专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”其大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住人，那么就有人没有房住；如果每一间客房住人，那么就会多出来一间房．若设该店有间客房，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知x=1是关于x的方程2-ax=x+a的解，则a的值是（　　） A． B． C． D．1 4．已知关于x的方程的解为，则方程的解为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”两名同学分别列出了正确的方程．嘉嘉：；琪琪：．下列说法正确的是（    ） A．琪琪所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” B．琪琪所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” C．嘉嘉所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” D．嘉嘉所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺” 8．把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．9种 9．某商品的标价为150元，八折销售仍盈利20%，则商品进价为（    ）元． A．100 B．110 C．120 D．130 10．根据等式的性质，下列等式变形中，不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3； ②；③；④2x+2y=0，其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知是方程2x﹣ay=3b的一个解，那么a﹣3b的值是（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D．1 13．若是方程的解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 14．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（  ） A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B．1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87 C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 D．2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87 15．乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（　　）个月． A．6 B．4 C．5 D．3 二、填空题 16．现有牌面编码为、、、、的五张卡片，背面向上，从中随机抽取一张，记其数字为，放回打乱后，再抽一张记其数字为，则事件“关于、的方程组的解满足，且二次函数图象与坐标轴至少有一个交点”成立的概率为 ． 17．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为 ． 18．．对于任意实数a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b＝2a＋b．例如：3⊕4＝2×3＋4＝10．若x⊕(－y)＝2，且2y⊕x＝－1，则x＋y= ． 19．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？” 译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？” 设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ． 20．将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是 ； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是 ． 21．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为 ． 22．若实数a，b，c满足，且，则 ． 23．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称，则（﹣a+b）2021的值为 ． 24．甲、乙两人分别在相距100米的A，B两地上进行匀速往返跑训练，速度分别为和，甲从A到B，乙从B到A，他们同时从A，B出发，到达对方的出发地后，立即以各自的原速度折返，易知经过第1次相遇： （1）再经过 ，第2次相遇； （2）5内分钟（含5分钟），他们共相遇 次． 25．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 。 三、解答题 26．某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）． (1)若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价； (2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值； (3)若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴） 27．如图，为数轴上两条线段，其中与原点重合，，且． （1）当为中点时，求线段的长； （2）线段和以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段的运动速度为每秒5个单位长度，线段运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒，请结合运动过程解决以下问题： ①当时，求的值； ②当时，请直接写出的值． 28．为民中学租用两辆速度相同的小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性． 29．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为吨的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需要其他费用元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付元．根据记录，某日该工厂产生废水吨，共花费废水处理费元． (1)求该车间的日废水处理量； (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 30．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足+|2b+12|+（c﹣4）2＝0． （1）求B、C两点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积； （3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的？