专题02 分式方程及其应用（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题02 分式方程及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 3．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（ ） A．9 B．12 C．10 D．14 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤－5，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（   ） A．－6 B．－4 C．－2 D．0 5．年北京冬奥会的比赛场馆分为个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为，高速公路里程为，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．昆明市区与石林风景区相距约为84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发20分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计），已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.2倍．设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某商店出售，两种型号的钢笔，已知型号的钢笔比型号的钢笔贵5元，小红用50元买了型号的钢笔，用若干元买了相同数量型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完款后发现余钱剩3元，设型号的钢笔每支售价为元，根据题意可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 9．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．方程的解是（    ） A． B． C． D． 12．方程的解为（    ） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4 13．2023年“全民健身日”这一天，广大市民积极参与运动，锻炼身体，增强体质，甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前走完全程，如果设乙的速度为，那么下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 15．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 二、填空题 16．分式方程-1=的解是x= . 17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米小时，则根据题意，可列方程 ． 18．关于的分式方程有增根，则增根为 ． 19．若整数使关于的不等式组，有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值为 ． 20．填空：（1）方程x+的根是10，则另一个根是 ． （2）如果方程有等值异号的根，那么m＝ ． （3）如果关于x的方程，有增根x＝1，则k＝ ． （4）方程的根是 ． 21．“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势．若某一商人在新政的出台前进货价便宜，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前的增加到，x等于 ． 22．能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与轴交点在原点的上方的的取值范围是 ． 23．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 24．代数式与代数式的值相等，则 ． 25．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 三、解答题 26．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 27．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得，， 原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得，， 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”：若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 28．2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元． （1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？ （2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？ 29．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 30．为满足顾客的购物需求，某超市计划购进甲、乙两种干果进行销售．经了解，甲干果的进价比乙干果的进价低20%．超市用400元购进甲种干果比用450元购进乙种干果多10袋．已知甲，乙两种干果的售价分别为8元/袋和10元/袋． (1)求甲、乙两种干果的进价每袋分别是多少？ (2)若超市购进这两种干果共150袋，其中甲种干果的数量不低于乙种干果数量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 31．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是______． 32．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样． (1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； (2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副． 33．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 34．（1）化简：              （2）解方程： 35．如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 【能力提升】 36．阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 37．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 38．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 39．某玩具厂接的600件玩具的订单后，决定由甲、乙两车间共同完成生产任务，已知甲车间工作效率是乙车间的2倍，乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用10天． （1）求甲，乙两车间平均每天各能制作多少件玩具； （2）两车间同时开工3天后，临时又增加了90件的玩具生产任务，为了使完成任务的总时间不超过7天，两车间从第4天起各自提高工作效率，提高工作效率后甲车间工作效率仍是乙车间工作率的2倍，求乙车间提高效率后每天至少生产多少件玩具． 40．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式方程及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【详解】解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h， 根据题意 ，可得：， 故选B． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 2．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴整式方程无解或方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 3．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（ ） A．9 B．12 C．10 D．14 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【详解】试题分析：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程： +=，解得：x=10．检验得x=10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选C． 考点：分式方程的应用． 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤－5，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（   ） A．－6 B．－4 C．－2 D．