变式2】  如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【变式3】如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 学科网（北京）股份有限公司 $$