直接写出此时点P的坐标． 31．为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 32．列方程或方程组解应用题： 周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量． 33．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．    (1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值； (2)当点T为原点，且：时，求“□”所表示的数． 34．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，它极大地方便了航海时轮船的定位．如图，位于东西方向海北岸线上的码头相距70海里，一艘供给船从码头出发沿北东偏东方向匀速行驶，到达处后收到信号，位于码头正北方向80海里的处有一渔船需要物资，故该供给船按原速沿北偏东方向行驶后到达处：求供给船行驶时的速度(结果保留整数参考数据： ， ， )． 35．某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算． （1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款______元； （2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款______元（用含x的代数式表示）； （3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他查看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？ 【能力提升】 36．共享经济来临，某企业决定在无锡投入共享单车（自行车）和共享电单车（电动车）共2000辆，已知每辆共享单车成本380元，每台共享电单车成本1500元，2辆共享单车和1辆共享电单车每周毛利31元，4辆共享单车和3辆共享电单车每周毛利81元， （1）求共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利多少元？ （2）为考虑投资回报率，该企业计划投入成本不超过174万元，每周的毛利不低于23050元，现要求投入的单车数量为10的倍数，请你列举出所有投入资金方案． 37．A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如下表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 (2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是？ 38．我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额． （1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？ （2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？ （3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？ 2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用） 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 4 超过25000元至35000元的部分 25% 5 超过35000元至55000元的部分 30% 39．为了引领当代中学生迈向未来航空新纪元，2019年，在中国空军航空开放日上，“南天门计划”首次被提出，2023年6月央视官方宣传片播出，它的核心是构建一个全球性综合战略防卫体系，以应对未来可能的外星和硅基生命体的威胁，体现了中国航空工业对未来技术发展的前瞻性思维．在对“南天门计划”的小组学习中，我们对在平面直角坐标系中任一点，规定以下三种变换为“南天门变换”： ①，如：； ②，如：； ③，如：； 例如：． 请回答下列问题： (1)利用“南天门变换”化简：______；______；______； (2)通过以上“南天门变换”得到的坐标叫做“南天门”坐标，规定“南天门”坐标可以进行如下运算： ，； ，当时，且． ①“南天门”坐标中横坐标为整数，满足：（常数为正整数），求存在的点的坐标． ②“南天门”坐标在第四象限，满足：，当为正整数时，求的值． 40．一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数为“青年数”．“青年数”的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“青年数”的千位数字与4的差记为，令． 例如：∵对7240，，，∴7240是“青年数”． ∵，， ∴． 又如：∵对5093，，但，∴5093不是“青年数”． (1)请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“青年数”，当能被10整除时，求出所有满足条件的． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”其大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住人，那么就有人没有房住；如果每一间客房住人，那么就会多出来一间房．若设该店有间客房，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有间客房，根据总人数相等列方程即可． 【详解】解：设该店有间客房， “如果每一间客房住人，那么就有人没有居住”， 总人数为人， “如果每一间客房住9人，那么就会多出来一间房”， 总人数为人， 可列方程为， 故选：A． 2．2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，利用路程=速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，即可． 【详解】解：设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h， 依据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键． 3．已知x=1是关于x的方程2-ax=x+a的解，则a的值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】把x=1代入方程2-ax=x+a得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把x=1代入方程2-ax=x+a得： 2-a=1+a， 解得：a=， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 4．已知关于x的方程的解为，则方程的解为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先根据方程的解定义可得，从而可得，再代入解方程即可得． 【详解】由题意得：，即， 代入方程得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、熟练掌握方程的解法是解题关键． 