0 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集得到a的范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负数得到a的值，即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， 分式方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 由为非负整数，且，得到，2，3，6，12， 解得或0或或或 ， 或0或， 符合条件的所有整数的和为． 故选：． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．年北京冬奥会的比赛场馆分为个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为，高速公路里程为，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】由“复兴号”列车和汽车的平均速度之间的关系，可得出“复兴号”列车的平均速度为，利用时间=路程÷速度，结合从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用2h，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的倍，汽车的平均速度为， “复兴号”列车的平均速度为． 依题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．昆明市区与石林风景区相距约为84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发20分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计），已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.2倍．设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为km/h，根据甲比乙晚出发20分钟为等量关系即可求得答案． 【详解】解：设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为km/h，由题意得， ， 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的实际问题的应用——行程问题，找准等量关系，根据等量关系建立方程是解题的关键． 7．某商店出售，两种型号的钢笔，已知型号的钢笔比型号的钢笔贵5元，小红用50元买了型号的钢笔，用若干元买了相同数量型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完款后发现余钱剩3元，设型号的钢笔每支售价为元，根据题意可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先得出型号的钢笔每支售价（x-5）元，再根据小红用50元买型号的钢笔数量=用（83-3-50）元买型号的钢笔的数量列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，型号的钢笔每支售价（x-5）元，花了83-3-50=30元， 则有：， 故答案为：． 【点睛】本题考查看分式方程的应用，能读懂题意，找到等量关系是解答的关键． 8．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解： ， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 9．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】设类商品出口的原价为美元件，则提价后的价格为美元件，根据数量总价单价，结合现在用900美元购进类商品的数量与提价前用750美元购进类商品的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设类商品出口的原价为美元件，则提价后的价格为美元件， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据题意得： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． 11．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】根据解分式方程的方法和步骤进行求解即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项合并，得：， 化系数为1，得：， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤． 12．方程的解为（    ） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】将分式方程化为整式方程，求解，检验，即可 【详解】去分母： 化简： 检验：； 故原方程的解为： 故选：A 【点睛】本题考查分式方程的运算，注意计算结果要检验 13．2023年“全民健身日”这一天，广大市民积极参与运动，锻炼身体，增强体质，甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前走完全程，如果设乙的速度为，那么下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】此题考查了分式方程的应用，设乙的速度为，则甲的速度为，甲比乙提前走完全程，据此列方程即可. 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为， 故选：B 14．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程 【分析】按照解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解： 2-（x-1）=0 2-x+1=0 -x=-3 x=3 检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键． 15．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【答案】D 【知识点】解分式方程、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得，求出解即可． 【详解】设黄球的数量为x，根据题意得 解得． 经检验是方程的解且符合题意 ， 所以袋子中黄球有150． 故选：D． 二、填空题 16．分式方程-1=的解是x= . 【答案】-5 【知识点】解分式方程 【详解】两边同时乘以（x+3）(x-3)，得 6-x2+9=-x2-3x， 解得:x=-5， 检验：当x=-5时，（x+3）(x-3)≠0，所以x=-5是分式方程的解， 故答案为-5. 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验. 17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米小时，则根据题意，可列方程 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可． 【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意， 可列方程：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键． 18．关于的分式方程有增根，则增根为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的的值即可得到答案． 【详解】解：关于的分式方程有增根，且分式方程最简公分母为， 分式方程的增根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的的值叫增根是解决问题的关键． 19．若整数使关于的不等式组，有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解一元一次不等组和分式方程，分别解不等式组和分式方程，确定的取值范围，进而求解即可，熟练掌握它们的解法是解题的关键． 【详解】解：不等式组的解集是： ， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得：， 分式方程的解是：， ∵， ∴， ∴， 综上，（为整数）， ∴， 故答案为：． 20．填空：（1）方程x+的根是10，则另一个根是 ． （2）如果方程有等值异号的根，那么m＝ ． （3）如果关于x的方程，有增根x＝1，则k＝ ． （4）方程的根是 ． 【答案】 8． m≠±1，m＝，c≠0． 3． ±2． 【知识点】解分式方程 【分析】先找到各方程的最简公分母，然后同乘以最简公分母，化为整式方程，解即可． 【详解】（1）方程两边同乘以（x﹣8），得 x（x﹣8）+1＝（x﹣8）， 整理得 x2﹣x+85＝0， ∵方程的一根是10， 根据根与系数的关系，有 10x＝85， 解得x＝； （2）方程两边同乘以（ax﹣c）（m+1），得 （m+1）x2+[（1﹣m）a﹣b（m+1）]x＝﹣c（m﹣1）， ∵原方程有等值异号的根， ∴一次项的系数等于0，即有（1﹣m）a﹣b（m+1）＝0， 解得m＝， 且m+1≠0，﹣c（m﹣1）≠0，即m≠﹣1，c≠0，m≠1， 故答案是m≠±1，m＝，c≠0； （3）方程两边同乘以x（x2﹣1），得 x+1+（k﹣5）（x﹣1）＝x（k﹣1）， 解得x＝， ∵方程有增根x＝1， 即＝1， 解得k＝3． 