专题01 二次根式【知识串讲+五大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题01 二次根式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）二次根式 （1）二次根式概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 ①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 ②二次根式≥0，是一个非负数。 ③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（𝑎≥0）就表示a的算术平方根。 （2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （二）二次根式的性质 = 模块三 考点一遍过 考点1：二次根式的定义 典例1：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式，叫做被开方数． 【变式3】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 考点2：二次根式的定义——求字母 典例2：已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式1】如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【变式2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 【变式3】若是正整数，二次根式是正整数，则最小值 ． 考点3：二次根式有意义的条件 典例3：当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【变式1】若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【变式2】如果，那么 ． 【变式3】已知，则 ． 考点4：利用二次根式的性质化简 典例4：若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【变式3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【变式4】若关于x的方程有实根，试化简． 【变式5】（1）已知正数a的两个平方根分别是和，求a的值； （2）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．求的值． 【变式6】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 【变式7】探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 考点5：复合二次根式的化简 典例5：化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【变式3】求把根号外数放到根号内的值 【变式4】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【变式5】阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【变式6】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【变式7】观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）二次根式 （1）二次根式概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 ①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 ②二次根式≥0，是一个非负数。 ③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（𝑎≥0）就表示a的算术平方根。 （2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （二）二次根式的性质 = 模块三 考点一遍过 考点1：二次根式的定义 典例1：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 【变式1】下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 【变式2】二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式，叫做被开方数． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】此题考查了二次根式的定义，属于直接考察性题目，比较简单． 根据二次根式的定义即可作出回答． 【详解】解：二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式．a叫做被开方数． 故答案为：． 【变式3】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 考点2：二次根式的定义——求字母 典例2：已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式1】如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 【变式2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的定义可知，直接列出所有可能的值再求和即可． 【详解】是整数，则自然数所有可能的值为， 所以所有可能的值的和为． 故答案为： 【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确． 【变式3】若是正整数，二次根式是正整数，则最小值 ． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的定义即可解答． 【详解】解：若为正整数，则x的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 考点3：二次根式有意义的条件 典例3：当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 【变式1】若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 【变式2】如果，那么 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式3】已知，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 考点4：利用二次根式的性质化简 典例4：若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】化简绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 【变式1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、化简绝对值 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 【详解】由数轴得，，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式4】若关于x的方程有实根，试化简． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，涉及二次根式的化简、绝对值的化简等知识，掌握相关知识是解题关键．由一元二次方程有实根得到，继而解得，再由完全平方公式因式分解，化简二次根式，结合绝对值的性质解题． 【详解】解：∵方程有实根， ∴， ∴．                                      ． 【变式5】（1）已知正数a的两个平方根分别是和，求a的值； （2）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．求的值． 【答案】（1）（2）2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、实数与数轴、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了平方根，实数与数轴，化简绝对值以及二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数a的两个平方根分别是和，得出，解得，即可作答． （2）结合从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，求出点B所表示的数，再代入进行化简求值，即可作答． 【详解】解：（1）∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 则， ∴； （2）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． ∴ 则 ． 【变式6】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （2）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （3）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； 【详解】（1）解：． 当时，， 原式． （2）当时，， 原式． （3）当时，， 原式． 【变式7】探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①4；0；a；②3；5；； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【详解】（1）解： ，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； （2）解：观察数轴可知： ，，， ． 考点5：复合二次根式的化简 典例5：化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【变式1】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式2】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】求把根号外数放到根号内的值 【答案】 【知识点】二次根式的除法、复合二次根式的化简 【分析】由题意可知a＜0，再利用根式的性质即可算出结果． 【详解】解：要使根式有意义，则−≥0，解得a＜0， ∴=−(−a) =−=． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的运算，利用二次根式成立的条件确定a＜0是解题关键． 【变式4】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 【变式5】阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 【变式6】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 【知识点】复合二次根式的化简、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型． 【变式7】观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$