5．已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 6．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【详解】由两个句子：“书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人”， “绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人”， 得两个等量关系式： ①3×书法小组人数=绘画人数+15 3×书法小组人数-绘画人数=15， ②2×绘画小组人数=书法小组的人数+52×绘画小组人数-书法小组的人数=5， 从而得出方程组 . 故选D. 点睛：应用题的难点，一是找到等量关系，二是根据等量关系列出方程.本题等量关系比较明显，找出不难，关键是如何把等量关系变成方程，抓住以下关键字应着的运算符号：和（+）、差（—）、积（×）、商（÷）、倍（×）、大（+）、小（—）、多（+）、少（—）、比（=），从而把各种量联系起来，列出方程，使问题得解. 7．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”两名同学分别列出了正确的方程．嘉嘉：；琪琪：．下列说法正确的是（    ） A．琪琪所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” B．琪琪所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” C．嘉嘉所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺” D．嘉嘉所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺” 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】分别设木条长为x尺，设绳子长x尺，根据题意列方程即可得出答案． 【详解】解：设长木长x尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可列方程为，故D错误，C选项正确； 设绳子长x尺，则长木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺”得：， ∴琪琪的方程中的x表示绳子长，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还余尺”列方程，故B，A错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．9种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】可列二元一次方程解决这个问题． 【详解】解：设的钢管根，根据题意得： ， 、均为整数， ，，，． 故选B． 【点睛】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键． 9．某商品的标价为150元，八折销售仍盈利20%，则商品进价为（    ）元． A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】根据（1+利润率）×进价＝标价×八折列方程，可得结论． 【详解】解：设商品进价为x元， 根据题意得：150×80%＝（1+20%）x， x＝100， 答：商品进价为100元． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 10．根据等式的性质，下列等式变形中，不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A. 若，则，等式成立，故A不符合题意； B. 若，则，等式成立，故B不符合题意； C. 若，则，当时才成立，故C符合题意； D. 若，则，等式成立，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍是等式，（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍是等式． 11．已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3； ②；③；④2x+2y=0，其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】试题分析：①两边都减3，故①正确；②x=y≠±5时，故②错误；③两边都除以同一个不为零的数，故③正确；④x=y≠-，且xy≠0，故④错误， 故选B． 考点：等式的性质． 12．已知是方程2x﹣ay=3b的一个解，那么a﹣3b的值是（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D．1 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【详解】分析：根据方程的解得定义，将x、y的值代入方程后移项可得答案． 详解：根据题意，将代入方程2x-ay=3b，得： 2+a=3b， ∴a-3b=-2， 故选C． 点睛：本题主要考查对二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解题意并能得到关于a、b的等式是解此题的关键． 13．若是方程的解，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解，因为是方程的解，所以把代入方程左右两边相等，即可得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：将代入方程， 可得 解得：， 故选：B． 14．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（  ） A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B．1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87 C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 D．2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【详解】试题分析：要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价+（60﹣x）支圆珠笔的售价=87，据此列出方程： 1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87． 故选B． 考点：由实际问题抽象出一元一次方程（销售问题）． 15．乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（　　）个月． A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需要x天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×时间+甲队先做5天的工作量=1，由此可列出方程求解． 