故答案是3； （4）方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得 x2+2x+1+x2﹣2x+1＝（x2﹣1）， 整理得x2＝4， 解得x＝±2， 经检验x＝±2都是原方程的根， 故答案为±2． 【点睛】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 21．“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势．若某一商人在新政的出台前进货价便宜，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前的增加到，x等于 ． 【答案】15 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设进货价钱为X，售价为Y，根据题意列分式方程，求解即可． 【详解】设进货价钱为X，售价为Y，由题意可得， ， 解得， 代入， 解得：， ∴x等于15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 22．能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与轴交点在原点的上方的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】本题综合考查了分式方程和抛物线与坐标轴的交点问题，对于分式方程求字母系数问题，先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为时的情况，结合抛物线与轴交点在原点上方，从而得的范围． 【详解】解：由题意，分式方程有非负实数解， 且． 且． 又二次函数的图象与轴交点在原点的上方， ∴当时，， ． 故答案为：． 23．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】8 【知识点】由频率估计概率、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了用频率估算概率及分式方程的应用，理清题意，根据概率公式列出方程是解题的关键． 设袋子中装有x个红球，根据等量关系列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设袋子中装有x个红球， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴袋子中红球约有8个， 故答案为：8． 24．代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】根据代数式与代数式的值相等得到，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 解得，， 经检验是分式方程的根， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 25．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母后的方程中即可求出参数的值． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根 ∴，即 去分母，得： 把代入，得 故答案是：2 【点睛】本题考查分式方程的增根和参数的求法，正确理解增根的概念是解题的关键． 三、解答题 26．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【答案】甲每小时做12个零件，乙每小时做10个零件． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x﹣2)个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x﹣2)个零件， 根据题意得：， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是分式方程的解， x﹣2＝10个． 答：甲每小时做12个零件，乙每小时做10个零件． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 27．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得，， 原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得，， 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”：若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】见解析． 【知识点】解分式方程 【详解】解：×，×，正确步骤如下： ， 两边同乘，去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：将代入中可得， 则是分式方程的解，故原分式方程的解是． 28．2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元． （1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？ （2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？ 【答案】（1）原价15元/盒，下调后10元/盒；（2）20% 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】（1）设该药品的原价格是x元/盒，则下调后每盒价格是x元/盒，根据“原来用60元买到的药品下调后可多买2盒”即可列方程求解； （2）设5、6月份药品价格的月平均增长率是a，根据“药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元” 即可列方程求解. 【详解】解：（1）设该药品的原价格是x元/盒，则下调后每盒价格是x元/盒，由题意得： ，解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解， ∴x=10， 答：该药品的原价格是15元/盒，则下调后每盒价格是10元/盒； （2）设5、6月份药品价格的月平均增长率是a，由题意得： ，解得（不合题意，舍去）． 答：5、6月份药品价格的月平均增长率是20%． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，要注意检验及舍去不符合题意的答案． 29．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 【答案】(1)，； (2) ；7 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、解分式方程 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （）类比题目中“完美分式方程”的答题方法即可求解． （）结合运用“完美分式方程”得到，，将变形，整体代入即可求解； 先求出q的范围，再将原式变形为，结合运用“完美分式方程”，代入即可求解． 【详解】（1）解： 可化为， ∴，， 故答案为：，； （2）由已知得，， ∵，， ∴； 解：由已知得完美分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴当， ∴， 当时，的值最小， ∴最小值为； 当时， ∴， 则当时，最小值为， ∵此时， 则，符合题意； 综上所述最小值为7． 30．为满足顾客的购物需求，某超市计划购进甲、乙两种干果进行销售．经了解，甲干果的进价比乙干果的进价低20%．超市用400元购进甲种干果比用450元购进乙种干果多10袋．已知甲，乙两种干果的售价分别为8元/袋和10元/袋． (1)求甲、乙两种干果的进价每袋分别是多少？ (2)若超市购进这两种干果共150袋，其中甲种干果的数量不低于乙种干果数量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种干果进价为4元/袋；乙种干果进价为5元/袋 (2)购买甲种干果100袋，乙种干果50袋，获得最大利润，最大利润是650元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种水果袋，则乙种干果 袋，利润为元，由题意得，再由甲种干果的重量不低于乙种干果重量的2倍，得 ，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种干果进价为元袋；则甲种干果的进价为元袋 根据题意得，， 解得， 经检验是所列方程的解， 所以． 即甲种干果进价为4元袋；乙种干果进价为5元袋； （2）解：设购买甲种干果袋，则购买乙种干果袋，总利润为元． 由题意得． 解得， ， ， 随着的增大而减少， 当时，最大元， 即，购买甲种干果100袋，乙种干果50袋，获得最大利润，最大利润是650元． 31．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是______． 【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“” (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解分式方程、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验的方法是解题的关键． （）根据去分母的方法即可判定； （）运用解分式方程的方法即可求解； （）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误， 错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”． （2）解：原方程可化为． 