11.4.1直线与平面垂直（二）学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

高一数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 必修4-23 课题：直线与平面垂直（二） 【课标要求】 借助实例和图形的观察，引导学生发现和提出描述基本图形垂直的命题，学会用准确的符号语言描述这些命题. 【学习目标】 1.借助长方体模型，说明直线与平面垂直的性质及其性质定理，会运用性质定理解决有关垂直与平行的相互转化问题。 2.通过实物模型演示，归纳出直线与平面所成角的概念。 3.通过典例探究，能应用线面垂直的判定及性质定理证明求解相关问题。 【基础自学】 复习回顾： 1.用符号语言表述直线与平面垂直. 2.用符号语言表述直线与平面垂直的判定定理. 自学任务一：直线与平面垂直的性质 1. 观察长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1与底面ABCD的位置关系和棱AA1，BB1，CC1，DD1之间的位置关系，并结合下列问题，猜想并证明直线与平面垂直的性质定理. 问题1：如图，如果直线l垂直于一个平面，直线m与直线平行，那么直线与平面是否垂直？猜测结果，并说明理由. 问题2：如图，已知直线l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直线l、m具有怎样的位置关系？猜想结果并说明理由. 结合问题2尝试总结直线与平面垂直的性质定理： 文字语言： 符号语言： 图形语言： 思考： （1）过一点有几条直线与已知平面垂直？ （2）在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论? （3）在a⊥α的条件下，如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论? 【自学评测一】 1.判断下列命题的真假: (1)垂直于同一条直线的两条直线平行；（ ） (2)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直；（ ） (3)如果一条直线垂直于平面内的两条直线那么这条直线与这个平面垂直；（ ） (4)如果三条共点直线两两垂直,那么其中-条直线垂直于另两条直线所确定的平面；（ ） (5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.（ ） 2.已知平面和直线,b,如果//,且b⊥,那么b⊥是否一定正确?画图举例说明. 自学任务二：直线与平面所成角的概念. 2.情境：斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成. 问题： (1)拉索所在直线与桥面都是相交关系，其倾斜程度相同吗? (2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗? (3)直线与平面所成的角是空间角，能否和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角呢? 阅读课本116页，并回答： 如果A是平面外一点，B、C分别是平面内一点，如果AB，AC与不垂直时，直线BC称为AC在平面内的 ，直线AC与平面的夹角为 ，此时：AC=AD是BC=BD或∠ACB=∠ADB的 条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） 思考：直线与平面的夹角是如何定义的？范围是什么？ 【自学评测二】 1.如图，已知正方体. （1）直线与平面所成角的大小为 （2）直线与平面所成角的正切值为 ． 【合作探究】 探究任务：证明线线垂直，线面垂直 例1.如图所示，在三棱锥S-ABC中，ABBC,且AB=BC=2,SA=SB=SC=,求这个三棱锥的体积. 变式1：在例1的条件下，求证： 变式2：例1中在底面的射影为，若分别为的中点，试判断与平面的位置关系? 变式3：在例1的条件下，求点到平面的距离 例2.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，.求证： (即“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”)。 变式：如图所示，已知AB是平面α的一条垂线，AC是平面α的一条斜线，l⊂α,l⊥AC.求证：l⊥BC (即“平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影”). 【课堂随测】 A组 1. 已知为不同的直线，为平面,那么下列命题成立的有 . ①若，则； ②若，则； ③若，则；④若，则； 2.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于（ ）.  A.60° 　　　　B.45° 　　　　C.30° 　　　　D.120° B组 3.在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N. 求证：(1)BC⊥平面PAC； (2)PB⊥平面AMN. 【课堂小结】 学科网（北京）股份有限公司 $$