【详解】解：∵若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成， ∴甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为， 设完成这项工程共需x个月， 根据题意得：， 解得：， ∴完成这项工程共需4个月． 故选：B． 二、填空题 16．现有牌面编码为、、、、的五张卡片，背面向上，从中随机抽取一张，记其数字为，放回打乱后，再抽一张记其数字为，则事件“关于、的方程组的解满足，且二次函数图象与坐标轴至少有一个交点”成立的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先由方程组的解满足的条件，确定k的取值范围，再由二次函数与坐标轴有两个交点，确定m的取值范围，然后画树状图得出所有k、m的可能取值情况，从而得出答案． 【详解】由方程组可得，， 当时，即：， 解得，； 由二次函数图象与坐标轴至少有一个交点， ∴为，，，，都可以， 和所有可能出现的结果如下： 共有种可能出现的结果，其中且为，，，，的有种， 满足条件的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组含参数问题和二次函数与坐标轴的交点问题，用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 17．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】连接BD，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到AE＝BF；根据题意，AE＝t，CF＝2t，即可求出． 【详解】连接BD，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD=BC=CD，∠ADB＝∠ADC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， 又∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝60°，DE=DF， 又∵∠ADB＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中， ， ∴， ∴AE＝BF， ∵AE＝t，CF＝2t， ∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2t， ∴t＝4﹣2t ∴t＝， 故答案为：． 【点睛】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题，难度适中，熟练掌握菱形的性质以及三角形全等的判断是解题关键． 18．．对于任意实数a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b＝2a＋b．例如：3⊕4＝2×3＋4＝10．若x⊕(－y)＝2，且2y⊕x＝－1，则x＋y= ． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】依据x⊕(－y)＝2，且2y⊕x＝－1，可得方程组 ，即可得到x+y的值． 【详解】解：∵x⊕(－y)＝2，且2y⊕x＝－1， ∴， 两式相加，可得 3x+3y=1， ∴x+y=． 故答案为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据新定义的运算列出方程组是解题的关键． 19．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？” 译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？” 设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的文钱，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱， 根据题意，得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 20．将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是 ； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是 ． 【答案】 1号，2号，3号，6号（答案不唯一） 7或5 【知识点】三元一次方程组的应用、已知 平均数求未知数据的值 【分析】（1）根据每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3，列出一种情况即可得出答案； （2）通过设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数）即可得到方程组，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球的平均值为3，且， ∴甲盘中小球的编号可能是：1号，2号，3号，6号； 故答案为1号，2号，3号，6号（答案不唯一）； （2）设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数），由题意得： ， 消去x得：，即， ∴当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时不符合题意，舍去； ∴乙盘中小球的个数可以是7或5； 故答案为7或5． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及平均数，熟练掌握三元一次方程组的应用及平均数是解题的关键． 21．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设木条长尺，绳子长尺， 依题意，得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 22．若实数a，b，c满足，且，则 ． 【答案】2 【知识点】一元一次方程解的综合应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先根据等式的性质得：，，，再代入到等式中，得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可． 【详解】解：由得：，，， 代入到等式中，得： ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键． 23．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称，则（﹣a+b）2021的值为 ． 【答案】-1 【知识点】已知两点关于原点对称求参数、构造二元一次方程组求解 【分析】直接利用关于原点对称的坐标特征得出关于a，b的方程组，进而得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵点P（2，3）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称， ∴， 解得：， 故（﹣a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解题关键． 24．甲、乙两人分别在相距100米的A，B两地上进行匀速往返跑训练，速度分别为和，甲从A到B，乙从B到A，他们同时从A，B出发，到达对方的出发地后，立即以各自的原速度折返，易知经过第1次相遇： （1）再经过 ，第2次相遇； （2）5内分钟（含5分钟），他们共相遇 次． 