方程两边都乘以去分母，得． 整理，得． 解得． 检验：当时，，所以是原分式方程的增根， 所以原方程无解． （3）解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 32．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样． (1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； (2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副． 【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元 (2)最多购买乒乓球拍副 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，利用数量总价单价，根据“用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样”可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每副乒乓球拍的价格，再将其代入中，即可求出每副羽毛球拍的价格； （2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，根据“乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴（元）． 答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元； （2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：最多购买乒乓球拍副． 33．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)-1 (2)1 【知识点】新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算、解分式方程 【详解】解：（1）， ， ． ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 的值为1． 34．（1）化简：              （2）解方程： 【答案】（1）；（2）原方程无解 【知识点】异分母分式加减法、解分式方程 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解分式方程： （1）先通分，再把分子合并同类项，进而约分即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 35．如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 【答案】(1)款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元 (2)最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； （1）设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，根据是正整数，得出的范围，设提供人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解， ∴元， 答：款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元； （2）解：设租款野餐垫张，则租款野餐垫张， ∵是正整数， ∴ 设提供人就坐，根据题意得， ∴当取得最大值时，， ∴ 此时的租赁方案为：租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 答：最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 【能力提升】 36．阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案； （2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可． 【详解】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0， 若，则①，②； 故答案为：； （2）解：， 从而可得：， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 故原方程的解为，． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，读懂材料，发现规律是解题的关键． 37．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【知识点】求中位数、统计表、解分式方程 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ①时，，， 由①②得， ∴， ∴，故不成立，舍； ②时，，， 由③④得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故不成立，舍； ③时，， ， 联立⑤⑥解得： ，且符合题意， 综上所述； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②当时，则，解得，故不成立，舍； 当时，则，解得，符合题意， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 38．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【知识点】分式方程的实际应用、解分式方程、同分母分式加减法 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 39．某玩具厂接的600件玩具的订单后，决定由甲、乙两车间共同完成生产任务，已知甲车间工作效率是乙车间的2倍，乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用10天． （1）求甲，乙两车间平均每天各能制作多少件玩具； （2）两车间同时开工3天后，临时又增加了90件的玩具生产任务，为了使完成任务的总时间不超过7天，两车间从第4天起各自提高工作效率，提高工作效率后甲车间工作效率仍是乙车间工作率的2倍，求乙车间提高效率后每天至少生产多少件玩具． 【答案】（1）甲车间平均每天能制作60件玩具，乙车间平均每天能制作30件玩具；（2）乙车间提高效率后每天至少生产35件玩具 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】（1）设乙车间平均每天能制作x件玩具，则甲车间平均每天能制作2x件玩具，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙车间提高效率后每天生产m件玩具，则甲车间提高效率后每天生产2m件玩具，根据甲车间七天生产的玩具数加上乙车间七天生产的玩具数不少于订单数，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙车间平均每天能制作x件玩具，则甲车间平均每天能制作2x件玩具， 依题意，得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝60． 答：甲车间平均每天能制作60件玩具，乙车间平均每天能制作30件玩具． （2）设乙车间提高效率后每天生产m件玩具，则甲车间提高效率后每天生产2m件玩具， 依题意，得：60×3+（7﹣3）×2m+30×3+（7﹣3）m≥600+90， 解得：m≥35． 答：乙车间提高效率后每天至少生产35件玩具． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 40．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：． （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　． （2）解分式方程：； （3）当x取什么整数值时，分式的值为整数． （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m． 【答案】（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=366 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解； （3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） ∴x2-x-6=x2-4x+4， ∴3x=10， ∴ 经检验：是原方程的解； （3） ∴当x=0时，原式=2为整数； （4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y， ∵2x＜10， ∴x＜5， ∵是整数， ∴为整数， ∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数， 当x=3，y=6时，为正整数， ∴m=366． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$