第17章 函数及其图象（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第17章 函数及其图象 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．在平面直角坐标系中点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数的图像经过点和点．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 6．已知点 在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在平面直角坐标系中，若点在第 象限． 12．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 13．已知，是一次函数图象上的两个点，则 （选填“>”“=”或“<”）． 14．已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到轴的距离为，则的值为______． 15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 16．一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 ． 17．已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 18．如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)已知三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到三角形； (2)将三角形向上平移4个单位，得到三角形． 20．已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 21．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 22．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 23．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 24．一辆快车与慢车分别从，两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车早到达地，两车距地的路程与慢车的行驶时间的关系如图所示． (1)，两地之间的距离为 ___；快车的速度为 ___；慢车的速度为 ___； (2)两车出发多少小时相遇？ (3)两车出发后到慢车到达地前，经过多少小时，两车相距？ 25．【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．在平面直角坐标系中点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记各象限内点的坐标的符号特征是解答的关键．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第四象限即可解答． 【详解】解：，， 点所在的象限是第四象限， 故选：D． 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数大符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，， 故选：D ． 3．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 4．一次函数的图像经过点和点．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，可得随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数的图象中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C ． 5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象经过点，故本选项正确，不符合题意； B．∴，∴图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C．∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D．当时，；当时，；故本选项错误，符合题意． 故选：D． 6．已知点 在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，则，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点 在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系．首先把代入直线即可求出m的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 8．如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴设， ∵将线段沿轴向右平移至线段， ∴的纵坐标为， ∵点落在反比例函数的图像上． ∴的横坐标为， ∴线段扫过的面积为， 故选：C 9．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象交点问题，根据函数图象结合交点解答即可． 【详解】解：观察图象可知：①当时，一次函数的图象一部分在轴上方（），一部分在轴下方（），故结论①不正确； ②当时，一次函数的图象在轴上方，即，故结论②正确； ③当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，故，故结论③不正确， 所以，正确的个数是1个， 故选：B． 10．甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，熟练掌握函数图像的实际应用是解决本题的关键． 根据图像，分析出每段函数图像所代表的实际涵义，通过路程速度时间的等量关系进行求解即可． 【详解】解：甲车坏处距C地距离：米，故B不符合题意； 乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此乙用原来倍的速度为：米/分，乙原来速度为：米/分； 甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此甲用原来倍的速度为：米/分，甲原来速度为：米/分； 故A不符合题意； 设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处分， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为：米， 故D不符合题意； ∵车坏处距C地距离：米， ∴两地的距离为（米）， 故C错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在平面直角坐标系中，若点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据各象限内点的坐标的符号，进行判断即可得出答案． 本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解本题的关键．四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）． 【详解】解：∵，， ∴点在第二象限． 故答案为：二 12．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，根据待定系数法求正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，解得：． 故答案为：． 13．已知，是一次函数图象上的两个点，则 （选填“>”“=”或“<”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性得到y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：＞ 14．已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到轴的距离为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值是解题的关键．根据题意可知，第一象限内点到轴的距离为，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：第一象限内点到轴的距离为， 点坐标为， ， 解得：， 故答案为：． 15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 16．一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：一次函数的图象与的图象交点的坐标为， 关于的方程组的解为 故答案为∶ 17．已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 18．如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及图形中的几何关系．根据题设，点的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数． 【详解】解：设， 轴，且点E在函数上， ， ，且点B在函数上， ， 轴，点D在函数上， ， 的面积为6， . ． 故答案为：8． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)已知三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到三角形； (2)将三角形向上平移4个单位，得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 此题主要考查了作图平移变换，关键是确定组成图形的关键点平移后的位置． （1）利用平面直角坐标系确定、、三点，再连接即可； （2）首先确定、、三点向上平移4个单位后的对应点位置，再连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）解：如图，即为所作， 20．已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值， （1）设这个一次函数的表达式为，利用待定系数法求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式是； （2）当时，． 21．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1)； (2)提前8天完成此项工程． 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． （2）解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 22．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 23．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式 是解题的关键． （1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可； （2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为， ∴， 即 ， ∵点的横坐标为， ， ， ， 设， ， 解得， ∵点在双曲线上， 把点代入得 ，； （2）解： ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， 解得 或 (不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为． 24．一辆快车与慢车分别从，两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车早到达地，两车距地的路程与慢车的行驶时间的关系如图所示． (1)，两地之间的距离为 ___；快车的速度为 ___；慢车的速度为 ___； (2)两车出发多少小时相遇？ (3)两车出发后到慢车到达地前，经过多少小时，两车相距？ 【答案】(1)400；150；50； (2)两车出发或后相遇． (3)经过、或后，两车相距． 【分析】本题考查函数的图象、一元一次方程的几何应用，理解题意，看懂图象，能从图象中准确获取信息是解答的关键． （1）先从图象中获取，两地距离和快车单程时间，然后利用路程、时间、速度的关系求解即可； （2）根据图象，分快车与慢车第一次相遇和快车返回追上慢车第二次相遇两种情况分别求解即可； （3）分①在两车第一次相遇前，经过两车相距；②两车第一次相遇后，快车未到地；③当快车在地，经过两车相距；④当快车从地出发后，超过了慢车四种情况，设经过两车相距，根据题意，结合图象列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，，两地距离为； 快车的速度为：． 快车单程时间为， 又快车比慢车早， 慢车全程时间为． 慢车的速度为：． 故答案为：400；150；50． （2）解：由题意，分成两种情形． ①经过，快车与慢车第一次相遇， ． ． ②经过快车返回追上慢车第二次相遇， ． ． 综上，两车出发或后相遇． （3）（3）由题意，分以下几种情形． ①在两车第一次相遇前，经过两车相距， ． ． ②两车第一次相遇后，快车未到地，经过了两车相距， ． ，不合题意． ③当快车在地，经过两车相距， ． ． ④当快车从地出发后，超过了慢车，经过两车相距， ． ，符合题意． 答：经过、或后，两车相距． 25．【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）点的坐标为或或 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，再根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线平移，求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，最后求出结果即可； （4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题． 【详解】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示：    则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； （3）由（1）得， ，， ∴， ，， ∵Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为，把分别代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴，， ∴．    （4）①若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$