【答案】 14 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用相遇问题，设未知数得出方程求出答案； （2）利用两人行驶一个全程所用的时间结合总时间得出答案． 【详解】解：（1）设再经过 ，第2次相遇，根据题意得： ， 解得：． 答：再经过，第2次相遇． 故答案为：； （2）5分秒， （秒）， （次）． 答：他们共相遇14次． 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键． 25．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 。 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 三、解答题 26．某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）． (1)若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价； (2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值； (3)若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴） 【答案】(1)该日苹果的单价为16元/千克 (2)W的最大值为450元，W的最小值为400元 (3)m＝6 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为28千克，列方程求解即可； （2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （3）由题意得：−2x2＋60x＋10m≥500，由二次函数的对称性及只有5种不同的单价使日收入不少于500元，可知x的取值为13，14，15，16，17，计算可得m的值． 【详解】（1）解：根据题意得：40﹣2（x﹣10）＝28， 解得x＝16， ∴该日苹果的单价为16元/千克； （2）解：根据题意得：W＝x[40﹣2（x﹣10）]＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， 由题意得：10≤x≤18，且x为正整数， ∵﹣2＜0， ∴当x＝15时，W有最大值，最大值为450元．… 当x＝10时，W有最小值，最小值为：﹣2×（10﹣15）2+450＝400（元）． ∴W的最大值为450元，W的最小值为400元； （3）由题意得：﹣2x2+60x+10m≥500， ∵只有5种不同的单价使日收入不少于500元，5为奇数， ∴由二次函数的对称性可知，x的取值为13，14，15，16，17． ∵当x＝13时，y＝442+10m， 当x＝12时，y＝432+10m， ∴432+10m＜500≤442+10m， 解得5.8≤m＜6.8， ∵m为正整数， ∴m＝6． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．如图，为数轴上两条线段，其中与原点重合，，且． （1）当为中点时，求线段的长； （2）线段和以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段的运动速度为每秒5个单位长度，线段运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒，请结合运动过程解决以下问题： ①当时，求的值； ②当时，请直接写出的值． 【答案】（1）AD＝52；（2）①的值为2或18；②的值为6或25． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】（1）求出BC，CD的值即可解决问题； （2）①分点A在点C左侧时和点A在点C右侧时两种情况，分别根据列方程求解即可； ②求出t秒后，A表示的数为5t，B表示的数为5t+10，C表示的数为3t+20，D表示的数为3t+52，根据列出绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵CD＝3AB＋2，AB＝10， ∴CD＝30＋2＝32， ∵为中点，即AB＝CB＝10， ∴AD＝AB＋BC＋CD＝10＋10＋32＝52； （2）①当点A在点C左侧时，由题意得：3t＋20－5t＝16， 解得：t＝2； 当点A在点C右侧时，由题意得：5t－3t－20＝16， 解得：t＝18， 故的值为2或18； ②由题意可得：t秒后，A表示的数为5t，B表示的数为5t+10，C表示的数为3t+20，D表示的数为3t+52， ∴，即， 当时，可得， 解得：； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得， 解得：， 故的值为6或25． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握方程思想与分类讨论思想的应用． 28．为民中学租用两辆速度相同的小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性． 【答案】（1）不能在限定时间内到达考场；（2）方案1：这7个人能在截止进考场的时刻前赶到，方案2：他们能在截止进考场的时刻前到达考场． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【详解】试题分析： （1）由题意可得，另一辆车送完4人再回到出故障的地方接人到考场共需时间为：16.5÷55×3=0.9（小时）=54（分钟），由于现在距离开考只有50分钟了，由此可知，不能在限定的时间赶到考场； （2）有两种可能的方案：①先送4人到考场，另外3人步行前往考场，汽车将4人送到考场后再返回接步行的3人到考场，结合已知条件求出这一方案所需时间与50比较即可判断该种方案是否可行； ②7人同时从故障处出发，其中3人步行，另外4人乘车到距离出发点x千米的A处，然后这4人步行到考场，汽车返回接后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场，结合已知条件求出所需与50分钟比较即可判断该方案是否可行. 试题解析： （1）（小时）（分钟），， 不能在限定时间内到达考场． （2）方案1： 从故障处出发，先将4人用车送到考场 ，其他人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到 与另外3人的相遇处再载他们到考场． 设从故障处出发到将4人用车送到考场后再返回与其余3人相遇时所需时间为t小时． ，解得小时． 汽车由相遇点再去考场所需时间是小时． ∴用这一方案送人到考场共需分钟，少于50分钟． ∴这7个人能在截止进考场的时刻前赶到． 方案2：从故障处7人同时出发，3人步行，另将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场． 汽车从故障处到处需，由处步行前往考场需， 设从故障处出发到汽车返回与其余3人相遇时所需时间为（h）， 则有，解得， ∴相遇点与考场的距离为． 他们同时到达，则有，解得． 代入上式，可得他们从故障处赶到考场所需时间为小时，约为43.7（分钟）． ． 他们能在截止进考场的时刻前到达考场． 29．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为吨的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需要其他费用元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付元．根据记录，某日该工厂产生废水吨，共花费废水处理费元． (1)求该车间的日废水处理量； (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 【答案】(1) (2)不少于吨且不超过吨 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）利用废水处理费该车间的日废水处理量交给第三方企业处理的废水量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值； （2）设该厂一天产生工业废水吨，分及两种情况考虑，根据每天废水处理的平均费用不超过元吨，可得出关于的一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴日废水处理为， ∴， ∴解得：， 答：的值为． （2）解：设该厂一天产生工业废水吨， 当时，， 解得：， 又∵， ∴①； 当时，， 解得：， 又∵， ∴②， ∴由①②可得：， 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为不少于吨且不超过吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意找准各量之间的数量关系是解题的关键． 30．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足+|2b+12|+（c﹣4）2＝0． （1）求B、C两点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积； （3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的？直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）S△OPM＝4t或S△OPM＝﹣3t+21（3）当t为2秒或秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐标是（0，﹣4）或（，﹣6） 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据绝对值、平方和算术平方根的非负性，求得a，b，c的值，即可得到B、C两点的坐标； （2）分两种情况：①P在OB上时，直接根据三角形面积公式可得结论；②P在BC上时，根据面积差可得结论； （3）根据已知条件先计算三角形OPM的面积为8，根据（2）中的结论分别代入可得对应t的值，并计算此时点P的坐标． 【详解】（1）∵|2b+12|+（c﹣4）2=0，∴a+6=0，2b+12=0，c﹣4=0，∴a=﹣6，b=﹣6，c=4，∴B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）． （2）①当点P在OB上时，如图1，OP=2t，S△OPM2t×4=4t； ②当点P在BC上时，如图2，由题意得：BP=2t﹣6，CP=BC﹣BP=4﹣（2t﹣6）=10﹣2t，DM=CM=3，S△OPM=S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM=6×46×（2t﹣6）3×（10﹣2t）4×3=﹣3t+21． （3）由题意得：S△OPMS长方形OBCD（4×6）=8，分两种情况讨论： ①当4t=8时，t=2，此时P（0，﹣4）； ②当﹣3t+21=8时，t，PB=2t﹣6，此时P（，﹣6）． 综上所述：当t为2秒或秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐标是（0，﹣4）或（，﹣6）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，还考查了绝对值、平方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． 31．为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元． (1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元； (2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？ 【答案】(1)甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； (2)第三批次最多能购进乙型路灯盏． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意列出方程组求解即可； （2）设第三批次最多能购进乙型路灯盏，依题意列出不等式求解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意得： ， 解得：， 答：甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元； （2）解：第三批次的资金为： （元）， 设第三批次最多能购进乙型路灯盏，则 ， 解得：， 答：第三批次最多能购进乙型路灯盏． 32．列方程或方程组解应用题： 周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量． 【答案】20只． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【详解】试题分析：设购买茶杯x只，分别按照两家商场的优惠方案计算所需费用，当去两家商场付款一样时，即这两个式子相等，解得x值． 试题解析：解：设购买茶杯x只． 依题意：5×30+（x-5）×5=4．5x+30×90%×5， 解得：x=20， 答：购买茶杯20只时，两家商场付款一样． 考点：列方程解应用题． 33．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．    (1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值； (2)当点T为原点，且：时，求“□”所表示的数． 【答案】(1)图见解析，； (2)3 【知识点】相反数的定义、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了相反数、数轴、一元一次方程、实数的运算，考查运算能力． （1）根据相反数的定义，得到原点O的位置，据此求解即可； （2）根据原点的位置，确定m，n的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵m，n互为相反数， ∴，即点M，N到原点的距离相等， ∴ 原点的位置如图所示：    则； （2）解：∵点 T为原点，则， ∵， ∴， ∴． 34．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，它极大地方便了航海时轮船的定位．如图，位于东西方向海北岸线上的码头相距70海里，一艘供给船从码头出发沿北东偏东方向匀速行驶，到达处后收到信号，位于码头正北方向80海里的处有一渔船需要物资，故该供给船按原速沿北偏东方向行驶后到达处：求供给船行驶时的速度(结果保留整数参考数据： ， ， )． 【答案】供给船行驶时的速度约为60海里/时 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、解决航海问题(勾股定理的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及矩形判定与性质、等腰直角三角形性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，过点分别作，垂足为点，如图所示，由等腰直角三角形性质及三角函数得到相关边的关系，设，则，由列方程求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的解决实际问题． 【详解】 解：过点分别作，垂足为点，如图所示： 四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， 答：供给船行驶时的速度约为60海里/时． 35．某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算． （1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款______元； （2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款______元（用含x的代数式表示）； （3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他查看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？ 【答案】（1）1200；（2）0.7x+200；（3）丙旅客第二张机票的原价为2500元，实际付款1950元． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用需付款=原价×0.8，即可求出结论； （2）根据需付款=2000×0.8+0.7×超出2000元部分，即可求出结论； （3）根据原价=需付款÷0.8可求出第一张机票的原价，设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元，根据（2）的结论，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）1500×0.8=1200（元）． 故答案为1200． （2）根据题意得：需付款=2000×0.8+（x-2000）×0.7=0.7x+200（元）． 故答案为（0.7x+200）． （3）第一张机票的原价为1440÷0.8=1800（元）． 设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元， 根据题意得：1440+0.7y+200=1800+y-910， 解得：y=2500， ∴1800+y-910-1440=1950． 答：丙旅客第二张机票的原价为2500元，实际付款1950元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【能力提升】 36．共享经济来临，某企业决定在无锡投入共享单车（自行车）和共享电单车（电动车）共2000辆，已知每辆共享单车成本380元，每台共享电单车成本1500元，2辆共享单车和1辆共享电单车每周毛利31元，4辆共享单车和3辆共享电单车每周毛利81元， （1）求共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利多少元？ （2）为考虑投资回报率，该企业计划投入成本不超过174万元，每周的毛利不低于23050元，现要求投入的单车数量为10的倍数，请你列举出所有投入资金方案． 【答案】（1）共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利6元和19元；（2）见解析. 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一元一次不等式组的整数解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）可设共享单车和共享电动车每周每辆分别可以盈利x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设投入的共享单车数量为10n辆，根据题意列出关于n的不等式组，解出不等式组的解集后再结合n为自然数确定n的具体值，最后写出方案即可. 【详解】解：设共享单车每周每辆可以盈利x元，共享电单车每周每辆可以盈利y元， 根据题意，得 解得 答：共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利6元和19元. （2）设投入的共享单车数量为10n辆， 则投入的共享电单车数量为（2000－10n）辆. 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为. 依题意知n为自然数， ∴n可取的值为113,114,115. 当n=113时，10×113=1130（辆），2000－1130=870（辆）； 当n=114时，10×114=1140（辆），2000－1140=860（辆）； 当n=115时，10×115=1150（辆），2000－1150=850（辆）. 故投入资金方案为： 方案一：投入共享单车1130辆，共享电单车870辆； 方案二：投入共享单车1140辆，共享电单车860辆； 方案三：投入共享单车1150辆，共享电单车850辆. 【点睛】本题考查了一次方程组和一元一次不等式组的综合应用，解题的关键是认真审题，设出合适的未知数，如本题中设投入的共享单车数量为10n辆，熟练掌握方程组和不等式组的求解. 37．A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如下表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 (2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是？ 【答案】(1)见解析 (2)3；4 (3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②秒或秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可； （2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出第二次开始发出提示的时间，进而求出此时点A和点B表示的数，设点C出发的时间为t秒时，再分当点C向左运动时，当点C向右运动时，两种情况分别表示出，进而根据C点到A点的距离与C点到B点的距离比是建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，5秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴7秒时，点A在数轴上的位置为； ∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，7秒时，点B在数轴上的位置为20， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 （2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为： （秒）； 相遇时A、B两点对应的数为； 故答案为：3；4． （3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， ∴第二次发出提示时，点A表示的书为，点B表示的数为， 设点C出发的时间为t秒时， 当点C向左运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， 解得； 当点C向右运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，当点C出发秒或秒或秒时，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是． 38．我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额． （1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？ （2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？ （3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？ 2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用） 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 4 超过25000元至35000元的部分 25% 5 超过35000元至55000元的部分 30% 【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意可以计算出该员工需缴纳的个人所得税； （2）根据题意减去专项扣除的常见项目；可计算技术专家需缴纳的个人所得税； （3）设该技术专家在三月份实际纳税额x，元捐赠了y元，公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，根据实际收入可计算出捐赠数； 【详解】解：（1）由题意可得，应纳税所得额为4000元 0-3000元部分：3000×3%=90 3000-4000元部分：（4000-3000）×10%=100 100+90=190元 答：该员工缴纳的税额是190元； （2）应纳税所得额=40000-5000-2000-2000-2×2000=27000 依据税率表分级计算： 0-3000元部分：3000×3%=90 3000-12000元部分：（12000-3000）×10%=900 12000-25000元部分：（25000-12000）×20%=2600 25000-27000元部分：（27000-25000）×25%=500 90+900+2600+500=4090元 答：该技术专家缴纳的税额是4090元. （3）设实际纳税额x元，公益捐赠了y元， 40000-33610=6390元 ∵y＞6390-4090=2300 ∴27000-y＜24700，即应纳税所得额不足25000元 由题意可列方程组 解得 答：技术专家在三月份捐赠了3000元． 【点睛】本题考查分类纳税，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，方程组的性质解答． 39．为了引领当代中学生迈向未来航空新纪元，2019年，在中国空军航空开放日上，“南天门计划”首次被提出，2023年6月央视官方宣传片播出，它的核心是构建一个全球性综合战略防卫体系，以应对未来可能的外星和硅基生命体的威胁，体现了中国航空工业对未来技术发展的前瞻性思维．在对“南天门计划”的小组学习中，我们对在平面直角坐标系中任一点，规定以下三种变换为“南天门变换”： ①，如：； ②，如：； ③，如：； 例如：． 请回答下列问题： (1)利用“南天门变换”化简：______；______；______； (2)通过以上“南天门变换”得到的坐标叫做“南天门”坐标，规定“南天门”坐标可以进行如下运算： ，； ，当时，且． ①“南天门”坐标中横坐标为整数，满足：（常数为正整数），求存在的点的坐标． ②“南天门”坐标在第四象限，满足：，当为正整数时，求的值． 【答案】(1)；； (2)①点的坐标为或；②． 【知识点】构造二元一次方程组求解、一元一次不等式组的其他应用、新定义下的实数运算、坐标与图形 【分析】（1）根据题意，按顺序先算括号里面的即可得出答案； （2）①先将等式化简，得到关于x和y的等式，求出x的整数解即可； ②先将等式化简，得到关于m和n的等式，在根据点Q所在的象限，得到不等式组解出k的取值范围，再根据题意，选取符合条件的正整数k，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：；； ； 故答案为：；；； （2）解：①∵，，，即， ∴，， ∴，， ∵坐标中横坐标为整数，常数为正整数， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或； ②∵，，，，， ∴， ∴，， 解得，， ∵在第四象限， ∴，， 即， ∵为正整数， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义的点的坐标变化和一元一次不等式组，二元一次方程组的应用．仔细读题，理解题目所描述的点的变化规则是解题的关键． 40．一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数为“青年数”．“青年数”的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“青年数”的千位数字与4的差记为，令． 例如：∵对7240，，，∴7240是“青年数”． ∵，， ∴． 又如：∵对5093，，但，∴5093不是“青年数”． (1)请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“青年数”，当能被10整除时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)8273不是“青年数”； 9462是“青年数”， ； (2)“青年数”m为5073或6151或7284 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“青年数”的定义判断即可； （2）根据题目内容，理解“青年数”的定义，设“青年数”的千位数为x，十位数为y，求出，然后根据能被10整除时，求出所有满足条件的“青年数”即可． 【详解】（1）解：∵对8273，8-2=6≠5， ∴8273不是“青年数”； ∵对于9462，9-4=5，6-2=4， ∴9462是“青年数”， ∵，， ∴． （2）解：设“青年数”的千位数为x，十位数为y，则百位数为x-5，个位数为y-4， 则， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∵能被10整除， ∴或或或或或或， ∴或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴“青年数”m为5073或6151或7284． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，不等式组的解法等知识，理解“青年数”，明确条件和所求的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$